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1.1.2充分条件与必要条件


1.1.2充分条件

和必要条件

下列语句是命题吗?

x ? 1是方程x ? 3x ? 2 ? 0的解
2

真 假

方程x ? 3x ? 2 ? 0的解是x ? 1
2

知 识 回 顾
原命题 若p则q 互 否 命 题

真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p

学生活动 判断下列命题的真假.
若x ? y, 则x ? y
2 2

若x 2 ? 1, 则x ? 1 若两个三角形相似,则 这两个三角形对应角相 等

问题1:条件和结论有什么关系

建构数学
如果命题“若p则q”为真,则记作p (或q p)。读作 “ p推出 q ”.

?

?q
q

如果命题“若p则q”为假,则记作p (或q

p)。读作 “ p推不出 q ”.

问题1:说明条件和结论有什么关系? ? (1)x=y ? x2=y2 ; x2=y2 x= y


? (2)x2>1

x>1

x>1

? x2>1

(3)两个三角形相似

? 三角形对应角相等 两个三角形对应角相等? 三角形相似

建构数学 :定义 一般地,如果 p ? q,那么称p是q的充分条件(sufficient
condition)同时称q是p的必要条件(necessary condition)
如果 p ? q ,且 q ? p ,称p是q的充分必要条件, 简称为p是q的充要条件(sufficient and necessary condition),记作: p ? q 如果 如果p

p ? q,且q

p,则说p是q的充分不必要条件

q, 且q ?

p ,则说p是q的必要不充分条件
p , 则说p是q的既不充分也不

如果p q, 且 q 必要条件

建构数学

问题2:如何理解充分条件与必要条件中的 “充分”与“必要”呢?

建构数学
上述定义知“ p ? q ”表示有p必有q,所以p是q的 充分条件,但同时说q是p的必要条件是为什么呢? q 是p是必要条件说明没有q就没有p了, q是 p成立的 必不可少条件,但有q 未必一定有p。

充分性:说条件是充分的,也就是说条件是
充足的,条件是足够的,条件是足以保证的。 “有之必成立,无之未必不成立”

必要性:必要就是必须,必不可少。
“有之未必成立,无之必不成立”

数学运用
2 2

充分不必要 条件 (1)x=y是 x ? y 的_____________ 必要不充分 (2)ab = 0是a = 0 的________________ 条件 2 既不充分又不必要 条件 (3)x >1是x<1的__________________ 2 充要 条件 (4)x=1或x=2是 x -3x+2=0的_____

数学运用
例题:指出下列各组命题中,p是q的什么 条件: (1) p:x-1=0;q:(x-1)(x+2)=0.

充分不必要条件
(2) p:两条直线平行;q:内错角相等.

充要条件
(3) p:a>b;q:a2>b2

既不充分又不必要条件 必要不充分条件

(4) p:四边形的四条边相等; q:四边形是正四边形.

学生活动
运用本节课所讲的知识填空
? ①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的__ 条件; ? ②“x>5”是“x>3”的 条件; ? ③“x≠3”是“|x|≠3”的 条件; ? ④“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能 被5整除”的 条件; ? ⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全 等”的 条件;

图 示

:灯泡L

:开 关 :电 源

现规定电路中,记“开关K 闭合”为p,“灯泡L 点亮 为q,指出下列各电路图中p是q的什么条件?
K K


A
K

K

A
L L

L

L

(A) p 是q 的 充要条件

(B) p 是q 的 必要而不 充分条件

(C) p 是q 的 充分而不 必要条件

(D) p 是q 的既 不充分也不 必要条件

作 业 布 置
一、生活中的一些名言警句包含着充要关系, 如:“骄兵必败”、“玉不琢,不成器”、 “若要人不知,除非己莫为”等等. 请大家自己试着找一些,分析其充要关系. 感受数学的魅力. P8, 二、习题1.1 1,2,3,4


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