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2017年北京市海淀区高三一模数学理试题(word版含答案)


2017 海淀区高三一模 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?x | x( x ?1) ? 0? ,集合 B ? ?x | x ? 0? ,则 A ? B ? ( A. ?x | x ? ?1 ? B. ?x | x ? ?1 ? C. ?x | x ? 0? )

D. ?x | x ? 0? )

2.已知复数 z ? i(a ? bi ) ( a , b ? R ) ,则“ z 为纯虚数”的充分必要条件为( A. a ? b ? 0
2 2

B. ab ? 0

C. a ? 0 , b ? 0 )

D. a ? 0 , b ? 0

3.执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为(

A. 0

B.3 )
b

C.6

D.8

4.设 a , b ? R ,若 a ? b ,则( A.

1 1 ? a b

B. 2 ? 2
a

C. lg a ? lg b
1

D. sin a ? sin b )

5.已知 a ?

?

1

0

xdx , b ? ? x 2 dx , c ? ?
0

1

0

xdx ,则 a , b , c 的大小关系是(
C. b ? a ? c D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

? 2 t ?x ? ??? ? ??? ? ? 2 6.已知曲线 C : ? ( t 为参数) , A(?1, 0) , B(1, 0) ,若曲线 C 上存在点 P 满足 AP ? BP ? 0 , ?y ? a ? 2 t ? ? 2
则实数 a 的取值范围为( A. ? ? ) B. ??1,1? C. ? ? 2, 2 ? D. ? ?2, 2? )

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

?

?

7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排,甲和乙都排在丙的同一侧,排法种数为( A.12 B.40 C.60 D.80

8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示,有如图检查项目:

项目①:折叠状态下(如图 1) ,检查四条桌腿长相等; 项目②:打开过程中(如图 2) ,检查 OM ? ON ? O ' M ' ? O ' N ' ; 项目③:打开过程中(如图 2) ,检查 OK ? OL ? O ' K ' ? O ' L ' ; 项目④:打开后(如图 3) ,检查 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? 90? ; 项目⑤:打开后(如图 3) ,检查 AB ? A ' B ' ? C ' D ' ? CD . 在检查项目的组合中,可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是” ( A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.③④⑤ )

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)
9.若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? a5 , a4 ? 8 ,则公比 q ? ,前 n 项和 Sn ? . . .

P 的轨迹方程为 10.已知 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,满足 || PF 1 | ? | PF2 ||? 2 的动点
11.在 ?ABC 中, c ? a cos B .① A ? ;②若 sin C ?

1 ,则 cos(? ? B) ? 3

12.若非零向量 a , b 满足 a ? (a ? b) ? 0 , 2 | a |?| b | ,则向量 a , b 夹角的大小为

?

?

? ? ?

?

?

?

?



?1 ? x 2 , x ? 0, 13.已知函数 f ( x ) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x ? a) ? 0 在 (0, ??) 内有唯一实根,则实数 a 的最 ?cos ? x, x ? 0.
小值是 .

? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.已知实数 u , v , x , y 满足 u ? v ? 1 , ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则 z ? ux ? vy 的最大值是 ? x ? 2, ?
2 2



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.已知

? 是函数 f ( x) ? 2cos2 x ? a sin 2 x ? 1 的一个零点. 3

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递增区间. 16.据报道,巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠 8 ? 10 万吨油轮的深水港, 通过这一港口,中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区,这相当于给中国平添了一条大动脉!在打造中 巴经济走廊协议(简称协议)中,能源投资约 340 亿美元,公路投资约 59 亿美元,铁路投资约 38 亿美元, 高架铁路投资约 16 亿美元,瓜达尔港投资约 6.6 亿美元,光纤通讯投资约为 0.4 亿美元. 有消息称,瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.表格记录了 2015 年天津、上海两港口的月吞吐量(单位:百万吨) : 1月 天津 上海 24 32 2月 22 27 3月 26 33 4月 23 31 5月 24 30 6月 26 31 7月 27 32 8月 25 33 9月 28 30 10 月 24 32 11 月 25 30 12 月 26 30

(Ⅰ)根据协议提供信息,用数据说明本次协议投资重点;

(Ⅱ)从表中 12 个月任选一个月,求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过 55 百万吨的概率; (Ⅲ)将(Ⅱ)中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过 55 百万吨的概率,设 X 为瓜达尔未来 12 个月的月货物吞吐量超过 55 百万吨的个数,写出 X 的数学期望(不需要计算过程) . 17.如图,由直三棱柱 ABC ? A1B1C1 和四棱锥 D ? BB1C1C 构成的几何体中, ?BAC ? 90? , AB ? 1 ,

BC ? BB1 ? 2 , C1D ? CD ? 5 ,平面 CC1D ? 平面 ACC1 A1 .

