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湖北省黄冈中学2012年 高三五月份模拟考试数学


湖北省黄冈中学 2012 届高三五月模拟考试 数学(理工类)
本试卷共 4 页,共 22 题,其中 15,16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案 标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷 上. 3.填空题和解答题的作答: 用统一提供的签字笔直 接答在答题卡上对应的区 域内。答在试卷纸、草稿纸上无效. 一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 M ? {? 1, 0 ,1} , N ? { a , a } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是
2

A.1 A. 1 ? 2i

B.0 B. ? 1 ? 2i

C.-1 C. ? 1 ? 2i

D.1 或-1 D.1 ? 2i

2.若 ( a ? 2 i ) i ? b ? i ,其中 a , b ? R , i 是虚数单位,复数 a ? b i ?

3.阅读右面的程序框图,则输出的 S = A.14 C.30

B.20 D.55

4.“ lg x , lg y , lg z 成等差数列”是“ y ? xz ”成立的
2

A.充分非必要条件; C.充要条件;

B.必要非充分条件; D.既非充分也非必要条件.

5.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 (第 3 题图) A. y ? cos x C. y ? ln
2? x 2? x
n

B. y ? ? x ? 1 D. y ? e ? e
x
*

?x

1 ? ? 2 6.已知二项式 ? x ? ? 2 x ? ?

? n ? N ? 展开式中,前三项的二项式系数和是
47 256

56,则展开式

中的常数项为 A.
45 256

B.

C.

49 256

D.

51 256

, 7.已知两点 A (1, 0 ) ,B (1, 3 )O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且 ? AOC ? 120 ,设 ???? ??? ? ??? ? O C ? ? 2 O A ? ? O B, (? ? R ) ,则 ? 等于

?

A. ? 1
2

B.2

C.1

D. ? 2

8.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A , B 两点,它们到直线 x ? ? 2 的距 离之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

9.某个体企业的一个车间有 8 名工人,以往每人年薪为 1 万元,从今年起,计划每人的年 薪都比上一年增加 20%,另外,每年新招 3 名工人,每名新工人的第一年的年薪为 8 千 元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,如果将第 n 年企业付给工人的 工资总额 y(万元)表示成 n 的函数,则其表达式为 A.y=(3n+5)1.2n+2.4 C.y=(3n+8)1.2n+2.4 B.y=8×1.2n+2.4n D.y=(3n+5)1.2n 1+2.4


10.如图, 平面四边形 ABCD 中,AB ? AD ? CD ? 1 , ? 2 , BD ? CD , 将其沿对角线 BD BD A '? BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体 A '? BCD 顶点在同一个球面 折成四面体 上,则该球的体积为 A' A A. C.
3 2 2 3

? ?

B. 3? D. 2 ?
B DB C C D

[来源:学.科.网]

第 10 题

二、填空题:本小题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得 分.
(一)必考题(11—14 题) 11. 函数 f ( x ) ? x ? x ? x ? 1 在点 (1, 2 ) 处的切线与函数 g ( x ) ? x 围成的图形的面积等于
3 2 2

. 12.平面直角坐标系中,圆 O 方程为 x ? y ? 1 ,直线 y ? 2 x 与圆 O 交于 A , B 两点,又
2 2

知角 ? 、 ? 的始边是 x 轴,终边分别为 OA 和 OB ,则 co s ? ? ? ? ? ?

.

?x ? y ? 4 ? 2 2 13.已知点 P 的坐标 ( x , y ) 满 足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 1 4 相交于 ?x ? 1 ?

A、B 两点,则 A B 的最小值为 14. 若实数 a ,b ,c 满足 2 ? 2 ? 2
a b a?b a b


c a?b?c

,2 ? 2 ? 2 ? 2

,则 c 的最大值是

.

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答) 15.如图,A,B 是圆 O 上的两点,且 OA⊥OB,OA=2,C 为 OA 的中点,连接 BC 并延长 交圆 O 于点 D,则 CD= .

16.已知直线 ?

? x ?1? t ? y ? 4 ? 2t

? t ? R ? 与圆 ?
.

? x ? 2 c os ? ? 2 ? y ? 2 sin ?

??

? [0, 2 ? ] ? 相交于 AB,则以 AB

为直径的圆的面积为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。
17. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin ( I ) 若 f (? ) ?
3 2 x 4 ,1 ), n ? (co s x 4 ,co s
2

x 4

?? ? ) .记 f ( x ) ? m ?n

,求 co s(

2? 3

? ? ) 的值;

(Ⅱ) 在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足

? 2 a ? c ? co s B

? b co s C ,若 f ( A ) ?

