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正弦定理课件


正弦定理

1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其变形. 2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状.

一、情景导入:

问题1:如图,河流两岸有A、B两村庄,有人说 利用测角器与直尺,不过河也可以得到A、B两 地的距离(假设你现在的位置是A点),请同学们 讨论设计一个方案解决这个问题。 B 1、测出角A、C的大小 2、量出AC的长度 C

A

问题2:此类问题可以归纳为在三角形中,已 知某些边与角,求其他的边与角的问题,此类 解三角形 问题. 问题在数学里称为___________

问题3:在Rt三角形中,角C=90o,如何定义 sinA, sinB? A a b sin A ? , sin B ? c c
a b c c? ? ? si nA si nB sinC
b c

C

a

B

问题 4 【猜想与推广】

那么对于一般的三角形,以上关系式是否 仍然成立?

可分为直角三角形,锐角三角形, 钝角三角形三种情况分析.

当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据 对 三角函数的定义, ? si n? 对=斜sinθ(θ为锐角)

CD=asinB=bsinA,则

a b ? sin A sin B



C b A c

同理,做BC边上的高可得
AE=bsinC=csinB 即:

Ea D
B

c b ? sin C sin B
a b c ? ? sin A sin B sin C

所以,

当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,根据 三角函数的定义,

CD=asinB=bsinA,则

a b ? sinA sinB

A c b D

同理,做BC边上的高可得
AE=bsin∠ACE=bsinC=csinB 即:

c b ? sin C sin B
a b c ? ? sin A sin B sin C

E

C a



所以,

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考:你能否找到其他证明正弦定理的方法?

另证1:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
(R为△ABC外接圆半径)

证明:作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
' ? ? ?BAC ? 90 ?, ?C ? ?C
c

B

a O

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

c ? sin C ? sin C ? 2R c ? ? 2R sin C
'

C b

A

C/

1 1 1 另证2: S ab sin C ? bc sin A ? ac sin B ?ABC ? 2 2 2
A

c
B

b
ha
D

证明:
C



S ?ABC

1 ? aha 2

a
同理

而 h ? AD ? c ? sin B ? b sin C a


S ?ABC



S ?ABC

1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

1 1 S ?ABC ? ac sin B ? ab sin C 2 2 1 ? bc sin A 2 1 1

①a:b:c=sinA:_____:sin C. sinB a sinA a sinA b sinB ②b=sinB, c=sinC,c =______. sinC asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB a+b+c a b c ③sinA=sinB=sinC= =2R. sinA+sinB+sinC

2RsinC ④a=2RsinA,b=2RsinB,c=________.
a b c ⑤sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R .

定理的应用
例 1:在△ABC 中,已知c = 10,A = 45 , C = 30 ,
。 。
C

解三角形.(即求出其它边和角)
根据三角形内角和定理,B ? 180? ? (A ? C) ? 105? 解:

b
c

由正弦定理

得a ?

a c ? sin A sin C c ? sin A 10 ? sin 45? ? 10 2 = sin 30? sin C

a
B

A

b c 由正弦定理 ? sin B sin C

c ? sin B 10 ? sin 105? ? 5( 6 ? 2 ) 得 b= = sin C sin 30?

变式:在△ABC中,已知 A=30°,B=120°,c=12。
解三角形.

C ? 30 , a ? 12, b ? 12 3,
?

已知两角和任一边,求其它两边和一角

例2:在?ABC中,a= 3, b ? 2, B ? 45 , 求A, C, c
0

解:

2 3? a sin B 3 2 sin A ? ? ? b 2 (三角形中大边对大角) 2
0 0

? a ? b,? A ? B, 且0 ? A ? 180

? A ? 600 或A ? 1200

(1)当A ? 600 , C ? 1800 ? ( A ? B) ? 750 b sin C 2 6? 2 6? 2 ?c ? ? ? ? sin B 4 2 2 2 (2)当A ? 1200 , C ? 1800 ? ( A ? B) ? 150

(2)已知两边和 其中一边的对 角,求其他边和 角.

b sin C ?c ? ? sin B

2 6? 2 6? 2 ? ? 4 2 2 2

(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.

练习:在?ABC中,a=2, b ? 2, A ? 45 , 求B, C, c
0

2 2? b sin A 1 2 解:由正弦定理得 sin B ? ? ? a 2 2
? a ? b,? A ? B, 且00 ? B ? 1800

? B ? 30 , C ? 105
0

?

(三角形中大边对大角)

a sin C 2 6? 2 ?c ? ? ? ? 3 ?1 sin A 4 2 2

思考
利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问 题?

1.已知两角和任一边,求其它两边和 一角;
2.已知两边及其中一边对角,求另一 边的对角及其他的边和角。

例3、判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o

一解
两解 无解

思考:
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三 角形什么情况下有一解,二解,无解?
A 为锐角 A 为钝角或直角 图 形

关系 式 解的 个数

①a = bsinA ②a≥b 一解

bsinA< a<b

a<bsinA

a>b

a≤b

两解

无解

一解

无解

a b c 例4 .在ΔAB C 中, 已知 ? ? , co sA co sB co sC 试判断ΔAB C 的形状 .
a ? k,由正弦定理,得 解: 令 sin A

a ? k sinA, b ? k sinB, c ? k sinC

代入已知条件,得: sinA ? sinB ? sinC
cosA cosB

cosC



tanA ? tanB? tanC
又A,B,C ?(0 ,π), ? A ? B ? C,
从而ΔABC为正三角 形。

? 3.在△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,若b =acos C,试判断△ABC的形状. ? 解析: ∵b=acos C, ? 由正弦定理得:sin B=sin A·cos C. ? ∵B=π-(A+C), ? ∴sin(A+C)=sin B. ? 即sin Acos C+cos Asin C=sin A·cos C, ? ∴cos Asin C=0,
∵A、C∈(0,π), π ∴cos A=0,∴A= , 2 ∴△ABC 为直角三角形.

练习 在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且 sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. 【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A

=sin2B+sin2C转化为边的关系式,从而判断 △ABC的形状.

互动探究3 状.

若本例中的条件“sin A=2sin B cos C”

改为“sin2A=2sin B sin C”,试判断△ABC的形 解:由sin2A=sin2B+sin2C, 得a2=b2+c2.∴A=90°. ∵sin2A=2sin B sin C, ∴a2=2bc,∴b2+c2=2bc.

∴b=c,
∴△ABC为等腰直角三角形.

【名师点评】

判断三角形的形状,主要看其是

否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角 三角形或锐角三角形等,要特别注意“等腰直角 三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区 别.

作业
1、在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C, 且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
a 2 sin A cos B 2、在?ABC中,若 2 ? ,判断?ABC的形状。 b cos A sin B

3.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,
cos(A ? C ) ? cos B ? 3 2 b 2,

? ac ,求 B


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