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高中排列组合经典例题


运用两个基本原理 例 1.n 个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果? 例 2.同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人 的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( ) (A)6 种 (B)9 种 (C)11 种 (D)23 种 解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘 明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。 其次

, 我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理和公式进行分 析解答的同时, 还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题 迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一.特殊元素(位置)的“优先安排法”:对于特殊元素(位置)的排列组合 问题,一般先考虑特殊,再考虑其他。 例 1. 用 0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中 偶数共有( )。 A. 24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个 30。 例 2. (1995 年上海) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念,若老师 不排在两端,则共有不同的排法( )种. 72 例 3. (2000 年全国)乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名队 员参加比赛,3 名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安 排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有( )种. A33·A72=252 例 4.从 0,1,……,9 这 10 个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到 不含相同数字的五位偶数多少个? 例 5.8 人站成两排,每排 4 人,甲在前排,乙不在后排的边上,一共有多 少种排法? 特殊优先,一般在后 对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在 操作时,针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。 练习 1 (89 年全国)由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数, 其中小于 50000 的偶数共有 个(用数字作答)。 36 三. 合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题, 按元素的性质进行 分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不 漏。 四.相邻问题用捆绑法:在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体 考虑,将相邻的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再考虑 大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法. 例 7. 有 8 本不同的书; 其中数学书 3 本, 外语书 2 本, 其它学科书 3 本. 若 将这些书排成一列放在书架上, 让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排 法共有( )种.(结果用数值表示)

A55 A33 A22=1440(种). 例 8.7 名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法? 解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与 其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的顺序,所以共有 种。 例 9.8 人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,有多少种排法? 例 10. 5 个男生 3 个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法? 练习 3 四对兄妹站一排,每对兄妹都相邻的站法有多少种? 答案:A44· 24=384 五.不相邻问题用“插空法”:不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其 它元素将它们隔开. 解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻 的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法. 例 11.用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,2 与 4 相邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不相邻。这样的八位数共有( ) 个.(用数字作答) 例 12. 7 名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法? 解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法,所以甲、乙二人不相邻的 排法总数应为: 种 . 例 13. 排一张有 8 个节目的演出表, 其中有 3 个小品, 既不能排在第一个, 也不能有两个小品排在一起,有几种排法? 例 14. 5 个男生 3 个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有 几种排法? 练习 4. 4 男 4 女站成一行,男女相间的站法有多少种? 答案:2A44· A44 例 15. 马路上有编号为 1、2、3、…、9 的 9 盏路灯,现要关掉其中的三 盏,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关两端的路灯,则满足要求的关 灯方法有几种? 练习 5 从 1、2、…、10 这十个数中任选三个互不相邻的自然数,有几种 不同的取法? 答案:C83。 六.顺序固定用“除法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这 几个元素与其他元素一同进行全排列, 然后用总的排列数除于这几个元素的全排 列数。 例 16.6 个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多 少种? 例 17.4 个男生和 3 个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从 左到右女生从矮到高排列,有多少种排法。 A74 种排法 元素定序,先排后除或选位不排或先定后插 对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,再除以定序元素的全排, 或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列,然后对其它元素进行排列。 也可先放好定序的元素,再一一插入其它元素。 例 18. 5 人参加百米跑,若无同时到达终点的情况,则甲比乙先到有几种 情况?

练习 6 要编制一张演出节目单,6 个舞蹈节目已排定顺序,要插入 5 个歌 唱节目,则共有几种插入方法? 七.分排问题用“直排法”:把几个元素排成若干排的问题,可采用统一排成 一排的排法来处理。 例 19.7 个人坐两排座位,第一排 3 个人,第二排坐 4 个人,则不同的坐 法有多少种? A77 八.逐个试验法:题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规 律。 例 20. 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的方格中,每方格填 1 个,方格标号与所填数字均不相同的填法种数有( ) A.6 B.9 C.11 D.23 B 九、构造模型 “隔板法” 对于较复杂的排列问题, 可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问 题。 例 21.方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解? 例 10.把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室,每个阅 览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方 法求解,并思考这些方法是否适合更一般的情况? 15 例 22.20 个相同的球分给 3 个人,允许有人可以不取,但必须分完,有多 少种分法?
2 C21 ? 210

相同元素进盒,用档板分隔 例 23.10 张参观公园的门票分给 5 个班,每班至少 1 张,有几种选法? C94 注:档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。 练习 9 从全校 10 个班中选 12 人组成排球队,每班至少一人,有多少种 选法? C119 十.正难则反——排除法 对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论,可 以考虑“总体去杂”,即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算出符 合条件的排列组合数的方法. 例 24.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与 乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )种. A.140 种 B.80 种 C.70 种 D.35 种 C. 注:这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题. 例 25.求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
4 C8 ? 12 ? 58 个。

