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上海市金山中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


金山中学 2015 学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷
(考试时间:90 分钟 满分:100 分 命题人:干志华 审核人:孙冠军) 一、填空题(本大题共 12 小题,满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. 设集合 A ? {5, a ? 1} , B ? {a, b} ,若 A ? B ,则 a

? b ? ____________. 2. 函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) 是偶函数,则 f (2) ? ____________. 3. 已知函数 f ( x) ?

x2 , g ( x) ? x ?1

x ?1 ,则 f ( x) ? g ( x) ? ____________. x

4. 设集合 M ? {x | y ? 2 ? x ? 2} , N ? {y | y ? 2 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ____________. 5. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x

? 1 ? ? 1? ,则 ? U A ? ____________. ? x ?

6. 若集合 {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} 中至多只有一个元素,则实数 a 的取值范围是____________. 7. 已知集合 A ? {x | x ? 5} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充 分非必要条件,则实数 a 的取值范围是____________. 8. 若命题“存在实数 x ,使得 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 成立”是假命题,则实数 a 的取
2

值范围是____________. 9. 已知集合 M ? x ( x ? 2)( x ? 5) ? 0 ,集合 N ? x ( x ? a )( x ? 2a ? 1) ? 0 ,若

?

?

?

?

M ? N ? N ,则实数 a 的取值范围是____________.
10. 已知 a ? b ,且 ab ? 1 ,则

a 2 ? b2 ? 1 的最小值是____________. a ?b

11.定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P ( A) ,用 n( A) 表示有 限集 A 的元素个数. 给出下列命题: ① 对于任意集合 A ,都有 A ? P( A) ; ② 存在集合 A ,使得 n[ P( A)] ? 3 ; ③ 若 A ? B ? ? ,则 P( A) ? P( B) ? ? ; ④ 若 A ? B ,则 P( A) ? P( B) ;

⑤ 若 n( A) ? n( B) ? 1 ,则 n[ P( A)] ? 2 ? n[ P( B)] . 其中所有正确命题的序号为____________. 12. 对于一切实数 x ,若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? b) 的值恒为非负数,则

M?

a?b?c 的最小值为____________. b?a

二、选择题(本大题共有 4 小题,满分 12 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分. 13.下列结论正确的是???????????????????????????? ( ) (B) 若 a ? b , c ? d ,则 a ? d ? b ? c (D) 若 a ? b , c ? d ,则

(A) 若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d (C) 若 a ? b , c ? d ,则 ac ? bd

a b ? d c


14. 若集合 A 、B 是全集 U 的两个子集, 则 “ A? B ” 是 “? 的???? ( U ” U A ?B ? (A) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要非充分条件 (D) 既非充分又非必要条件

15. 设整数 n ? 4 , 集合 X ? {1, 2,3,?, n} , 令集合 S ? {( x, y, z) | x ? X , y ? X , z ? X , 且三

条件x ? y ? z, y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立} . 若 ( x, y, z ) 和 ( z, w, x) 都在 S 中,
则下列选项正确的是??????????????????????????? ( ) (B) ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S (D) ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S

(A) ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S (C) ( y, z, w) ? S , ( x, y, w) ? S

16.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,函数 f ( x) ? ?

?1, x ? Q 被称为狄利克雷 0 , x ? ? Q ? R

函数,其中 R 为实数集, Q 为有理数集,则关于函数 f ( x ) 有如下四个命题: ① f ( f ( x)) ? 0 ; ② 函数 f ( x ) 是偶函数; ③ 任取一个不为零的有理数 T , f ( x ? T ) ? f ( x) 对任意的 x ? R 恒成立;

④存在三个点 A( x1 , f ( x1 )) 、 B( x2 , f ( x2 )) 、 C ( x3 , f ( x3 )) ,使得 ?ABC 为等边三角形. 其 中 真命 题的 个数 是?? ? ?? ?? ?? ??? ? ?? ?? ?? ??? ? ??? ( (A) 1 ) (B) 2 (C) 3 (D) 4

三、解答题(本大题共 5 题,满分 52 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. 17. (本题满分 8 分)

?x?2 ?2 ? 解不等式组: ? x . ? ?| 2 x ? 1|? 1

18. (本题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | x ? (4 ? a ) x ? a ? 3 ? 0} , B ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} ,
2 2 2

C ? {x | 2 x2 ? 5x ? 2 ? 0} ,若 A ? B ? A ? C ? ? ,求 a 的值.

19. (本题满分 10 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 5 分,第二小题满分 5 分. 已知两个正数 a , b 满足 a ? b ? 1 . (1)求证:

1 1 ? ? 4; a b

(2)若不等式 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1|?

1 1 ? 对任意正数 a , b 都成立,求实数 x 的取值范围. a b

20. (本题满分 12 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 8 分. 某森林发生火灾,火势正以每分钟 100m 的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防 员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场 . 已知消防员在现场平均每人每分钟灭火
2

50m 2 ,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次救火所耗
损的车辆、 器械和装备等费用平均每人 100 元, 而烧毁 1m 森林损失费为 60 元. 设 t 表示 救火时间, x 表示去救火消防员人数. (1)求 t 关于 x 的函数表达式; (2)求应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少?
2

21. (本题满分 12 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 8 分.
2 2 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2ax ? a ? 0, a ? R} .