(Ⅰ)求证: AC ? DC1 ; (Ⅱ)若 M 为 DC1 的中点,求证: AM / / 平面 DBB1 ; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 DP 与平面 BB1D 所成的角为 存在,说明理由. 18.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 4(a ?1)ln( x ? 1) ,其中实数 a ? 3 .
2

? BP ?若存在,求 的值,若不 BC 3

(Ⅰ)判断 x ? 1 是否为函数 f ( x ) 的极值点,并说明理由; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 在区间 ?0,1? 上恒成立,求 a 的取值范围. 19.已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1, 与 x 轴不重合的直线 l 经过左焦点 F 且与椭圆 G 相交于 A ,B 两点, 弦 AB 1, 2

的中点为 M ,直线 OM 与椭圆 G 相交于 C , D 两点. (Ⅰ)若直线 l 的斜率为 1,求直线 OM 的斜率; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使得 | AM | ?| CM | ? | DM | 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明
2

理由. 20.已知含有 n 个元素的正整数集 A ? ?a1 , a2 ,…, an ? ( a1 ? a2 ? … ? an , n ? 3 )具有性质 P :对任意不

大于 S ( A) (其中 S ( A) ? a1 ? a2 ? … ? an )的正整数 k ,存在数集 A 的一个子集,使得该子集所有元素的 和等于 k . (Ⅰ)写出 a1 , a2 的值; (Ⅱ)证明: “ a1 , a2 ,?, an 成等差数列”的充要条件是“ S ( A) ? (Ⅲ)若 S ( A) ? 2017 ,求当 n 取最小值时 an 的最大值.

n( n ? 1) ” ; 2

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科)答案 一、选择题
1-5: ADBBC 6-8: CDB

二、填空题
9.2, 2 ? 1
n

10. x ?
2

y2 ?1 3

11.90, ?

1 3

12.120

13. ?

1 2

14. 2 2

三、解答题
15.解: (Ⅰ)由题意可知 f ( ) ? 0 ,即 f ( ) ? 2 cos

?

?

2

?
3

3

3

? a sin

2? ?1 ? 0 , 3

即 f ( ) ? 2( ) ?
2

?

3

1 2

3 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ? 3 . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ?1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2sin(2 x ? 函数 y ? sin x 的递增区间为 ? 2k? ? 由 2 k? ?

5? )?2 , 6

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?

,k ?Z .

?

2 2? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 得 k? ? 3 6

? 2x ?

5? ? ? 2 k? ? , k ? Z , 6 2

所以, f ( x ) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

2? ?? , k? ? ? , k ? Z . 3 6?

16.解: (Ⅰ)本次协议的投资重点为能源, 因为能源投资为 340 亿,占总投资 460 亿的 50% 以上,所占比重大. (Ⅱ)设事件 A :从 12 个月中任选一个月,该月超过 55 百万吨. 根据提供的数据信息,可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是: 56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56, 其中超过 55 百万吨的月份有 8 个, 所以, P( A) ?

8 2 ? . 12 3

(Ⅲ) X 的数学期望 EX ? 8 . 17.(Ⅰ)证明:在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , 故 AC ? CC1 , 由平面 CC1D ? 平面 ACC1 A1 ,且平面 CC1D ? 平面 ACC1 A 1 ? CC1 , 所以 AC ? 平面 CC1D , 又 C1D ? 平面 CC1D , 所以 AC ? DC1 . (Ⅱ)证明:在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , 所以 AA 1 ? AB , AA 1 ? AC , 又 ?BAC ? 90? , 所以,如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

依据已知条件可得 A(0, 0, 0) , C(0, 3,0) , C1 (2, 3,0) , B(0, 0,1) , B1 (2,0,1) , D(1, 3, 2) , 所以 BB1 ? (2,0,0) , BD ? (1, 3,1) , 设平面 DBB1 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

????

