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圆锥曲线、导数应用复习题


圆锥曲线、导数应用复习题
1.过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为 的弦AB,则弦AB的长为( A. B. 2.AB为过椭圆 C. + D. =1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB面积的最大值为( ) )

A. b2B. abC. acD. bc 3.已知直线l:x+y-3=0,椭圆 A. 相交 C. 相离 4.直线y=x+1被

椭圆 A. B. + +y2=1,则直线与椭圆的位置关系是( B. 相切 D. 相切或相交 =1所截得的线段的中点坐标是( D. + =1 ) ) )

C.

5.如图,A、B、C分别为椭圆

(a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90° ,则该椭圆的离心率为(

A.

B.

-1C.

D.

+1 )

6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D. ) 7.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m=( A. B. C. 2 D. 4 ,0),( ,0),离心率是

8.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(- 为( A. 9.椭圆 ) +y2=1 B. x2+ + =1C. +

,则椭圆C的方程

=1 D.



=1 )

=1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(

A. 8,2 B. 5,4 C. 5,1 D. 9,1 10.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐 标为( ) A. (± 13,0) B. (0,± 10)C. (0,± 13) D. (0,± ) 11.过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2= )

60° ,则椭圆的离心率为(

第 1 页 共 13 页

A.

B. -

C.

D. =1表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数m的取值范围是( )

12.若方程

A. m>0 B. 0<m<1C. -2<m<1 D. m>1且m≠ 13.已知F1,F2是椭圆 + =1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角

形PF1F2的面积等于( ) A. 24 B. 26 C. 22 D. 24 14.设B(-4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为( A. 15.椭圆 + =1 (y≠0) B. + =1 (y≠0)C. + =1 (y≠0) D.

) + =1 (y≠0) )

+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 16.过双曲线x2-y2=4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A,B两点,则AB的长为( A. 2 B. 4 C. 8 D. 4 17.过双曲线的一个顶点A作直线l,若l与双曲线只有一个公共点,则这样的直线l有几条( A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 18.过点P(0,3)的直线与双曲线 A. 1条 C. 3条 - =1只有一个公共点,则这样的直线有( B. 2条 D. 4条 ) )

) )

19.双曲线的渐近线方程为y=± x,则双曲线的离心率是( A. B. 2C. 20.双曲线 A. 2 B. 21.已知椭圆 - 或 D. 或

=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( D. =1和双曲线 -

)

C. +

=1(m>0)有相同的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( y=0 =1有( )

) A. 3x± y=0 B. x± 3y=0C. 22.若0<k<a2,则双曲线 A. 相同的虚轴 C. 相同的渐近线 23.以 A. - + -

x± y=0 D. x± =1与 -

B. 相同的实轴 D. 相同的焦点 ) =1

=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( =1 B. + + =1C. + - =1 D. +

24.已知椭圆 是( )

=1和双曲线

=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程

第 2 页 共 13 页

A. x=± 25.双曲线 A. 7 C. 5或25

y B. y=± -

xC. x=±

y D. y=±

x )

=1上一点P到点(5,0)的距离为15,那么该点到(-5,0)的距离为( B. 23 D. 7或23 -

26.若点M在双曲线 ) A. 2 C. 8

=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于( B. 4 D. 12 - =1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右

27.已知F1、F2为双曲线

支上,则|AP|+|AF2|的最小值为( ) A. +4 B. -4C. -2 D. +2 2 28.设点A为抛物线y =4x上一点,点B(1,0),且|AB|=1,则A的横坐标的值为( ) A. -2 B. 0 C. -2或0 D. -2或2 29.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原 点,则其方程为( ) A. y2=8xB. y2=-8xC. y2=8x或y2=-8xD. x2=8y或x2=-8y 30.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则 这样的直线( ) A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 31.设AB为过抛物线y2=2px (p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( ) A. B. PC. 2p D. 无法确定 32.若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则该点的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 33.动点到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则动点的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 34.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离 之和的最小值是( ) A. B. 3 C. D. )

35.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a> ),则点M的横坐标是( A. a+ B. a- C. a+pD. a-p

36.已知点A(2,1),抛物线y2=4x的焦点是F,若抛物线上存在一点P,使得|PA|+|PF|最小,则P 点的坐标为( ) A. (2,1) B. (1,1) C. D. ) 37.若点P在y2=x上,点Q在(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为( A. -1 B. -1C. 2 D. -1 )

38.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 2 39.已知曲线f(x)=2x 上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为( ) 第 3 页 共 13 页

A. 4 C. 8 40.已知曲线y= x2-2上一点P A. 30° C. 135° 41.设曲线y= A. 2 B.

B. 16 D. 2 ,则过点P的切线的倾斜角为( B. 45° D. 165° 在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于( C. - D. -2 ) ) )

42.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于( A. -1 B. -2 C. 2 D. 0 43.已知函数f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)的值为( ) A. 0 B. -4 C. -2 D. 2 44.求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间.

