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2013年上海市高三数学一模试卷填空题和选择题难题解答


上海市 2013 届高三一模卷填、选较难题详解
BS(宝山) R 12.已知半径为 R 的球的球面上有三个点,其中任意两点间的球面距离都等于 ?3 ,且经过这三个
2 3 . 解:设三点分别为 A、B、C,球心为 O,由题意知∠AOB=∠AOC=∠BOC= ? ,∴AB=BC=CA=R, 3

点的小圆周长为 4?,则 R= ∴小圆半径为<

br />R 3

,小圆周长为 2??

R 3

=4??R=2 3 .

13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如 3|12 表示 3 整除 12.试类比课本中不等关 系的基本性质,写出整除关系的两个性质.①_______________;②_______________. 解答:如:① a | b , b | c ? a | c ;② a | b , a | c ? a | (b ? c) ; ③ a | b , c | d ? ac | bd ;④ a | b, n ? N ? ? a n | bn . 14. 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 是 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 两 点 , 定 义 点 A 到 点 B 的 曼 哈 顿 距 离 B 则 L( A, B) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | . 若点 A(-1,1), 在曲线 y 2 ? x 上, L( A, B) 的最小值为 7/4 . 解: L( A, B) ?| ?1 ? x | ? | 1 ? y |?| 1 ? y 2 | ? | y ? 1 |? y 2 ? 1? | y ? 1 |? ? 当 y≥1 时, L( A, B) ?,∴ L( A, B)min ? 12 ? 1 ? 2 ; 17.函数 f ( x) ? x | arcsin x ? a | ?b arccosx 是奇函数的充要条件是???????( A )
2 2

? y 2 ? y,
2

y ?1 , ? y ? y ? 2, y ? 1

当 y≤1 时,L( A, B) ? ( y ? 1 )2 ? 7 , y= 1 时,L( A, B)min ? 7 , 7 ? 2 , L( A, B)min ? 7 . 当 ∵4 ∴ 4 4 2 2 4

(A) a ? b ? 0 (B) a ? b ? 0 (C) a ? b (D) ab ? 0 ? 解: f (x) 是奇函数且 f (0) 存在? f (0) ? 0 ? b ? 2 ? 0 ? b ? 0 , 此时, f ( x) ? x | arcsin x ? a | , 由 f (?1) ? ? f (1) ? ? | ? ? ? a |? ? | ? ? a | ? ? ? ? a ? ? ? ? a ?a=0. 2 2 2 2 CM(崇明) 13. 数列 {an } 满足 an ?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项和等于 1830 . 解: an ?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,n+1 代 n,得 an?2 ? (?1)n?1 an?1 ? 2n ? 1, 当 n 为奇数时, an?1 ? an ? 2n ? 1 , an?2 ? an?1 ? 2n ? 1 ? an?2 ? an ? 2 ?a1+a3=a5+a7=? = a57+a59=2?S 奇= 2 ? 30 ? 30 ,由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得: a2 ? a1 ? 1 , a4 ? a3 ? 5 , 2

a6 ? a5 ? 9 ,?, a60 ? a59 ? 2 ? 59 ? 1,以上各式相加,得 S 偶-S 奇= 1? 2?59 ?1 ? 30 ? 1770 2
∴S60=(S 偶-S 奇)+2S 奇=1770+60=1830.
x 14.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若同时满足条件:①对于任意 x?R,f(x)<0

或 g(x)<0 成立; ②存在 x?(-?,-4),使得 f(x)?g(x)<0 成立.则 m 的取值范围是 (-4, -2) . 解: g(x)<0?x<1, 由 要使对于任意 x?R, f(x)<0 或 g(x)<0 成立, x≥1 时, ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) <0 则 f 恒成立,故 m<0,且两根 2m 与-m-3 均比 1 小,得-4<m<0①. ∵x?(-?,-4)时,g(x)<0,故应存在 x0?(-?,-4),使 f(x0)>0, 只要-4>2m 或-4>-m-3?m<-2 或 m>1②,由①、②求交,得-4<m<-2.
1

1

CY(长宁) 7. 从数列 { 1n }(n ? N ? ) 中可以找出无限项构成一个新的等比数列 {bn } ,使得该新数列的各项和
2

为 1 ,则此数列 {bn } 的通项公式为 7 解:设 {bn } 的首项为
1 2m

bn ? 81n
1 m 2k

,公比为

1 2k

2 ,则 1? 1 ?

