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湖南省长沙市长郡中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题


长郡中学 2015-2016 学年度高二第一学期期中考试 数学(文科)
时量:120 分钟 满分:100 分 一、选择题(每小题 3 分,共 45 分) 1、 已知命题 p : 若 x2 ? y 2 ? 0( x, y ? R) ,则 x , y 全为 0;命题 q : 若 a ? b ,则

1 1 ? ,给出 a b

下列四

个复合命题:○ 1 p ? q ;○ 2 p ? q ;○ 3 ? p ;○ 4 ? q ,其中真命题的个数是 A\ 、1 B、2 2、若 A、B 为互斥事件,则 A 、 P( A) ? P( B) ? 1 C、3 D、4

B、 P( A) ? P( B) ? 1

C、 P( A) ? P( B) ? 1 D、 P( A) ? P( B) ? 1

3、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则点 P 到另一个焦点的距离为 25 16

A 、 2 B、 3 C、5 D、7 4、同时掷 3 枚硬币,至少有一枚正面向上的概率是 A 、

7 8

B、

5 8

C、

3 8

D、

1 8

5、变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)、(11,3.2)、(11,8.3)、(12,5.4)、 (13,5);变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)、(11,3.4)、(11,8.3)、(12, 5.2)、(13,1). r1 表示变量 X 与 Y 之间的线性相关系数, r2 表示变量 U 与 V 之间的线性相 关系数,则 A 、 r2 ? r 1 ?0 B、 0 ? r2 ? r 1 C、 r2 ? 0 ? r 1 D、 r2 ? r 1

2 2 6、双曲线 kx ? 5 y ? 5 的一个焦点是(0,2),则 k ?

A 、

5 3
2

B、 ?

5 3

C、

15 3

D、 ?

15 3

7、抛物线 y ? 4 x 的准线方程是 A 、 y??

1 4

B、 y ?

1 8

C、 y ?

1 16

D、 y ? ?

1 16

2 8、命题“若 x ? 4 ,则 ?2 ? x ? 2 ”的逆否命题是

A 、若 x ? 4 ,则 x ? 2 或 x ? ?2
2

2 B、若 ?2 ? x ? 2 则 x ? 4

C、若 x ? 2 或 x ? ?2 则 x ? 4 ,
2

D、若 x ? 2 或 x ? ?2 则 x ? 4
2

9、“ ? ?

?
6

? k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A 、 充分不必要条件 C.、 充要条件

B.、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

10、点 A,B 的坐标分别是 (?5, 0), (5, 0) ,直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是

?

4 ,则点 M 的轨迹方程是 9

x2 9 y 2 ? ? 1( x ? ?5) A 、 25 100
C、

x 2 100 y 2 ? ? 1( x ? ?5) B、 25 9
D、

x2 9 y 2 ? ? 1( y ? 0) 25 100

x 2 100 y 2 ? ? 1( y ? 0) 25 9

11、在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双 a 2 b2

曲线离心率的取值范围是 A 、e ?

2

B、 1 ? e ?

2

C、 e ? 2

D、 1 ? e ? 2

12、ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的 点到点 O 的距离大于 1 的概率是 A 、

? 4

B、 1 ?

? 4

C、

? 8

D、 1 ?

? 8

13、设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,P 是 C 上的点, a 2 b2

PF2 ? F1 F2 , ?PF1 F2 ?
A 、

?
6

, 则 C:的离心率为
B、

3 6

1 3

C、

1 2

D、

3 3

14、 经过双曲线上任一点 M 作平行于实轴的直线, 与渐近线交于 P, Q 两点, 则 MP ? MQ 为 定值,其值为 A 、 a
2

B、 b

2

C、 c

2

D、 ab

15、曲线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是曲线 C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, a 2 b2

且曲线 C1 与曲线 C2 交点连线过点 F,则曲线 C2 的离心率是

A 、

2 ?1

B、

2 ?1 2

C、

6? 2 2

D、 2 ? 1

题号 答案

1 B

2 D

3 D

4 A

5 C

6 B

7 D

8 D

9 A

10 C

11 C

12 B

13 D

14 A

15 D

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 16、抛物线 y 2 ? 4 px( p ? 0) 上一点 M 到焦点的距离是 a, a ? p ,则点 M 的横坐标是 ___ a ? p ___
4 2 17、给出以下命题○ 1 ?x ? R 有 x ? x ;○ 2 使 sin 3? ? 3sin ? ;○ 3 对 ?x ? R, ?? ? R ,使

x2 ? 2 x ? a ? 0 ,其中真命题是_______○ 2 _________
18、观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如下图所示,则新生婴儿体重在(2700,3000] 的频率是_____0.3______

19、将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下:0001,0002,0003,。。。,1000.打算从中抽 取一个容量为 50 的样本, 按系统抽样的方法分成 50 个部分, 如果第一部分编号为 0001, 0002, 0003,。。。从第一部分随机抽取一个号码为 0015,则第 40 个号码为__0.795___ 20、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 是椭圆上的动点,当 ?F1PF2 为钝角时,点 P 的 13 4

横坐标的取值范围是____ (? 三、解答题

65 65 , ) ________ 3 3

21、从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入为 xi (单位:千元)与月储蓄 为 yi (单位:千元)的数据资料,算得

? xi ? 80,? yi ? 20,? xi yi ? 184,? xi 2 ? 720,
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

10

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; y ? 0.3x ? 4 (2)判断 x 与 y 是正相关还是负相关;正相关 (3)若该居民区家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄。1.7

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 10 i i

10

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, a ? y ? bx ,其中 x, y 为样本平均值,

线性回归方程也可以写为 y ? bx ? a 。 22、已知 p : 1 ?

?

?

x ?1 ? 2, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) 若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 3

实数 m 的取值范围。

(9, ??)
23、已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 。 (1)设集合 P ? {1, 2,3} , Q ? {?1,1, 2,3, 4} ,分别从计和 P,Q 中随机取一个数作为 a , b ,求 函数 y ? f ( x) 在区间 [1, ??) 是增函数的概率。

1 3

?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,记 A ? { y ? f ( x)有两个零点, 其中 ?y ? 0 ?

一个大于1,另一个小于1} 求事件 A 发生的概率。

961 1280

2 24、如图,已知直线与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, OD ? AB 交 AB

于点 D,点 D 的坐标是(2,1) (1)求 AB 直线的方程; y ? ?2 x ? 5 (2)求 p 的值。 p ?

5 4

25、如图,已知中心在原点且焦点在 x 轴上的椭圆 E 经过点 A(3,1)离心率 e ?

6 3

(1)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 ? ?1 12 4

(2)过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆 E 于 A,C 两点,过原点 O 与 AC 垂直的直线交椭圆 E 于 B,D 两点,求证:A,B,C,D 四点在同一个圆上。 x ? y ? x ? y ? 6 ? 0
2 2


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