45.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说 明理由.

46.(1)若函数f(x)=4x3-ax+3的单调递减区间是 (2)若函数f(x)=4x3-ax+3在

,则实数a的值是多少?

上是单调函数,则实数a的取值范围为多少?

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47.(1)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[-1,2],求b,c的值. (2)设f(x)=ax3+x恰好有三个单调区间,求实数a的取值范围.

48.设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.

49.设函数f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4. (1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式; (2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.

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参考答案
1.【答案】B 【解析】椭圆的方程可化为 又∵直线AB的斜率为 ∴直线AB的方程为y= 由 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- x1· x2= , ∴|AB|= = . , x+ . 得7x2+12 , x+8=0. + =1,∴F(- ,0).

2.【答案】D 【解析】当直线AB为y轴时面积最大,|AB|=2b,△AFB的高为c, ∴此时S△ AFB= · 2b· c=bc. 3.【答案】C 【解析】把x+y-3=0代入 得 +y2=1

+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0.

∵Δ=242-4× 5× 32=-64<0,∴直线与椭圆相离. 4.【答案】C 【解析】联立方程 消去y得3x2+4x-2=0.

设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0), ∴x1+x2=- ,x0= ∴所求中点的坐标为 =- ,y0=x0+1= . .

5.【答案】A 【解析】∵∠ABC=90° ,∴|BC|2+|AB|2=|AC|2, 2 2 2 2 ∴c +b +a +b =(a+c)2,又b2=a2-c2, ∴e2+e-1=0,又∵0<e<1,∴e= .

6.【答案】B 【解析】由题意有2a+2c=2(2b),即a+c=2b, 又b2=a2-c2,消去b整理得5c2=3a2-2ac, 即5e2+2e-3=0,∴e= 或e=-1(舍去). 7.【答案】A 【解析】将椭圆方程化为标准方程为x2+ ∵焦点在y轴上,∴ =1, ,b=1.∵a=2b,∴m= .

>1,∴0<m<1.由方程得a=

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8.【答案】A 【解析】因为 = ,且c= ,所以a= ,b= =1.所以椭圆C的方程为 +y2

=1. 9.【答案】D 【解析】因为a=5,c=4,所以最大距离为a+c=9,最小距离为a-c=1. 10.【答案】D 【解析】由题意知,椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c= = 标为(0,± ). 11.【答案】B 【解析】记|F1F2|=2c,则由题设条件,知|PF1|= = 12.【答案】B 【解析】∵方程 ∴有 - =1表示焦点在y轴上的椭圆,将方程改写为 = ,故选B. ,|PF2|=

,故焦点坐

,则椭圆的离心率e=





=1,

解得0<m<1.

13.【答案】A 【解析】由于a2=49,a=7,所以|PF1|+|PF2|=2a=14, 又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6. 又因为|F1F2|=2c=2 =10, 2 2 2 且|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,所以PF1⊥PF2. 故△PF1F2的面积S= |PF1|· |PF2|= × 8× 6=24. 14.【答案】A 【解析】由已知|AB|+|AC|+|BC|=18,|BC|=8,得|AB|+|AC|=10.由椭圆的定义可知,点A的 轨迹是椭圆的一部分,且2a=10,2c=8,即a=5,c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9,则椭圆 方程为 + =1.当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形.因此,顶 + =1(y≠0).

点A的轨迹方程是

15.【答案】D 【解析】由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10-2=8. 16.【答案】B 【解析】双曲线x2-y2=4的焦点为(± 2 ,0),把x=2 代入并解得y=± 2, ∴|AB|=2-(-2)=4. 17.【答案】C 【解析】数形结合,过A与渐近线平行的有两条,与实轴垂直的有一条,均符合题意,共3条. 18.【答案】D 【解析】数形结合.直线与双曲线只有一个公共点,有两个可能:一是直线恰与双曲线相切 ,二是直线与双曲线的渐近线平行.根据图形的对称性共有4条. 19.【答案】C 【解析】若双曲线焦点在x轴上,则 = , 从而e= = = = ;

第 7 页 共 13 页

若焦点在y轴上,则 = , 从而e= = 20.【答案】C 【解析】双曲线 所以 - =1的两条渐近线方程为y=± x,依题意 · (- ) =-1,故 .故选C. =1, = = .