??? ?

?

? ???? ? n ?2 x ? 0, ? ? BB1 ? 0, ? 由 ? ? ??? 即? ? ? ? x ? 3 y ? z ? 0, ?n ? BD ? 0, ?
令 y ? 1 ,则 z ? ? 3 , x ? 0 ,于是 n ? (0,1, ? 3) , 因为 M 为 DC1 中点,所以 M ( , 3,1) ,所以 AM ? ( , 3,1) , 由 AM ? n ? ( , 3,1) ? (0,1, ? 3) ? 0 ,可得 AM ? n , 所以 AM 与平面 DBB1 所成角为 0, 即 AM / / 平面 DBB1 .

?

???? ? ?

3 2

???? ?

3 2

???? ?

?

3 2

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知平面 BB1D 的法向量为 n ? (0,1, ? 3) . 设 BP ? ? BC , ? ??0,1? , 则 P(0, 3?,1 ? ? ) , DP ? (?1, 3? ? 3, ?1 ? ? ) . 若直线 DP 与平面 DBB1 成角为

?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ??? ? | n ? DP | | 2 3? | 3 ? ? , | cos ? n, DP ?|? ? ??? ? 2 2 | n | ? | DP | 2 4? ? 4? ? 5
解得 ? ?

? ,则 3

5 ? ? 0,1? , 4

故不存在这样的点.
2 18.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? 2ax ? 4(a ?1)ln( x ? 1) 可得函数 f ( x ) 定义域为 (?1, ??) .

x2 ? (1 ? a) x ? (a ? 2) ? 4(a ? 1) 2 ? ? ?, f '( x) ? 2 x ? 2a ? ? x ?1 x ?1
令 g ( x) ? x2 ? (1 ? a) x ? (a ? 2) ,经验证 g (1) ? 0 , 因为 a ? 3 ,所以 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? (1 ? a)2 ? 4(a ? 2) ? a2 ? 6a ? 9 ? (a ? 3)2 ? 0 , 由二次函数性质可得,1 是函数 g ( x) 的异号零点, 所以 1 是 f '( x) 的异号零点, 所以 x ? 1 是函数 f ( x ) 的极值点. (Ⅱ)已知 f (0) ? 0 , 因为 f '( x) ?

2( x ? 1) ? x ? (a ? 2) ? x ?1



又因为 a ? 3 ,所以 a ? 2 ? 1 , 所以当 a ? 2 时,在区间 ?0,1? 上 f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 单调递减,所以有 f ( x) ? 0 恒成立; 当 2 ? a ? 3 时,在区间 ?0, a ? 2? 上 f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 单调递增, 所以 f (a ? 2) ? f (0) ? 0 ,所以不等式不能恒成立; 所以 a ? 2 时,有 f ( x) ? 0 在区间 ?0,1? 恒成立. 19.解: (Ⅰ)由已知可知 F1 (?1,0) ,又直线 l 的斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? y ? x ? 1, ? x1 ? 0, ? 由 ? x2 解得 ? 2 ? y1 ? 1, ? ? y ? 1, ?2
所以 AB 中点 M ( ?

4 ? x2 ? ? , ? ? 3 ? ?y ? ? 1. 2 ? 3 ?

2 1 , ), 3 3 1 1 于是直线 OM 的斜率为 3 ? ? . 2 2 ? 3
(Ⅱ)假设存在直线 l ,使得 | AM | ?| CM | ? | DM | 成立.
2

当直线 l 的斜率不存在时, AB 的中点 M (?1, 0) ,

所以 | AM |?

2 , | CM | ? | DM |? ( 2 ?1)( 2 ?1) ? 1 ,矛盾; 2

故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,联立椭圆 G 的方程, 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 2(k 2 ? 1) x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

于是

y1 ? y2 x ?x 2k 2 k ? k ? ( 1 2 ? 1) ? k ? (? 2 ? 1) ? 2 , 2 2 2k ? 1 2k ? 1

2k 2 k , 2 ), 点 M 的坐标为 (? 2 2k ? 1 2 k ? 1

4k 2 2 2(k 2 ? 1) 2 2 ? (1 ? k 2 ) . | AB |? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? 1 ? k ? (? 2 ) ? 4 ? ? 2k ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2 2 2

直线 CD 的方程为 y ? ?