1 7

2 ? 2 k ?1 ?

k ?m

1 7

?7?2

k ?m

? 2k ? 1

?k=m=3,∴ bn ? 1 ( 1 )n ?1 ? 8 8

1 8n

1 2 12. (理)设 0<m< 1 ,若 m ? 1?2m ? k 恒成立,则 k 的最大值为 8 . 2

1 解: m ? 1?2 m ? 2

2 2m

2 4m ? 1?2 m ? ( 22 ? 1?2 m )([2m ? (1 ? 2m)] ? 4 ? 1?mm ? 1?2m ? 4 ? 2 4 ? 8 , 2 m 2

2 4m 1 当 1?m m ? 1? 2 m ,即 m= 1 时,上式成立等号,故 ( m ? 1?2 m )min ? 8 ,∴k≤8. 2 4
1 法二: m ? 1?2 m ? 2 1 m (1? 2 m )

?

1 ? 2m 2 ? m

?

1 ? 2( m ? 1 ) 2 ? 1 4 8

,其中 u ? ?2(m ? 1 )2 ? 1 ?(0, 1 ] 8 4 8

1 1 ∴ u ? 8 ,当 m= 1 时, ( m ? 1?2 m )min ? 8 ,∴k≤8. 2 4

13. ( 理 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) 的 值 域 为 (??,0] , 若 关 于 x 的 不 等 式

f ( x) ? c ? 1的解集为 (m ? 4, m ? 1) ,则实数 c 的值为 -21/4 .
解:△=0?a2+4b=0, f ( x) ? c ? 1 ? ? x ? ax ? b ? c ? 1 ? 0 ? x ? ax ? b ? c ? 1 ? 0 ,此不等
2 2

式的解集为 (m ? 4, m ? 1) ?|x1-x2|=5?(x1+x2)2-4x1x2=25?a2-4(-b+c-1)= a2+4b-4c+4=25 ?-4 c=21? c= ? 21 . 4 (文)设 a 为非零实数, 偶函数 f ( x) ? x ? a | x ? m | ?1 (x?R)在区间(2,3)上存在唯一零点, 则
2

实数 a 的取值范围是 (-10/3,

-5/2)

.

2 2 解:偶函数?m=0,即 f ( x) ? x ? a | x | ?1 ,令 f ( x) ? 0 ? x ? a | x | ?1 ? 0

??a ?

x 2 ?1 | x|

?| x | ? |1| ,x?(2,3),∴ ? a ? x ? 1 , x x

y y=-a

由图可知, f ( x) ? 0 在 x?(2,3)时有唯一解的充要条件 是 2 ? 1 ? ?a ? 3 ? 1 ? ? 10 ? a ? ? 5 3 2 2 3

O

2 3 x

14.(理)给出定义: m ? 1 ? x ? m ? 1 (其中 m 为整数), m 叫做离实数 x 最近的整数, 若 则 记作{x}, 2 2 即{x}=m. 在此基础上给出下列关于函数 f (x) = | x – {x}|的四个命题: ①函数 y = f (x)的定义域是 R,值域是[0, 1 ];②函数 y = f (x)的图像关于直线 x = k (k?Z)对称; 2 2 ③函数 y = f (x)是周期函数,最小正周期是 1;④函数 y = f (x)在[- 1 , 1 ]上是增函数. 则其中 2 2 真命题是 ①②③ (写出所有真命题的序号). 解:取 m=0,即 ? 1 ? x ? 1 ,则{x}=0,此时,f (x) = | x |, 2 2
2

y

取 m=1,即 1 ? x ? 3 ,则{x}=1,此时,f (x) = | x-1 |, 2 2 一般地,取 m=k,即 2k2?1 ? x ? 由图可知:①②③对,④错.
2 k ?1 2

