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数列测试题及详解


高考总复习





第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.(文)(2011· 北京朝阳区期末)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2,则 a2 等 于( ) A.4 C.1

[答案] A [解析] S1=2a1-2=a1,∴a1=2,S2=2a2-2=a1+a2,∴a2=4. S3 S2 (理)(2011· 江西南昌市调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数 3 2 列{an}的公差是( 1 A. 2 C.2 [答案] C n?n-1? [解析] 设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d, 2 Sn d ∴{ }是首项为 a1,公差为 的等差数列, n 2 S3 S2 d ∵ - =1,∴ =1,∴d=2. 3 2 2 2.(2011· 北京西城区期末)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式 子中数值不能确定的是( a5 A. a3 an+1 C. an [答案] D an+1 a5 [解析] 等比数列{an}满足 8a2+a5=0,即 a2(8+q3)=0,∴q=-2,∴ =q2=4, a3 an a1?1-q5? + 1-q 1-q5 11 Sn+1 1-qn 1 S5 =q=-2, = = = ,都是确定的数值,但 = 的值随 n 的变化而 S3 a1?1-q3? 1-q3 3 Sn 1-qn 1-q 变化,故选 D. 3.(文)(2011· 巢湖质检)设数列{an}满足 a1=0,an+an+1=2,则 a2011 的值为( A.2 B.1
含详解答案

B.2 D.-2

) B.1 D.3

) S5 B. S3 Sn+1 D. Sn

)

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C.0 [答案] C

D.-2

[解析] ∵a1=0,an+an+1=2,∴a2=2,a3=0,a4=2,a5=0,…,即 a2k-1=0,a2k =2,∴a2011=0. (理)(2011· 辽宁沈阳二中检测,辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+
1(n∈N *

1 )且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+a9)的值是( 3 1 B.- 5 1 D. 5

)

A.-5 C.5 [答案] A

[分析] 根据数列满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*).由对数的运算法则,得出 an+1 与 an 的关系,判断数列的类型,再结合 a2+a4+a6=9 得出 a5+a7+a9 的值. [解析] 由 log3an+1=log3an+1(n∈N*)得,an+1=3an,∴数列{an}是公比等于 3 的等比 数列, ∴a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35, 1 ∴log (a5+a7+a9)=-log335=-5. 3 4.(2011· 辽宁丹东四校联考)已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, An 7n+45 an 且 = ,则使得 为正偶数时,n 的值可以是( Bn n+3 bn A.1 C.5 [答案] D an 2an a1+a2n-1 A2n-1 14n+38 7n+19 [解析] ∵{an}与{bn}为等差数列,∴ = = = = = ,将 bn 2bn b1+b2n-1 B2n-1 2n+2 n+1 选项代入检验知选 D. 5.(2011· 安徽百校论坛联考)已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的 等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( A.ab=AG C.ab≤AG [答案] C a+b [解析] 由条件知, a+b=2A, ab=G2, ∴A= ≥ ab=G>0, ∴AG≥G2, 即 AG≥ab, 2 故选 C. 1 6.(2011· 潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3,a1 成等 2
含详解答案

)

B.2 D.3 或 11

) B.ab≥AG D.不能确定

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a3+a4 差数列,则 的值为( a4+a5 1- 5 A. 2 C. 5-1 2

) B. D. 5+1 2 5+1 5-1 或 2 2

[答案] C 1 [解析] ∵a2, a3,a1 成等差数列,∴a3=a2+a1, 2 ∵{an}是公比为 q 的等比数列,∴a1q2=a1q+a1,∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q= ∴ a3+a4 1 5-1 = = ,故选 C. 2 a4+a5 q 5+1 . 2

7.(文)(2011· 四川资阳模拟)数列{an}的通项公式为 an=2n-49,当该数列的前 n 项和 Sn 达到最小时,n 等于( A.24 C.26 [答案] A n?n-1? [解析] 解法 1:a1=-47,d=2,∴Sn=-47n+ ×2=n2-48n=(n-24)2-576, 2 故选 A. 解法 2:由 an=2n-49≤0 得 n≤24.5,∵n∈Z,∴n≤24,故选 A. a11 (理)(2011· 山东实验中学期末)已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 a10 Sn 有最大值,则使得 Sn>0 的最大值 n 为( A.11 C.20 [答案] B a11 [解析] ∵Sn 有最大值,∴a1>0,d<0,∵ <-1, a10 ∴a11<0,a10>0,∴a10+a11<0, 20?a1+a20? ∴S20= =10(a10+a11)<0, 2 19?a1+a19? 又 S19= =19a10>0,故选 B. 2 8.(文)(2011 湖北荆门市调研)数列{an}是等差数列,公差 d≠0,且 a2046+a1978-a2 2012= 0,{bn}是等比数列,且 b2012=a2012,则 b2010· b2014=( A.0 C.4 B.1 D.8
含详解答案

) B.25 D.27

) B.19 D.21

)

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[答案] C [解析] ∵a2046+a1978=2a2012,∴2a2012-a2 2012=0, ∴a2012=0 或 2, ∵{bn}是等比数列,b2012=a2012,∴b2012=2,
2 ∴b2010· b2014=b2012 =4.

