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湖南省邵阳市邵东县第三中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


邵东三中 2015 年下期高二期中考试数学试卷(文科)
本卷共 22 题,满分:150 分,考试时量:150 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 1. A. =( B. ) C. ) C. a >b )
2 2

D.

2.若

非零实数 a,b 满足 a>b,则( A. B.

D. 2 >2

a

b

3.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( A.简单命题 C. “ p且q ”形式的复合命题 4.下列语句是命题的是( A. x ? a )

B. “ p或q ”形式的复合命题 D. “ 非 p ”形式的复合命题

B. ?0? ? N

C.集合与简易逻辑

D.真子集

5.设数列{an}和{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由 an+bn 所组成的数 列的第 37 项的值为( ) A. 0 B. 37 C. 100 D. ﹣37 6.已知等比数列{an}的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为( ) A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 7.下列函数中,以 为最小正周期的偶函数是( B. y=sin2xcos2x D. y=sin 2x﹣cos 2x ) D. 或
2 2



A. y=sin2x+cos2x C. y=cos(4x+ 8.△ABC 中,AB= A. 9.若 θ ∈[ A. , )

,AC=1,∠B=30°则△ABC 的面积等于( B. 或 C. ) C. ) C. 10 )

],cos2θ =﹣ 则 sinθ =( B.

D.

10.若 log2x+log2y=3,则 2x+y 的最小值是( A. B. 8
2

D. 12

11.在△ABC 中,若 sinBsinC=cos ,则△ABC 是( A. 等腰三角形 C. 等边三角形 B. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

1

12.设

的最大值为(



A. 80

B.

C. 25

D.

二、填空题:本大题有 4 小题,每题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 2 13.不等式 x ﹣2x<0 的解集为 . 14.已知等比数列{an}的前 n 项和 15.当函数 y=sinx﹣ ,则{an}的通项公式是 . . .

cosx(0≤x<2π )取得最大值时,x=

16.已知 tanα =4,tanβ =3,则 tan(α +β )=

三、解答题:本大题有 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题 10 分)已知 a,b∈(0,+∞) ,且 a+2b=1,求 的最小值.

18. (本题 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 2cos(A+B)=﹣1,且满足 a、b 是 2 方程 x ﹣2 x+2=0 的两根. (1)求角 C 的大小和边 c 的长度; (2)求△ABC 的面积.

19.(本题 12 分) 已知{an}是等差数列,其中 a1=25,a4=16 (1)数列{an}从哪一项开始小于 0; (2)求 a1+a3+a5+?+a19 值.

20.(本题 12 分)

2

某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6m ,如果该城市每年人口平均增长率为 2 1%,则从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为多少万 m ,才能使 2010 年底该城市人均住 2 18 19 20 房面积至少为 24m ?(可参考的数据 1.01 =1.20,1.01 =1.21,1.01 =1.22) .

2

21.(本题 12 分) 已知 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ,q: x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0?m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 3

求实数 m 的取值范围。

22.(本题 12 分) 已知函数 f(x)= (Ⅰ)证明数列{ ,若数列{an}(n∈N )满足:a1=1,an+1=f(an) . }为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
*

(Ⅱ)设数列{cn}满足:cn=

,求数列{cn}的前 n 项的和 Sn.

3

邵东三中 2015 年下学期高二期中考试数学答案(文科) 本卷共 22 题,满分:150 分,考试时量:150 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 1 A 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 B 9 B 10 B 11 A 12 A

三、填空题:本大题有 4 小题,每题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 13.不等式 x ﹣2x<0 的解集为 {x|0<x<2} . 14.已知等比数列{an}的前 n 项和 15.当函数 y=sinx﹣ ,则{an}的通项公式是 . .
2

cosx(0≤x<2π )取得最大值时,x= .

16.已知 tanα =4,tanβ =3,则 tan(α +β )= ﹣

三、解答题:本大题有 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题 10 分) 已知 a,b∈(0,+∞) ,且 a+2b=1,求 的最小值.

解答: ∵a>0,b>0, ∴ 取等号当且仅当 .





18. (本题 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 2cos(A+B)=﹣1,且满足 a、b 是 2 方程 x ﹣2 x+2=0 的两根. (1)求角 C 的大小和边 c 的长度; (2)求△ABC 的面积. 解答: 解: (1)依题意得,2cos(A+B)=2cos(π ﹣C)=﹣2cosC=﹣1, ∴cosC= , ∵0<C<π ,∴C= ∵a、b 是方程 x ﹣2 ∴a+b=2 ,ab=2,
2

, x+2=0 的两个根,

4

由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣2ab﹣2abcosC=12﹣4﹣2=6, ∴c= ; (2)由(1)知 C= ,ab=2, = .

2

2

2

2

则 S△ABC= absinC= ×2×

19.(本题 12 分) 已知{an}是等差数列,其中 a1=25,a4=16 (1)数列{an}从哪一项开始小于 0; (2)求 a1+a3+a5+?+a19 值. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得 a4=a1+3d, 解得 d=﹣3,∴an=28﹣3n?(3 分) 令 28﹣3n<0,解得 n> ,?(5 分)

所以数列{an}从第 10 项开始小于 0. (6 分) (2)结合(1)可知:a1+a3+a5+?+a19 是首项为 25,公差为﹣6 的等差数列,共有 10 项, 故其和 (12 分)

21.(本题 12 分) 2 某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6m ,如果该城市每年人口平均增长率为 2 1%,则从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为多少万 m ,才能使 2010 年底该城市人均住 2 18 19 20 房面积至少为 24m ?(可参考的数据 1.01 =1.20,1.01 =1.21,1.01 =1.22) . 解答: 解:设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 x 万 m ,则由题设可得下列不等 式 19 500×6+19x≥500×(1+0.01) ×24 解得 x≥606.3. 2 答:从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 606.3 万 m .
2

21.(本题 12 分) 已知 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ,q: x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0?m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 3

求实数 m 的取值范围。 解:由 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10. 3

5

由q可得? x ? 1? ? m 2 ?m? 0 ?
2

所以1 ? m ? x ? 1 ? m. 所以?p : x ? 10或x ? ?2, ? p : x ? 1 ? m或 x ? 1 ? m, 因为?p是?q的必要不充分条件 , 所以?p ? ?q. ?1 ? m ? 10 故只需满足? ?1 ? m ? ?2 所以m ? 9.
22.(本题 12 分) 已知函数 f(x)= (Ⅰ)证明数列{ ,若数列{an}(n∈N )满足:a1=1,an+1=f(an) . }为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
*

(Ⅱ)设数列{cn}满足:cn=

,求数列{cn}的前 n 项的和 Sn.

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= ∴an+1=f(an)= = .







=1,又 a1=1, }是首项为 1,1 为公差的等差数列,

∴数列{ ∴an= .

(Ⅱ)∵cn=

=
2

=n?2 ,
n

n

∴Sn=1×2+2×2 +?+n?2 ,① 2 3 n n+1 2Sn=1×2 +2×2 +?+(n﹣1)×2 +n?2 ,② ②﹣①得: 2 3 n n+1 Sn=﹣2﹣2 ﹣2 ﹣?﹣2 +n?2 =﹣
n+1

+n?2

n+1

=(n﹣1)2 +2.

6


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