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二项式定理高考题型归类及求解


二项式定理高考题型归类及求解

二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一。 本文就近年来的高考试题中二项式 定理题型进行归纳总结,并对解法进行探讨,供参考。 一、求二项式展开式中指定项 在二项展开式中,有时存在一些特殊的项,如常数项、有理项、整式项、系数最大 的项等等,这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式 r 的值,进而求出指定的项。 1. 求常数项 ,然后依据条件先确定

例 1 (2006 年山东卷)已知

的展开式中第三项与第五项的系数之比为

,其中 A. -45i

,则展开式中常数项是( ) B. 45i C. -45 D. 45 ,由题意有

解:第三项、第五项的系数分别为

整理得 解得 n=10 设常数项为

则有 得 r=8 故常数项为 2. 求有理项 ,选 D。

例 2 已知 中所有的有理项。

的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式

解:展开式的前三项的系数分别为

则由题意可得 即 解得 n=8(n=1 舍去)

于是



为有理项,则

,且

,所以 r=0,4,8。

故展开式中所有的有理项为

3. 求幂指数为整数的项

例 3 (2006 年湖北卷)在 ( ) A. 3 项 B. 4 项 C. 5 项

的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有 D. 6 项

解:

所以 r=0,6,12,18,24 时,x 的幂指数为整数,故选 C。 4. 求系数最大的项

例 4 已知

的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,求

该展开式中系数最大的项。 解:由只有第五项的二项式系数最大,可知展开式共有 9 项,故 n=8



设第 r+1 项的系数最大,则有

解得 又 ,所以 r=2 或 r=3

所以二项式的展开式中系数最大的项是

二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项 有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决, 对于多项的 和或积的二项式问题,可通过“搭配”解决,但要注意不重不漏。

例 5 (2005 年湖北卷)

的展开式中整理后的常数项为________。

解: 对于二项式 的展开式中

要得到常数项需 10-r=5,则 r=5

所以常数项为 例 6 (2005 年浙江卷) 在 项的系数是( ) A. 74 解: B. 121 C. -74 D. -121 的展开式中,含 ,故选 D。 三、求展开式中某一项的二项式系数或系数 此类问题仍然是利用二项式的通项公式 的二项式系数与系数的区别。 来加以求解, 但在解题中要注意某一项 的项为 展开式中, 含 的

例 7 (2006 年北京卷)在

的展开式中,

的系数是_________。 (用数

字作答)

解:

令 所以

,得 r=1 的系数为 。

四、求展开式中的系数和 在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、 偶数项系数和的问题时, 通常可 以根据题目的结构特征,选择“赋值法”来加以解决。 例 8 (2004 年天津卷)若 则 解:取 x=0,得 取 x=1,得 故 =______________(用数字作答) 。 ,

=2003+1=2004 五、近似计算、证明整除及求余数问题 近似计算要首先注意精确度, 然后选取展开式中前几项进行计算。 用二项式定理证明整 除及求余数问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来展开,常采用“配凑法”, “消去法”,结合整除的有关知识来解决。 例 9 (2002 年全国卷)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 : “2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7.3%” ,如果“十·五”期间(2001 年—2005 年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约 为( ) A. 115000 亿元 B. 120000 亿元 C. 127000 亿元 D. 135000 亿元 解:设到“十·五”末我国国内年生产总值为 A,由复利公式或等比数列通项公式,得 A=

故选 C 例 10 (1992 年三南高考题) 解: 除以 100 的余数是___________。 + 92

×90+1(M 为整数)=100M+82×100+81。 所以 除以 100 的余数是 81。

六、考查与其它知识交汇型问题 在知识点的交汇处命题,已成为新高考命题的一个趋势。二项定理可以与组合、数列极 限、杨辉三角等知识进行综合,而设计出新题。

例 11 ( 2006 年安徽卷)设常数 a>0 , =___________________。 解: 由 ,得 r=2

展开式中

的系数为

,则



所以


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