(理)(2011· 豫南九校联考)设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为 首项,2 为公比的等比数列,则 ab1+ab2+…+ab10=( A.1033 C.2057 [答案] A [解析] an=2+(n-1)×1=n+1,bn=1×2n 1=2n 1,
- -

)

B.1034 D.2058

ab1+ab2+…+ab10=a1+a2+a4+…+a29 1×?210-1? =(1+1)+(2+1)+(22+1)+…+(29+1)=10+ 2-1 =210+9=1033. 9.(2011· 重庆南开中学期末)已知各项均为正数的等比数列{an}的首项 a1=3,前三项的 和为 21,则 a3+a4+a5=( A.33 C.84 [答案] C [解析] ∵a1=3,a1+a2+a3=21,∴q2+q-6=0, ∵an>0,∴q>0,∴q=2,∴a3+a4+a5=(a1+a2+a3)· q2=84,故选 C. 10. (2011· 四川广元诊断)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=1, S3=a5, am=2011, 则 m=( ) B.1005 D.1007 ) B.72 D.189

A.1004 C.1006 [答案] C

a =1 ? ? ? 1 ?a1=1 [解析] 由条件知? ,∴? , 3×2 ?d=2 ? 3a1+ d=a1+4d ? 2 ? ∵am=a1+(m-1)d=1+2(m-1)=2m-1=2011, ∴m=1006,故选 C. 11.(2011· 辽宁铁岭六校联考)设{an}是由正数组成的等差数列,{bn}是由正数组成的等 比数列,且 a1=b1,a2003=b2003,则( A.a1002>b1002 C.a1002≥b1002 ) B.a1002=b1002 D.a1002≤b1002
含详解答案

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[答案] C a1+a2003 2 a1a2003 [解析] a1002= ≥ = b1b2003=b1002,故选 C. 2 2 12. (2011· 蚌埠二中质检)已知数列{an}的通项公式为 an=6n-4, 数列{bn}的通项公式为 bn=2n,则在数列{an}的前 100 项中与数列{bn}中相同的项有( A.50 项 C.6 项 [答案] D [解析] a1=2=b1,a2=8=b3,a3=14,a4=20,a5=26,a6=32=b5,又 b10=210= B.34 项 D.5 项 )

1024>a100,b9=512,令 6n-4=512,则 n=86,∴a86=b9,b8=256,令 6n-4=256,∵n ∈Z,∴无解,b7=128,令 6n-4=128,则 n=22,∴a22=b7,b6=64=6n-4 无解,综上 知,数列{an}的前 100 项中与{bn}相同的项有 5 项. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 1 13.(2011· 四川广元诊断)已知数列{an}满足:an+1=1- ,a1=2,记数列{an}的前 n 项 an 之积为 Pn,则 P2011=________. [答案] 2 1 1 [解析] a1=2,a2=1- = ,a3=1-2=-1,a4=1-(-1)=2,∴{an}的周期为 3, 2 2 且 a1a2a3=-1, ∴P2011=(a1a2a3)670· a2011=(-1)670· a1=2. 14.(2011· 湖北荆门调研)秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近 30 天每天入院治疗流 感的人数依次构成数列{an},已知 a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n (n∈N*),则该医 院 30 天入院治疗流感的人数共有________人. [答案] 255 [解析] ∵an+2-an=1+(-1)n (n∈N*),∴n 为奇数时,an+2=an,n 为偶数时,an+2

-an=2,即数列{an}的奇数项为常数列,偶数项构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列. 15×14 故这 30 天入院治疗流感人数共有 15+(15×2+ ×2)=255 人. 2 1 15.(2011· 辽宁沈阳二中检测)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等 2 a3+a10 差数列,则 =________. a1+a8 [答案] 3-2 2 1 [解析] ∵a1, a3,2a2 成等差数列,∴a3=a1+2a2,设数列{an}公比为 q,则 a1q2=a1 2
含详解答案

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+2a1q,∵a1≠0,∴q2-2q-1=0,∴q=-1± 2,∵an>0,∴q= 2-1, ∴ a3+a10 =q2=3-2 2. a1+a8