1? 2

3

,试判断 ? ABC 的形状.

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,等比数列 {b n } 的各项均为 正数,公比是 q ,且满足: a1 ? 3, b1 ? 1, b 2 ? S 2 ? 12, S 2 ? b 2 q . (Ⅰ)求 a n 与 b n ;
an

(Ⅱ )设 c n ? 3 b n ? ? ?2 求 ? 的取值范围.

3

? ? ? R ? ,若 ? c n ? 满足: c n ? 1

? c n 对任意的 n ? N 恒成立,
*

? 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? A B C D 中, 底面 A B C D 为菱形, B A D ? 60 , Q 为 A D 的中点. P A ? P D ? A D ? 2 .

?

(I)点 M 在线段 P C 上, P M ? tP C ,试确定 t 的值,使 P A // 平面 M Q B ; (II)在(I)的条件下,若平面 P A D ? 平面 ABCD,求二面角 M ? B Q ? C 的大小.

20.(本小题满分 12 分)某高校在 2011 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成 绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ) 若该校决定在笔试成绩高的第 3, 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, 4, (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组, 求学生 甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率; (ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受 考官D的面试,设第 4组中有X名学生被考官D面试, 求X的分布列和数学期望. 频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

21. (本小题满分 13 分)如图,F1、F2 分别为椭圆
????

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点,椭圆的右

准线 l 与 x 轴交于 A 点,若 F1 ? ? 1, 0 ? ,且 A F1 ? 2 A F 2 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1、F2 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 P、Q、 M、N 四点,求四边形 PMQN 面积的取值范围.

???? ?

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln a x ? (Ⅰ)求此函数的单调区间及最值; (Ⅱ) 求证: 对于任意正整数 n, 均有 1 ?
1 2 ?

x?a x

?a

? 0?

1 3

?? ?

1 n

? ln

e

n

( e 为自然对数的底数) ;

n!

(Ⅲ)当 a=1 时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数 y ? f ( x ) 的图象相切? 若存 在,有多少条 ?若不存在,说明理由.

湖北省黄冈中学 2012 届高高考模拟考试 数学(理工类)答案
一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 M ? {? 1, 0 ,1} ,N ? { a , a } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是
2

( D.1 或-1 (



A.1 解析:C

B.0

C.-1

2.若 ( a ? 2 i ) i ? b ? i ,其中 a , b ? R ,i 是虚数单位,复数 a ? b i ? A. 1 ? 2i 解析:B 3.阅读右面的程序框图,则输出的 S = A.14 B.20 C.30 ( ) D.55 B. ? 1 ? 2i C. ? 1 ? 2i D. 1 ? 2i



解析:C

4.“ lg x , lg y , lg z 成等差数列”是“ y ? xz ”成立的
2

A.充分非必要条件; C.充要条件; 解析:A

B.必要非充分条件; D.既非充分也非必要条件.
[来源:学科网 ZXXK]

5.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 A. y ? cos x C. y ? ln 解析:D 6.已知二项式 ( x 的常数项为 A.
45 256
2





B. y ? ? x ? 1 D. y ? e ? e
x ?x

2? x 2? x

? 2

1 x

)

n

(n ?

N?

)展开式中,前三项的二项式系数和是 56,则展开式中 ( ) D.
51 256

B.

47 256

C.

49 256

解析:A 7.已知两点 A (1, 0 ), B (1, 3 ), O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且 ? AOC ? 120 ,设
???? ??? ? ???? O C ? ? 2 O A ? ? O B, (? ? R ) ,则 ? 等于
?

( C.1 D. ? 2



A. ? 1 解析:C

B.2

8.过抛物线 y

2

? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A , B 两点,它们到直线 x ? ? 2 的距

离之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 解析:D

C.有无穷多条

( ) D.不存在

9.某个体企业的一个车间有 8 名工人,以往每人年薪为 1 万元,从今年起,计划每人的年

薪都比上一年增加 20%,另外,每年新招 3 名工人,每名新工人的第一年的年薪为 8 千元, 第二年起与老工人的年薪相同. 若以今年为第一年, 如果将第 n 年企业付给工人的工资总额 y(万元)表示成 n 的函数,则其表达式为( A.y=(3n+5)1.2n+2.4 C.y=(3n+8)1.2n+2.4 ) B.y=8×1.2n+2.4n D.y=(3n+5)1.2n 1+2.4