例 26. 100 件产品中有 3 件是次品, 其余都是正品。 现在从中取出 5 件产品, 其中含有次品,有多少种取法?
5 5 C100 ? C95 ? 17347001 种。

例 27.8 个人站成一排,其中 A 与 B、A 与 C 都不能站在一起,一共有多 少种排法?
P88 ? 2 P22 P77 + P22 P66 =21600 种排法。

十二.一一对应法: 例 29. 在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场失败要退出比赛)最 后产生一名冠军,要比赛几场? 99 场。 十三、多元问题——分类讨论法 对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。 例 30. (2003 年北京春招) 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法 的种数为(A ) A.42 B.30 C.20 D.12 A。 例 31.(2003 年全国高考试题)如图, 一个地区分为 5 个行政区域,现 给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同 的着色方法共有多少种?(以数字作答) 72. 多类元素组合,分类取出 例 32. 车间有 11 名工人,其中 4 名车工,5 名钳工,AB 二人能兼做车 钳工。今需调 4 名车工和 4 名钳工完成某一任务,问有多少种不同调法? 十四、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略. 例 33.(2002 年北京高考)12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的 调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 例 34.(2003 年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种 中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植 方法共有 ( ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种

排列与组合 配合练习
一.填空题:(用直接填空法解下列排列组合问题) 1.7 个人并排站成一排 (1)如果甲必须站在中间,有__________________种排法. (2)如果甲、乙两人必须站在两端,有_____________________种排法. 2.用 0,1,2,3,4,5,可以组成没有重复数字的四位偶数_________________个.

用集团法-----若千元素要相邻时,或要按顺序 3.四男三女排成一排,(1)三个女的要相邻,有________种排法; (2)女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有___________种. 用插空位的方法-----若千元素互不相邻时. 4.四男三女排成一排,(1)女同学互不相邻,有____________种排法. (2)男同学互不相邻,女同学也互不相邻,有____________种排法. 用间接法. 5.8 人排成一排,其中甲、乙两人不排在一起,有______________________种排 法. 6.平面内有 8 个点,其中有 4 个点共线,另外还有三点共线,此外再无三点共线. 则(1)过这 8 个点中的任何两点可和__________条直线.(2)由这 8 个点可以 组成 __________个不同的三角形. 分组分配问题: 7.18 名同学,(1)平均分成三组,有____________种分法.(2)平均分给数、 理、 化 小 组有___________种分法.(3)分配给化学小组 7 人,物理小组 6 人,数学小组 5 人,有 __________种分法.(4)分给数、理、化小组,其中一个组为 5 人,一个组为 6 人, 一 个组为 7 人,有_________种分法. 二.填空题(用多种方法解) 1.某班上午要上语文、数学、体育和英语,又体育教师因故不能上第一节和第 四节, 则不同的排课方案有_________________种. 2.从 5 位女同学,6 位男同学中选出 3 位女同学和 2 位男同学担任五种不同的 职务, 有____________________种选法. 3.从甲、乙,......,等 6 人中选出 4 名代表,那么 (1)甲一定当选,共有___________种选法.(2)甲一定不入选,共有_________种 选法. (3)甲、乙二人至少有一人当选,共有_____________种选法. 4.将 5 本不同的数学书,4 本不同的物理,3 本不同的化学书排成一排, (1)各类书必须排成一起,问有________________________种排法. (2)化学书不全排在一起,问有________________________种排法. (3)化学书每两本都不相邻,问有________________种排法. 5.有男女售票员各 4 人,被分配在四辆公共汽车上,要求每辆车上男、女各 1 人,则有 ________________种分法. 6.四个男孩和三个女孩站成一列 ,男孩甲前面至少有一个女孩站着 ,并且站在 这个男 孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩的个数,则有 _______________________ 种站法. 配合练习解答 一.填空题: 1. (1). P66=720 (2). P22P55=240 2. 156 个 3. (1) 720 (2) 840 4 3 4. (1) P4 P 5=1440 (2) 144 5. P88-P77P22=30240

6. (1) 21 (2) 51 7. (1) (C618C612)/P33 (2) C618C612 (3) C718C611 (4) C518C613P33 二.填空题: 1. P12.P33=12 2. C35C26P55=18000 3. (1) 10 (2) 5 (3) 14 4.(1) P33P55P44P33 (2) P1212 – P 1010.P33 (3) P99.P310 5. P44P44 6. P13P55+C13C13P22P44+P23P44=936


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