16.(文)(2011· 浙江宁波八校联考)在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行 成等差数列, 每一纵列成等比数列, 且从上到下所有公比相等, 则 a+b+c 的值为________. a c b 1 2 6

[答案] 22 [解析] 由横行成等差数列知,6 下边为 3,从纵列成等比数列及所有公比相等知,公 4+6 比 q=2,∴b=2×2=4 由横行等差知 c 下边为 =5,故 c=5×2=10,由纵列公比为 2 2 知 a=1×23=8,∴a+b+c=22. (理)(2011· 华安、连城、永安、泉港、漳平、龙海六校联考)有一个数阵排列如下:

则第 20 行从左至右第 10 个数字为________. [答案] 426 [解析] 第 1 斜行有一个数字,第 2 斜行有 2 个数字,…第 n 斜行有 n 个数字,第 20 29×?29+1? 行从左向右数第 10 个数字在第 29 斜行,为倒数第 10 个数字,∵ =435,∴第 2 20 行从左向右数第 10 个数字为 435-9=426. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2011· 四川广元诊断)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-2n,数 列{bn}的前 n 项和 Tn=3-bn. ①求数列{an}和{bn}的通项公式; 1 1 ②设 cn= an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Rn 的表达式. 4 3 [解析] ①由题意得 an=Sn-Sn-1=4n-4(n≥2) 而 n=1 时 a1=S1=0 也符合上式
含详解答案

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∴an=4n-4(n∈N ) 又∵bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn, ∴ bn 1 = bn-1 2



1 ∴{bn}是公比为 的等比数列, 2 3 而 b1=T1=3-b1,∴b1= , 2 3 1?n-1 ?1?n(n∈N+). ∴bn= ? =3· ?2? 2?2? 1?n 1 1 1 1 ②Cn= an·bn= (4n-4)× ×3? 4 3 4 3 ?2? 1?n =(n-1)? ?2? , ∴Rn=C1+C2+C3+…+Cn 1?2 ?1?3+3· ?1?4+…+(n-1)· ?1?n =? ?2? +2· ?2? ?2? ?2? 1?3 1 ?1?4+…+(n-2)?1?n+(n-1)?1?n+1 ∴ Rn=? +2· 2 ? ? ?2? ?2? ?2? 2 1?2 ?1?3 1 ?1?n-(n-1)· ?1?n+1, ∴ Rn=? + + … + ?2? ?2? ?2? ?2? 2 1?n ∴Rn=1-(n+1)? ?2? . 18.(本小题满分 12 分)(2011· 甘肃天水期末)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=pn2- 2n+q(p,q∈R),n∈N*. (1)求 q 的值; (2)若 a3=8,数列{bn}满足 an=4log2bn,求数列{bn}的前 n 项和. [解析] (1)当 n=1 时,a1=S1=p-2+q, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn2-2n+q-p(n-1)2+2(n-1)-q=2pn-p-2 ∵{an}是等差数列,∴p-2+q=2p-q-2,∴q=0. (2)∵a3=8,a3=6p-p-2,∴6p-p-2=8,∴p=2, ∴an=4n-4, 又 an=4log2bn,得 bn=2n 1,故{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.


所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=

?1-2n? n =2 -1. 1-2

19.(本小题满分 12 分)(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列 1 {bn}前 n 项和为 Sn,且 b1=1,bn+1= Sn. 3 (1)求 b2,b3,b4 的值; (2)求{bn}的通项公式;
含详解答案

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(3)求 b2+b4+b6+…+b2n 的值. 1 1 1 1 1 4 1 1 16 [解析] (1)b2= S1= b1= ,b3= S2= (b1+b2)= ,b4= S3= (b1+b2+b3)= . 3 3 3 3 3 9 3 3 27

?b =3S (2)? 1 ?b =3S
n+1 n

1

n

① ②

n-1

1 4 ①-②解 bn+1-bn= bn,∴bn+1= bn, 3 3 1 1 ?4?n-2 ∵b2= ,∴bn= · 3 3 ?3? (n≥2)

1 ?n=1? ? ? ∴bn=?1 ?4?n-2 . · ? n ≥ 2 ? ? ?3 ?3? 4?2 1 (3)b2,b4,b6…b2n 是首项为 ,公比? ?3? 的等比数列, 3 1 4 [1-? ?2n] 3 3 ∴b2+b4+b6+…+b2n= 4?2 1-? ?3? 3 4 = [( )2n-1]. 7 3 20 . ( 本小题满分 12 分 )(2011· 湖南长沙一中月考 ) 已知 f(x) = mx(m 为常数, m>0 且 m≠1).设 f(a1),f(a2),…,f(an)…(n∈N)是首项为 m2,公比为 m 的等比数列. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 bn=anf(an),且数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 m=2 时,求 Sn; (3)若 cn=f(an)lgf(an),问是否存在 m,使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存 在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] (1)由题意 f(an)=m2· mn 1,即 man=mn 1.
- +