【解析】 A 第一年企业付给工人的工资总额为:1×1.2×8+0.8×3=9.6+2.4=12(万元), 而对 4 个选择项来说,当 n=1 时,C、D 相对应的函数值均不为 12,故可排除 C、D;A、 B 相对应的函数值都为 12,再考虑第 2 年付给工人的工资总额及 A、B 相对应的函数值, 又可排除 B. 10.如图, 平面四边形 ABCD 中,AB ? AD ? CD ? 1 , ? 2 , BD ? CD , 将其沿对角线 BD BD 折成四面体 A '? BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体 A '? BCD 顶点在同一个球面上, 则该球的体积为 ( ) A. C.
3 2

?

B. 3? D. 2 ?
B

A DB

A' D C C

2 3

?

解析:A

第 10 题

二、填空题:本小 题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得 分.
11. 函数 f ( x ) ? x ? x ? x ? 1 在点 (1, 2 ) 处的切线与函数 g ( x ) ? x 围成的图形的面积等于
3 2 2

解析:

4 3

12.平面直角坐标系中,圆 O 方程为 x ? y ? 1 ,直线 y ? 2 x 与圆 O 交于 A , B 两点,又
2 2

知角 ? 、 ? 的始边是 x 轴,终边分别为 OA 和 OB ,则 cos( ? ? ? ) ? _________



解析:

3 5

?x ? y ? 4 ? 2 2 13.已知点 P 的坐标 ( x , y ) 满 足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 1 4 相交于 ?x ? 1 ?

A、B 两点,则 AB 的最小值为 解析:4 14. 若实数 a ,b ,c 满足 2 ? 2 ? 2
a b a?b



,2 ? 2 ? 2 ? 2
a b c

a?b?c

,则 c 的最大值是

.

解析: lo g 2

4 3

15. 如图,A,B 是圆 O 上的两点,且 O A ? O B , O A ? 2 ,C 为 OA 的中点,连接 BC 并延长

交圆 O 于点 D,则 CD=_________

解析:

3 5 5

16.已知直线 ?

? x ?1? t ? y ? 4 ? 2t

? t ? R ? 与圆 ?

? x ? 2 c os ? ? 2 ? y ? 2 sin ?

??

? [0, 2 ? ] ? 相交于 AB,则以 AB

为直径的圆的面积为

. 解析:

16 5

?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin (I)若 f ( ? ) ?
3 2 x 4 ,1 ), n ? (co s 2? 3 x 4 ? ? ) 的值; ,co s
2

x 4

?? ? ) .记 f ( x ) ? m ?n

,求 co s(

(Ⅱ)在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足 (2a—c) co s B=b cos C ,
x 4 x 4

若 f(A)?

1? 2

3

,试判断 ? ABC 的形状.
1 2 x 2 1 2

17.解: f ( x ) ? 3 sin

co s

? co s

2

x 4

?

3 2

sin

x 2

?

co s

?

? x ? ? 1 ? sin ? ? ? ? 6 ? 2 ?2

??

2分

(I) 由已知 f ( ? ) ?

3 2

得 sin ?

?? ? 2

?

? ?

1 3 ?? ? 6 ? 2 2

,于是 ? ? 4 k ? ?

2? 3

,k ? ? ,

∴ co s(

2?

2? ? ? 2? ? ? ) ? co s ? ? 4k? ? ??1 3 3 ? ? 3

??6 分

(Ⅱ 根据正弦定理知: ? 2 a ? c ? co s B ? b co s C ? ( 2 sin A ? sin C ) co s B ? sin B co s C
?
3

? 2 sin A co s B ? sin ( B ? C ) ? sin A ? co s B ?
1? 2 3

1 2

? B ?

∵ f ( A) ?
?

∴ sin ?

? A ? 2

?

? ?
?
3

1 1? 3 A ? ? ? ? ? ?? ? 6 ? 2 2 2 6 3



2? 3

? A ?

?
3



而0 ? A ?

2? 3

,所以 A ?

,因此 ? ABC 为等边三角形.?????12 分

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,等比数列 {b n } 的各项均为正数,公比是 q , 且满足: a1 ? 3, b1 ? 1, b 2 ? S 2 ? 12, S 2 ? b 2 q . (Ⅰ)求 ? a n ? 与 {b n } ;
an

(Ⅱ)设 c n ? 3 b n ? ? ?2 求 ? 的取值范围. 18. (Ⅰ)由已知可得 ?

