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甘肃省天水一中2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


天水市一中 2014 级 2015——2016 学年度第一学期第一学段考试 数学文科
(满分 100 一、 时间 90 分钟) 选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题 p : ?x ? R, 2 x ? 5 ,则 ?p 为( A、 ?x ? R, 2 x ?

5 B、 ?x ? R, 2 x ? 5 ) C、 ?x0 ? R, 2 x0 ? 5 ) D、 ?x0 ? R, 2 x0 ? 5

2. 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A.5 B.8 C.10 D.14
2

3.已知椭圆的一个焦点为 F(0,1),离心率 e ? 1 ,则该椭圆的标准方程为( A.
x2 y 2 ? ?1 3 4


y2 ?1 2

B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

C. )

x2 ? y2 ? 1 2

D. x 2 ?

4 若 a ? R ,则 a ? 2 是 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5. 抛物线 y ? A.3 6.双曲线 x ?
2

1 2 x 上点 P 的纵坐标是 4,则其焦点 F 到点 P 的距离为( 4
B.4 C.5 ) C. m ? 1 ) D. m ? 2 D. 6



y2 ? 1 的离心率大于 2 则( m
B. m ? 1

A. m ?

1 2

7.下列 4 个命题是真命题的是(
2 2

①“若 x ? y ? 0 则 x 、 y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若 A ? B ? A 则 A ? B ”的逆否命题 ④“末位数字不是零的数可被 3 整除”的逆否命题 A. ①② 8.已知椭圆 E : B. ②③ C. ①③ D. ③④

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两 a 2 b2

1

点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(



A.

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 45 36 36 27 27 18 18 9 x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的一个焦 a 2 b2
)

9.已知双曲线

?

?

点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 21 28 4 3 3 4 28 21
, 分别是双曲线 的左、右焦点,过 且垂直于

10.已知点

轴的直线与双曲线交于 值范围是( A. ) B.



两点,若

是钝角三角形,则该双曲线离心率的取

C.

D.

二 填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置 11.若过点 P (5, ?2) 的双曲线的两条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的 实轴长为______ 12.在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 {an } 的前 n 项和 S n ? 127 ,则 n 的值为 ________. 13. 实轴是虚轴的 3 倍,且经过点 P (3, 0) 的双曲线的标准方程是 14. 已知数列 {an } 中, a1 ? 3, a2 ? 5 ,且对于任意的大于 2 的正整数 n, 有 an ? an?1 ? an?2 则 a11 ? 15.设 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________. 三、解答题:本大题共 4 个小题,共 40 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 解答应写在答题卡指定的区域内. 16 (本题满分 8 分)

2

已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax -ax+1>0 对? x∈R 恒成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围. 17. (本题满分 10) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn=

x

2

1 * (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

18(本题满分 10 分) .已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,-2). (Ⅰ)求抛物线 C 的方程 (Ⅱ)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 19(本题满分 12 分) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜 率. 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 5
2

文科答案 一 DBAAC CCDBC 二 11 .6 12 三 16
n?7

x2 ? y 2 ? 1 14 13 9
x

-5 15

?1

已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递增;命题 q:
2

不等式 ax -ax+1>0 对? x∈R 恒成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围. 解 由命题 p,得 a>1,对于命题 q,
2

因 x∈R,ax -ax+1>0 恒成立, 又因 a>0,所以 Δ =a -4a<0, 即 0<a<4.由题意知 p 与 q 一真一假,
2

3

当 p 真 q 假时,?

?a>1, ? ?a≤0或a≥4. ?

所以 a≥4.(8 分) 当 p 假 q 真时,?
? ?a≤1, ?0<a<4, ?

即 0<a≤1.

综上可知,a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞). 17 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ? ?2a1 ? 10d ? 26
Sn = 3n+







a1 ? 3 ,d ? 2 , 所 以

; an ? 3 ? ( 2n? 1) = 2 n + 1

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以 bn=

1 1 1 1 1 1 1 = = ?( = ? ), 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 ,即数列 ?bn ? 的前 n 项和 )= ? (1- + ? +? + ) = ? (1n+1 4(n+1) 4 2 2 3 n n+1 4

Tn =

n . 4(n+1)
18 解:(1)将(1,-2)代入 y =2px, 2 得(-2) =2p×1,所以 p=2. 2 故所求的抛物线 C 的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t, 由?
? ?y=-2x+t, ?y =4x, ?
2 2

得 y +2y-2t=0.

2

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以Δ =4+8t≥0,解得 t≥- . 2 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= |-t| 5 可得 = ,解得 t=±1. 5 5 5 , 5

? 1 ? ? 1 ? 因为-1??- ,+∞?,1∈?- ,+∞?, ? 2 ? ? 2 ?
所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 19
4

.已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜 率. 【答案】解: (Ⅰ) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则

| x ? 4 |? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ? 1 . 所 以 , 动点 M 的 轨 迹为 椭 圆 , 方程 为 4 3

(Ⅱ) P(0, 3), 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),由题知: 2 x1 ? 0 ? x2, 2 y1 ? 3 ? y2 椭圆 的上下顶点坐标分别是 (0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜率 k 存在. 设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ?

? 24 k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x2 1 ( x ? x2 ) 2 ? 2 x1 ? x2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? 1 ? ? ? ?k ?? 2 x2 x1 2 x1 ? x2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2
所以,直线 m 的斜率 k ? ?

3 2

5


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