∴an=n+1,∴an+1-an=1, ∴数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. (2)由题意 bn=anf(an)=(n+1)· mn 1,


当 m=2 时,bn=(n+1)· 2n 1,


∴Sn=2· 22+3· 23+4· 24+…+(n+1)· 2n 1①


①式两端同乘以 2 得, 2Sn=2· 23+3· 24+4· 25+…+n· 2n 1+(n+1)· 2n 2②
+ +

②-①并整理得, Sn=-2· 22-23-24-25-…-2n 1+(n+1)· 2n
+ +2

=-22-(22+23+24+…+2n 1)+(n+1)· 2n


+2

含详解答案

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22?1-2n? + =-2 - +(n+1)· 2n 2 1-2
2

=-22+22(1-2n)+(n+1)· 2n 2=2n 2· n.
+ +

(3)由题意 cn=f(an)· lgf(an)=mn 1· lgmn 1=(n+1)· mn 1· lgm,
+ + +

要使 cn<cn+1 对一切 n∈N*成立, 即(n+1)· mn 1· lgm<(n+2)· mn 2· lgm,对一切 n∈N*成立,
+ +

①当 m>1 时,lgm>0,所以 n+1<m(n+2)对一切 n∈N*恒成立; n+1 ②当 0<m<1 时,lgm<0,所以 >m 对一切 n∈N*成立, n+2 n+1 1 2 2 因为 =1- 的最小值为 ,所以 0<m< . 3 3 n+2 n+2 2 综上,当 0<m< 或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. 3 1 1 1 21. (本小题满分 12 分)(2011· 烟台调研)将函数 f(x)=sin x· sin (x+2π)· sin (x+3π)在区间 4 4 2 (0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 1 1 1 [解析] (1)化简 f(x)=sin x· sin (x+2π)· sin (x+3π) 4 4 2 x x x? 1 -cos ?=- sinx =sin cos · 2? 4 4? 4 π 其极值点为 x=kπ+ (k∈Z), 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2 2n-1 π an= +(n-1)·π= π(n∈N*). 2 2 π (2)bn=2nan= (2n-1)· 2n 2 π - ∴Tn= [1· 2+3· 22+…+(2n-3)· 2n 1+(2n-1)· 2n] 2 π + 2Tn= [1· 22+3· 23+…+(2n-3)· 2n+(2n-1)· 2n 1] 2 π + 相减得,-Tn= [1· 2+2· 22+2· 23+…+2· 2n-(2n-1)· 2n 1] 2 ∴Tn=π[(2n-3)· 2n+3]. 22. (本小题满分 12 分)(文)(2011· 重庆南开中学期末)已知各项均为正数的数列{an}满足: an+1+an 8 1 2 2 a1=3, = (n∈N*),设 bn= ,Sn=b2 1+b2+…+bn. an n+1 an+1-an (1)求数列{an}的通项公式;
含详解答案

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1 (2)求证:Sn< . 4 an+1+an 8 [解析] (1)∵ = , n+1 an+1-an
2 ∴a2 n+1-an=8(n+1), 2 2 2 2 2 2 2 ∴a2 n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=8[n+(n-1)+…+2]+9=(2n+1)2,∴an=2n+1. 1 ? 1 1 1 1 1 (2)b2 < = ? - n= 2= an ?2n+1?2 4n?n+1? 4?n n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn< [(1- )+( - )+…+( - )]= (1- )< . 4 2 2 3 n n+ 1 4 n+1 4 (理)(2011· 四川资阳模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{bn}满足:an= + + +…+ n ,求数列{bn}的通项公式; 3+1 32+1 33+1 3 +1 anbn (3)令 cn= (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 4 [解析] (1)当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知 a1=2 满足该式 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. b1 b2 b3 bn (2)an= + + +…+ n (n≥1)① 3+1 32+1 33+1 3 +1 bn+1 b1 b2 b3 bn ∴an+1= + 2 + 3 +…+ n + n+1 ② 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 ②-①得, bn+1 + =a + -a =2,bn+1=2(3n 1+1), + 3n 1+1 n 1 n

故 bn=2(3n+1)(n∈N*). (3)cn= anbn =n(3n+1)=n· 3n+n, 4

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n) 令 Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,① 则 3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n 1②


3?1-3n? + + ①-②得,-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n 1= -n×3n 1 1-3 ?2n-1?×3n 1+3 ∴Hn= , 4


∴数列{cn}的前 n 项和 ?2n-1?×3n 1+3 n?n+1? Tn= + . 4 2


含详解答案


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