=1即e2=2,所以双曲线的离心率e=

21.【答案】C 【解析】由已知9-5=m2+3=0,∴m=1. ∴渐近线方程为y=± x,即 x± y=0. 22.【答案】D 【解析】a2-k>0,b2+k>0,所以a2-k+b2+k=a2+b2=c2.所以两双曲线有相同的焦点. 23.【答案】D 【解析】双曲线 - =-1的焦点坐标为(0,± 4),顶点坐标为(0,± 2 . =1. ),故所求椭圆的

焦点在y轴上,a=4,c=2 ∴b2=4,所求方程为 +

24.【答案】D 【解析】由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上, ∴椭圆焦点( ,0),双曲线焦点( 2 2 2 2 ∴3m -5n =2m +3n ,∴m2=8n2, 又∵双曲线渐近线为y=± ∴代入m2=8n2,|m|=2 · x, |n|,得y=± x.

,0),

25.【答案】D 【解析】∵|PF1|-|PF2|=± 8, ∴|PF2|=15± 8,即|PF2|=23或|PF2|=7. 26.【答案】B 【解析】双曲线中a2=16,a=4,2a=8,由双曲线定义知 ||MF1|-|MF2||=8,又|MF1|=3|MF2|, 所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4. 27.【答案】C 【解析】如图所示,连接F1P交双曲线右支于点A0.

∵|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2 , ∴要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值. 当A落在A0处时,|AP|+|AF1|=|PF1|最小,最小值为 ,∴|AP|+|AF2|的最小值为

-2

.

第 8 页 共 13 页

28.【答案】B 【解析】B为抛物线的焦点,设A的横坐标为x, 则|AB|=x+1=1,∴x=0. 29.【答案】C 【解析】通径=2p=8,所以方程为y2=8x或y2=-8x 30.【答案】B 【解析】∵xA+xB=5,∴|AB|=5+2=7. ∵过焦点垂直于x轴的弦长2p=4,∴所求直线应有两条. 31.【答案】C 【解析】当AB垂直于对称轴时,|AB|取最小值,此时AB即为抛物线的通径,长度等于2p. 32.【答案】D 【解析】已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离”,由抛物线的定 义可判断,动点的轨迹为抛物线. 33.【答案】D 【解析】已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离”,由抛物线的 定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选D. 34.【答案】A

【解析】如图,

由抛物线的定义知,点P到准线x=- 的距离等于点P到焦点F的距离.因此点P到点(0,2)的距 离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和,其最小值为 点M(0,2)到点F 35.【答案】B 【解析】由抛物线的定义知:点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x=- 的距离,所 以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a- . 36.【答案】D 【解析】由抛物线定义知|PF|=|PM|,如图所示. 的距离,则距离之和的最小值为 = .

∴|PA|+|PF|=|PA|+|PM|, 要使|PA|+|PF|最小,只需使P、A、M三点共线,即最小值为点A到准线的距离, ∴|PA|+|PF|的最小值为3,此时P的坐标为 37.【答案】D 【解析】设圆(x-3)2+y2=1的圆心为O′(3,0). 要求|PQ|的最小值,只求|PO′|的最小值. .

第 9 页 共 13 页

设P点坐标为(y ,y0), 则|PO′|= = ∴|PO′|的最小值为 从而|PQ|的最小值为 . , -1. =

38.【答案】C 【解析】结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直 线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0). 39.【答案】C 【解析】f′(2)= = 40.【答案】B 【解析】∵y= x2-2, ∴y′= = (8+2Δx)=8,即k=8.

= ∴y′|x=1=1.∴点P 41.【答案】D 【解析】∵y= ∴y′=-



=x. 处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45° .

=1+



.∴y′|x=3=- .

∴-a=2,即a=-2. 42.【答案】B 【解析】由题意知f′(x)=4ax3+2bx,若f′(1)=2, 即f′(1)=4a+2b=2,从题中可知f′(x)为奇函数, 故f′(-1)=-f′(1)=-4a-2b=-2,故选B. 43.【答案】B 【解析】由f(x)=x2+2xf′(1)得,f′(x)=2x+2f′(1). 所以f′(1)=2× 1+2f′(1).所以f′(1)=-2. 从而f′(x)=2x-4.所以f′(0)=-4.故选B. 44.【答案】单调增区间为 【解析】函数的定义域为(0,+∞), f′(x)=6x- = 由f′(x)>0,即 . >0,得x> , ,减区间为

第 10 页 共 13 页

∴函数f(x)的增区间为 由f′(x)<0,即 ∴f(x)的减区间为 <0,得0<x< ,

, ,

∴函数f(x)=3x2-2ln x的单调增区间为

,减区间为

.

