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竞赛物理题


【练习 9】 在一根长度为 l 的绳子下端悬挂着一个质量为 M 的重锤, 上短固 定在一根以匀角速度 ? 旋转着的转轴上。如图 2.15(a)所示。 重锤以匀速率在一半径不变的的圆形轨道上运动。 求绳子与铅锤 方向所成角 ? 。

分析与解

由图 2.15(b)受力图,写出重锤运动方程 Tcos ? =Mg Tsin ? =Mr ? 2 =Ml ? 2 sin ? (2.41) (2.42)

方程(2.41)化为 T=Ml ? 2 联立方程(2.41) 、 (2.43)得 cos ? =
g l? 2

(2.43)

, ?1 =arcos(

l? 2 )

g

(2.44)

似乎所求的 ? 已经得到。但仔细检查答案发现,当 ? 较小时,

? ? l? 2 >1,即 cos >1,无意义。那么, 小时重锤跑到哪里去了?
根据物理上考虑,重锤一定在! ? 一定有解! 进一步检查发现,上面运算有问题。方程( 2.42 )不应该变为 (2.43) , 而应该变为 sin ? (T﹣M l? 2 )=0 sin ? =0, ? =0, ?3 = ? 2 (2.45)

g

方程(2.43)丢掉了 ? 的另一个解 (2.46)

这个解表示在小 ? 的时候, 重锤在铅锤位置, 而且不管 ? 为何值, 这个解都是允许的。 因此,本题解得三个平衡位置

讨论平衡位置稳定性, 我们可以在一个以 ? 角频率旋转的参照系 来考查,上面解得的 ? 值是平衡位置,但还不知道是否是稳定平 衡。对 ? 的偏离相当于在以悬线顶端 O 为圆心, l 为半径,竖直 平面内圆上偏离。 如图 2.15(c)所示重锤上作用三个力:绳张力 T,惯性离心力
M l? sin ?
2

cos ? ﹣Mgsin ? =Mgsin ? (

l? 2 cos ? g

﹣1)

(2.48)

利用此式,先判定在各平衡点附近切向力 f( ? )的正负

从上述两图可以得到稳定平衡解

最后,还可以用 cos ? ﹣ ? 曲线直观表示上面的结论。如图 2.15 (d)所示。


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