3

? ? ? R ? ,若 ? c n ? 满足: c n ? 1

? c n 对任意的 n ? N 恒成立,
*

?q ? 3 ? a2 ? 12 ?3 ? a2 ? q
2

,消去 a 2 得: q ? q ? 1 2 ? 0 ,解得 q ? 3 或
2
n ?1

q ? ? 4 (舍) ? a 2 ? 6, d ? 3 从而 a n ? 3 n , b n ? 3 ,
an

(Ⅱ)由(1)知: c n ? 3 b n ? ? ?2
*

3

? 3 ? ?2 .
n n
n ?1

∵ c n ? 1 ? c n 对任意的 n ? N 恒成立, 即: 3

? ? ?2

n ?1

? 3 ? ? ?2 恒成立,整理得:
n n

? ?2 ? 2 ?3 对任意的 n ? N 恒成立,即: ? ? 2 ??
n n *

?3? * ? 对任意的 n ? N 恒成立. ?2?

n

∵ y ? 2 ??

3 ?3? ? 在区间 ?1, ? ? ? 上单调递增,? y m in ? 2 ? ? 3 ? ? ? 3 . 2 ?2?

x

? ? 的取值范围为 ? ? ? , 3 ? .

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 为菱形,? B A D ? 60 ,Q 为 A D 的中点。
PA ? PD ? AD ? 2
?

(I)点 M 在线段 P C 上, P M ? tP C ,试确定 t 的值,使 P A // 平面 M Q B ; (II)在(I)的条件下,若平面 P A D ? 平面 ABCD,求二面角 M ? B Q ? C 的大小。

19.解: (1)当 t ?

时, P A // 平面 M Q B 3 下面证明:若 P A // 平面 M Q B ,连 A C 交 B Q 于 N 由 A Q // B C 可得, ? A N Q ∽ ? B N C ,
AQ BC AN NC 1

1

?

?

?

2 .....2分 .... ? P A // 平面 M Q B , P A ? 平面 P A C ,平面 P A C ? 平面 M Q B ? M N ,
? P A // M N ............ ............4分 1 PM AN 1 1 ? ? ?t ? 即: P M ? P C 3 ... PC AC 3 3 ...6分

(2)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD。 .7分 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,连 BD, 四边形 ABCD 为菱形, ∵AD=AB, ∠B AD=60°△ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ...... ......8分 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x , y , z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为
[来源:学+科+网]

A(1,0,0) ,B( 0, 3 , 0 ) ,Q(0,0,0) ,P(0,0, 3 ) 设平面
? ??? ? ?n ?QB ? 0 ? MQB 的法向量为 n ? ? x , y , z ? ,可得 ? ? ???? ,? P A // M N ,? ? ?n ? MN ? 0 ? ? ??? ? ? 3y ? 0 ?n ?QB ? 0 ? ? ,? ? ? ? ??? ? x ? 3z ? 0 ?n ? PA ? 0 ? ?

取 z=1,解得 n ? ( 3 , 0,1)

?

取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0 , 0 , 3 设所求二面角为 ? ,

?

???10 分

[来源:学+科+网]

?

则 cos ?

?

| QP ? n | | QP || n |

?

1 2

故二面角 M ? B Q ? C 的大小为 60°....... .......12分

20. 某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1 组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]得到的频率分 布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2) 若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试, (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概 率; (ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试,设第4组中有 X 名学生被 考官D面试,求 X 的分布列和数学期望. 解:(1) 第三组的频率为0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为0.04 ? 5=0.2; 第五组的频率为0.02 ? 5=0.1.…………3分 (2) (ⅰ) 设M:学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 P ( M ) ? (ⅱ) X P
E?X
C
1 28 3

?

1 145

??6分

C 30

0
2 5

1
8 15

2
1 15
[来源:学,科,网]

??

8 15

?

1 15

?2 ?

2 3

??12分

(本小题满分 13 分)
21.如图,F1、F2 分别为椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点,椭圆的右准线 l 与 x

轴交于 A 点,若 F1(-1,0),且 A F1 ? 2 A F 2 , (I)求椭圆的方程; (II)过 F1、F2 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 P、Q、M、 N 四点,求四边形 PMQN 面积的取值范围.
2 解:(I) 由 F1(-1,0)得 c ? 1 ,∴A 点坐标为 ? a , 0 ? ;??2 分

????

???? ?

∵ A F1 ? 2 A F 2

????

???? ?