(1)当 A ? B ? A 时,求 a 的取值范围; (2)当 A ? B ? A 时,求 a 的取值范围.

金山中学 2015 学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷 参考答案
一、填空题: 1. 11; 4. {2} ; 7. ( ??,5) ; 10. 2 3 ; 2. 3; 5. [0,1] ; 8. (?2, 2] ; 11. ①④⑤; 3. x, x ? (?1,0) ? (0, ??) ; 6. {0} ? [1, ??) ; 9. (??, ?2] ? {1} ? [5, ??) ; 12. 3.

二、选择题: 13. B; 14. A; 15. D; 16. C.

三、解答题: 17. 解:由

x?2 ? 2 ,得 0 ? x ? 2 . ????????????????????(3 分) x
???????????????????? (6 分)

由 | 2 x ? 1|? 1 , 得 0 ? x ? 1.

故原不等式的解集为 (0,1] . ????????????????????(8 分)

18. 解: B ? {2,3} , C ? ? , 2? . ? ????????????????????(4 分) 由 A ? B ? A ? C ? ? ,得

?1 ?2

? ?

2? A.
从而 4 ? 2(4 ? a ) ? a ? 3 ? 0 ,
2

解得 a ? ?

5 或 a ? 3 . ??????????????????????(8 分) 2

当 a ? 3 时, A ? {2,3} ,不合题意,舍去. 当a ? ?

5 ?1 ? 时, A ? ? , 2? ,符合题意. 2 ?4 ?

故 a 的值为 ?

5 . ????????????????????????(10 分) 2

19.(1)证明:? a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,

1 1 ?1 1? b a ? ? ? ? ? ? ? ( a ? b) ? 1 ? ? ? 1 a b ?a b? a b

?2

b a ? ? 2 ? 4 . ????????????????(4 分) a b

?b a 1 ? ? 当且仅当 ? a b ,即 a ? b ? 时,等号成立. 2 ? ?a ? b ? 1


1 1 ? ? 4 . ??????????????????????(5 分) a b
?????(6 分)

(2)解: 由题意结合(1)可知,只须 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? 4 .

当x?

1 1 1 时,由不等式 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 4 ,得 ? ? x ? ; 2 3 2



1 1 ? x ? 2 时,由不等式 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 4 ,得 ? x ? 2 ; 2 2 7 . 3

当 x ? 2 时,由不等式 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 4 ,得 2 ? x ?

综上,实数 x 的取值范围是 ? ? , ? .?????????????(10 分) 3 3

? 1 7? ? ?

20.解: (1)由 100(5 ? t) ? 50tx ,得 t ?

10 , ( x ? 2, x ? N ) . ???????(4 分) x?2

(2)记总损失为 y 元,则

y ? 60 ?100(5 ? t ) ? 125tx ? 100 x ??????????????(7 分)
60000 2 ? 125 x ? ? 100 x x?2 x?2 62500 ? 31450 ? 100( x ? 2) ? x?2 ? 30000 ?

? 31450 ? 2 100( x ? 2) ?
当且仅当 100( x ? 2) ?

62500 ? 36450. ?????????(10 分) x?2

62500 ,即 x ? 27 时,等号成立. ????(11 分) x?2

故应派 27 名消防员前去救火,才能使总损失最少. ???????(12 分)

21.解: (1) A ? [1, 2] , ????????????????????????(1 分) 当 A ? B ? A 时, A ? B , 记 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 由?

? f (1) ? 0 ?1 ? 2a ? a ? 0 4 ,即 ? ,得 a ? . 3 ? f (2) ? 0 ?4 ? 4a ? a ? 0
4 3
????????????????(4 分)

即 a 的取值范围是 [ , ??) . (2)由 A ? B ? A ,得 B ? A . 记 f ( x) ? x ? 2ax ? a .
2

① 当 ? ? (?2a) ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时, B ? ? ,满足题意; ?(5 分)
2

② 当 ? ? 0 即 a ? 0 或 a ? 1 时,
2 若 a ? 0 ,则 B ? {x | x ? 0} ? {0} ,不合题意;????????(6 分)

若 a ? 1 ,则 B ? {x | ( x ?1) ? 0} ? {1} ? A ,满足题意; ???(7 分)
2 2 ③ 当 ? ? 0 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a 的图象与 x 轴有两个不同交点.
2 由 B ? A ,知方程 x ? 2ax ? a ? 0 的两根位于 1,2 之间.

?a ? 0或a ? 1 ? ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ?1 ? a ? 2 ? ? ?1 ? a ? 2 ? 从而 ? ,即 ?a ? 1 ,故 a ?? . ? f (1) ? 0 ? ? ?a ? 4 ? f (2) ? 0 ? 3 ?

??????(11 分)

综上, a 的取值范围是 (0,1] . ???????????????????(12 分)


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