45.【答案】(1)(-∞,0]. (2)存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a的取值范围是[3,+∞) 【解析】(1)f′(x)=3x2-a, 因为f(x)在R上是增函数,所以f′(x)≥0在R上恒成立. 即3x2-a≥0在R上恒成立. 即a≤3x2,而3x2≥0,所以a≤0. 当a=0时,f(x)=x3-1在R上单调递增,符合题意. 所以a的取值范围是(-∞,0]. (2)假设存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减, 则f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立. 即3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2, 又因为在(-1,1)上,0<3x2<3,所以a≥3. 当a=3时,f′(x)=3x2-3,在(-1,1)上,f′(x)<0, 所以f(x)在(-1,1)上单调递减,即a=3符合题意, 所以存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a的取值范围是[3,+∞). 46.【答案】(1)a=3(2)a≤0或a≥3 【解析】(1)f′(x)=12x2-a, ∵f(x)的单调递减区间为 ∴x=± 为f′(x)=0的两个根, ∴a=3. (2)若f(x)在 则f′(x)≥0在 即12x2-a≥0在 ∴a≤12x2在 上为单调增函数, 上恒成立, 上恒成立, 上恒成立, ,

∴a≤(12x2)min=0. 当a=0时,f′(x)=12x2≥0恒成立(只有x=0时f′(x)=0). ∴a=0符合题意. 若f(x)在 则f′(x)≤0在 即12x2-a≤0在 ∴a≥12x2在 ∴a≥(12x2)max=3. 上为单调减函数, 上恒成立, 上恒成立, 上恒成立,

第 11 页 共 13 页

当a=3时,f′(x)=12x2-3=3(4x2-1)≤0恒成立(且只有x=± 时f′(x)=0). 因此,a的取值范围为a≤0或a≥3. 47.【答案】(1) b=- ,c=-6. (2) a的取值范围为(-∞,0) 【解析】(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c, 由题设知-1<x<2是不等式3x2+2bx+c<0的解集. ∴-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个实根, ∴-1+2=- b,(-1)× 2= ,即b=- ,c=-6. (2)∵f′(x)=3ax2+1,且f(x)有三个单调区间, ∴方程f′(x)=3ax2+1=0有两个不等的实根, ∴Δ=02-4× 1× 3a>0,∴a>0. ∴a的取值范围为(-∞,0). 48.【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(-∞,-

)和(

,+∞);单调递减区间为(- .



). 当x=- 时,f(x)有极大值5+4 ;当x= 时,f(x)有极小值5-4 (2)5-4 <a<5+4 【解析】(1)f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0, 解得x1=- ,x2= . 因为当x> 或x<- 时,f′(x)>0; 当- <x< 时,f′(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,- )和( ,+∞); 单调递减区间为(- , ). 当x=- 时,f(x)有极大值5+4 ; 当x= 时,f(x)有极小值5-4 . (2)由(1)的分析知y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.

所以,当5-4 <a<5+4 时, 直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点, 即方程f(x)=a有三个不同的实根. 49.【答案】(1) f(x)=x3-3x2+12x .(2) [1,9] 【解析】由f(x)= x3+bx2+cx+d, 得f′(x)=ax2+2bx+c. ∵f′(x)-9x=ax2+(2b-9)x+c=0的两个根 分别为1,4,∴ (1)当a=3时,由(*)式得 解得b=-3,c=12,又因为曲线y=f(x)过原点, 第 12 页 共 13 页 (*)

所以d=0,故f(x)=x3-3x2+12x. (2)由于a>0,∵f(x)= x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点, ∴f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立. 由(*)式得2b=9-5a,c=4a, 又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9). 解 得a∈[1,9],即a的取值范围为[1,9].

第 13 页 共 13 页


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备战2012年高考压轴题(圆锥曲线与导数)

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专题:圆锥曲线综合问题(椭圆、抛物线、双曲线与向量、导数等综合问题)_高一数学_...三 习题探究 选择题 1.已知椭圆 x2 y 2 10 + = 1 的离心率 e = ,则...


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圆锥曲线知识复习及难点突破

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圆锥曲线及导数高考综合复习

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