∴ F2 是 A F1 的中点 ∴ a ? 3, b ? 2
2 2

∴ 椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

??5 分
1 2

3

2
M N ?PQ ? 4 ;

(II)当直线 MN 与 PQ 之一与 x 轴垂直时,四边形 PMQN 面积 S ? ????6 分

当直线 PQ,MN 均与 x 轴不垂直时,不妨设 PQ: y ? k ? x ? 1 ? ? k ? 0 ? ,
? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 代入消去 y 得 ? 2 ? 3 k ? x ? 6 k x ? ? 3 k ? 6 ? ? 0 ? ?1 ? 2 ? 3

设 P ? x1 , y 1 ? , Q ? x 2 , y 2 ? 则 x 1 ? x 2 ?

?6k

2 2

2 ? 3k

, x1 x 2 ?

3k ? 6
2

2 ? 3k

2

???8 分

∴ PQ ?

1? k

2

x1 ? x 2 ?

4 3 ? k ? 1?
2

2 ? 3k

2

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? ?k ? ,同理 M N ? 1 2?3 2 k

1 ? 2 ? 24 ? k ? 2 ? 2 ? 1 k ? ? ∴四边形 PMQN 面积 S ? M N P Q ? 1 ? 2 ? 2 6 ? k ? 2 ? ? 13 k ? ?
1 k
2

???10 分

令u ? k ?
2

,则 u ? 2, S ?

24 ? u ? 2 ? 6u ? 13

? 4?

4 6u ? 13

,易知 S 是以 u 为变量的增函数

所以当 k ? ? 1, u ? 2 时 , S m in ? 综上可知,
96 25

96 25

,∴

96 25

? S ? 4
? 96 ? ,4 ? 2 5 ? ???13 分 ? ?

? S ? 4 ,∴四边形 PMQN 面积的取值范围为
x?a x

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln a x ? (Ⅰ)求此函数的单调区间及最值; (Ⅱ) 求证: 对于任意正整数 n, 均有 1 ?
1 2 ?

?a

? 0?

1 3

?? ?

1 n

? ln

e

n

( e 为自然对数的底数) ;

n!

(Ⅲ)当 a=1 时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数 y=f(x)的图象相切? 若存 在,有多少条?若不存在,说明理由. 22、 (Ⅰ)解:由题意 f ? ( x ) ?
x?a x
2



??????1 分

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ?? ) , 此时函数在 (0, a ) 上是减函数,在 ( a , ? ? ) 上是增函数,
f m in ( x ) ? f ( a ) ? ln a ,无最大值.??????3 分
2

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?? , 0 ) , 此时函数在 ( ? ? , a ) 上是减函数,在 ( a , 0 ) 上是增函数,
f m in ( x ) ? f ( a ) ? ln a ,无最大值.??????5 分
2

(Ⅱ)取 a ? 1 ,由⑴知 f ( x ) ? ln x ? 故
1 x ? 1 ? ln x ? ln e x
1 2 ? 1 3

x ?1 x

? f (1) ? 0 ,


1 n e
n

取 x ? 1, 2, 3 ? , n ,则 1 ?

?? ?

? ln

.??????9 分
x0 ? 1 x0

n!

(Ⅲ)假设存在这样的切线,设其中一个切点 T ( x 0 , ln x 0 ?
x0 ? 1 x0
ln x 0 ? x0 ? 1 x0 ?1?
2

),

∴切线方程: y ? 1 ?

( x ? 1) ,将点 T 坐标代入得:

( x 0 ? 1) x0
2

2

,即 ln x 0 ?

3 x0

?

1 x0
2

?1 ? 0,



设 g ( x ) ? ln x ?
? x ? 0,

3 x

?

1 x
2

? 1 ,则 g ? ( x ) ?

( x ? 1)( x ? 2 ) x
3

.??????12 分

? g ( x ) 在区间 ( 0 ,1) , ( 2 , ?? ) 上是增函数,在区间 (1, 2 ) 上是减函数,

故 g ( x ) 极 大 值 ? g (1) ? 1 ? 0, g ( x ) 极 小 值 ? g ( 2 ) ? ln 2 ? 又 g ( ) ? ln
4 1 1 4 ? 1 2 ? 1 6 ? 1 ? ? ln 4 ? 3 ? 0 ,

1 4

? 0.

注意到 g ( x ) 在其定义域上的单调性,知 g ( x ) ? 0 仅在 ( ,1) 内有且仅有一根
4

1

方程①有且仅有一解,故符合条件的切线有且仅有一条.????14 分



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