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3-立体几何垂直证明题常见模型及方法 (2)


7.如图,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 AB、PC 的中点. (1)证明:AB⊥MN; (2)若平面 PDC 与平面 ABCD 成 45°角,连接 AC,取 AC 的中点 O,证明平面 MNO⊥ 平面 PDC.

8.如图,PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB,PC

上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC.其中正确命题的序号是__________. 9.三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面的射影为 O,若 PA=PB=PC,则点 O 为△ABC 的______心,若 PA、PB、PC 两两垂直,则 O 为△ABC 的______心.

10.(2012· 江苏卷)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1B1=A1C1, D, E 分别是棱 BC, CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

7.(2011· 江苏卷)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD, ∠BAD =60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

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.(2012· 全国新课标卷)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°, 1 AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. 2 (1)证明:平面 BDC⊥平面 BDC1; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

3.如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC =PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面 ABCD, (1)PA 与 BD 是否互相垂直,请证明你的结论; (3)求证:平面 PAD⊥平面 PAB.

10.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3, D 为 AC 的中点.

(1)求证:AB1∥平面 BDC1; (2)在侧棱 AA1 上是否存在点 P,使得 CP⊥平面 BDC1?并证明你的结论.

2

1.如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点。 (I)求证:B1C//平面 A1BD; (II)求证:B1C1⊥平面 ABB1A (III)设 E 是 CC1 上一点, 试确定 E 的位置,使平面 A1BD⊥平面 BDE,并说明理由。

2.如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,三角形 ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点 (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ;

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1.

如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,

AB ? AD , AC ? CD , ?ABC ? 60? , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点.

(1)求证: CD ? AE ; (2)求证: PD ? 面 ABE .

P

E A C B D

2.如图, 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, PA=AB, 底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD. (I)求证:平面 PAC⊥平面 PCD; (II)在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?存在,请确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由.
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