1 4k 2 ? x ,联立椭圆 G 的方程,得 x 2 ? 2 , 2k 2k ? 1
2 2

设 C( x0 , y0 ) ,则 | OC | ? x0 ? y0 ? (1 ?
2

1 4k 2 ? 1 2 ) x ? , 0 4k 2 2k 2 ? 1
2 2

由题知, | AB | ? 4 | CM | ? | DM |? 4(| CO | ? | OM |)(| CO | ? | OM |) ? 4(| CO | ? | OM | ) ,
2



8(1 ? k 2 )2 4k 2 ? 1 k 2 (4k 2 ? 1) ? 4( ? ), (2k 2 ? 1)2 2k 2 ? 1 (2k 2 ? 1)2
2

化简,得 k ?

1 2 ,故 k ? ? , 2 2

所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 ( x ? 1) , y ? ? ( x ? 1) . 2 2

20.解: (Ⅰ) a1 ? 1 , a2 ? 2 . (Ⅱ)先证必要性: 因为 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,又 a1 , a2 ,?, an 成等差数列,故 an ? n ,所以 S ( A) ? 再证充分性:

n( n ? 1) ; 2

因为 a1 ? a2 ? … ? an , a1 , a2 ,?, an 为正整数数列,故有

a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? 4 ,?, an ? n ,
所以 S ( A) ? a1 ? a2 ? … ? an ? 1 ? 2 ? … ? n ? 又 S ( A) ?

n(n ? 1) , 2

n( n ? 1) ,故 am ? m ( m ? 1 , 2 ,?, n ) ,故 a1 , a2 ,?, an 为等差数列. 2

(Ⅲ)先证明 ?am ? 2m?1 ( m ? 1 , 2 ,?, n ) . 假设存在 a p ? 2 p ?1 ,且 p 为最小的正整数. 依题意 p ? 3 ,则 a1 ? a2 ? …? a p?1 ? 1 ? 2 ? … ? 2
p ?2

? 2 p ?1 ? 1 , ,又因为 a1 ? a2 ? … ? an ,

故当 k ? (2 p?1 ?1, a p ) 时, k 不能等于集合 A 的任何一个子集所有元素的和. 故假设不成立,即 ?am ? 2m?1 ( m ? 1 , 2 ,?, n )成立. 因此 2017 ? a1 ? a2 ? …? an ? 1 ? 2 ? …? 2n?1 ? 2n ?1, 即 2 ? 2018 ,所以 n ? 11 .
n

因为 S ? 2017 ,则 a1 ? a2 ? …? an?1 ? 2017 ? an , 若 2017 ? an ? an ? 1时,则当 k ? (2017 ? an , an ) 时,集合 A 中不可能存在若干不同元素的和为 k , 故 2017 ? an ? an ? 1,即 an ? 1009 . 此时可构造集合 A ? ?1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009? . 因为当 k ??2, 2 ? 1? 时, k 可以等于集合 ?1, 2? 中若干个元素的和;
2 2 2 2 2 故当 k ? 2 , 2 ? 1, 2 ? 2, 2 ? 3 时, k 可以等于集合 1, 2, 2 中若干不同元素的和;

?

?

?

?

??
8 8 8 8 8 故当 k ? 2 , 2 ? 1, 2 ? 2, …, 2 ? 255 时, k 可以等于集合 1, 2, …, 2 中若干不同元素的和;

?

?

?

?

故当 k ??497 ? 3,497 ? 4,… ,497 ? 511? 时, k 可以等于集合 1, 2, …, 28 , 497 中若干不同元素的和; 故当 k ??1009,1009 ?1,1009 ? 2,… ,1009 ?1008? 时, k 可以等于集合 1, 2,…, 28 , 497,1009 中若干不同 元素的和, 所以集合 A ? ?1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009? 满足题设,

?

?

?

?

所以当 n 取最小值 11 时, an 的最大值为 1009 .


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