取 m=2,即 3 ? x ? 5 ,则{x}=2,此时,f (x) = | x-2 |,?, 2 2

-2

-1 O
1 2

1

2

x

,则{x}=k,此时,f (x) = | x-k |,画出 f (x) 的图像如上,

(文)已知数列{an}满足 a1=1,且 an= 1 an ?1 ? ( 1 )n (n≥2 且 n?N*),则数列{an}中项的最大值为 1 . 3 3 解: n= 1 an ?1 ? ( 1 )n ? 3n an ? 3n ?1 an ?1 ? 1 ? {3n an } 是公差为 1 的等差数列, 3n an ? 3a1 ? n ? 1 a 3 ∴ 3 =n+2? an ? (n ? 2)(1 )n ,设 an+1-an= (n ? 3)(1 )n ?1 ? (n ? 2)(1 )n ? ( 1 )n ?1 (n ? 3 ? 3n ? 6) ? 0 , 3 3 3 3 ∴{an}↓,∴最大值的项为 a1= 1? 2 ? 1 . 3 FX(奉贤) 12. 已知函数 f(x)是(-?,+?)上的偶函数,g(x)是(-?,+?)上的奇函数,g(x)=f(x-1),g(3)=2013,则 f(2014)的值为 2013 . 解:g(x)=f(x-1)? f(x)=g(x+1),又 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)= f(-x)= g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2) ∴f(x+2)=-f(x)?f(x+4)=-f(x+2)=f(x)?T=4,∴f(2014)= f(2012+2)= f(2)=g(3)=2013. 13. (理)在平面直角坐标系 xOy 中,对于任意两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)的“非常距离” , 给出如下定义:若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|x1-x2|, 若|x1-x2|<|y1-y2|,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|y1-y2|. 已知 C 是直线 y ? 3 x ? 3 上的一个动点,点 D 的坐标是(0,1),则点 C 与点 D 的“非常距离” 4 的最小值是 8/7 . 解:过 C 作 CA⊥y 轴于 A,作 CB⊥直线 y=1 于 B,当 DB=DA 时, 可以使点 C 与点 D 的“非常距离”最小(若 C 往下移到 C1 或 往上移到 C2,则“非常距离”都会增大),设 C(t, 3 t+3),则 4 ∵|8|>| ? 8 |,故“非常距离”最小值为 8 . 7 7 14.(理)设函数 f(x)=2x-cosx,{an}是公差为 ? 的等差数列,f(a1)+f(a2)+?+f(a5)=5?, 8 则[f(a3)]2-a1a5=
? 4
3? 2 16

y C2 C1 C B O A D y=1 x

9 |t-0|=| 3 t+3-1|?t2=( 3 t+2)2? t2= 16 t2+3t+4?7t2-48t-64=0?t=8 或 t=- 8 , 4 4 7

.

解:a1=a3- , a2=a3- ? , a4=a3+ ? , a5=a3+ ? , 8 8 4 ? ? 5?=2?5a3-[cos(a3- 4 )+cos(a3+ 4 )+cosa3+ cos(a3- ? )+cos(a3+ ? )] 8 8 =10a3-cosa3(2cos ? +1+2cos ? ),{an}是公差为 ? 的等差数列,cosa3(2cos ? 4 8 8 4 14.(文) 椭圆 4xa 2 ?
2

+1+2cos ? )是一个 8
2 2

? 不含?的数值, cosa3=0 且 5?=10a3? a3= ? , 1= ? , 5= 34 , 故 a 4 a ? ∴[f(a3)]2-a1a5= ? 2 ? 316 ? 13? . 2 16
y2 3a 2

? 1(a ? 0) 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,当△FAB 的周
y A F O F? B x

长最大时,△FAB 的面积是 3a2 . 解:如图,AF+AB+BF≤AF+AF?+BF+BF?=2a? =4a? +2a? =8a, 当且仅当 AB 过右焦点 F?时,上式成立等号,即△FAB 的周长有 最大值 8a,此时直线 AB 方程为 x=a,代入椭圆方程,得
a2 4a 2
2 2

? 3ya 2 ? 1 ? 3ya 2 ? 3 ?|y|= 3 a ,∴△FAB 的面积为 2c? | y |? 2a ? 3 a ? 3a2 . 4 2 2

17.(理)已知 Sn 是等差数列{an}(n?N*)的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命题, 假命题的是( C ) ... (A)公差 d<0 (C)满 足 Sn>0 的 n 的个数有 11 个
a1 ?a1 3 2

(B)在所有 Sn<0 中,S13 最大 (D)a6>a7
a1 ?a1 2 2

解:S6>S7?a7=S7-S6<0,S6>S5?a6>0,∴(A)、(B)正确,S7-S5=a6+a7>0?S12= =6(a6+a7)>0,S13=

? 12

? 13=13 a7<0,故(C)错(应有 12 个)(B)对.
3

(文)已知 Sn 是等差数列{an}(n?N*)的前 n 项和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列 结论错误的是( C ) (A)S6 和 S7 均为 Sn 的最大值 (B)a7=0 (C)公差 d<0 (D)S9>S5 解:S5<S6?a6>0,S6=S7?a7=0,∴(A)(B)(C)都对,故(D)错. 18. 定义域是一切实数的函数 y=f(x),其图像是连续不断的,且存在常数? (??R),使得 f(x+?)+?f(x)=0 对任意实数 x 都成立,则称 f(x)是一个“?—伴随函数” .有下列关于“?—伴随 函数”的结论:①f(x)=0 是常数函数中唯一一个“?—伴随函数” ; ②“ 1 —伴随函数”至少有一个零点;③f(x)=x2 是一个“?—伴随函数”. 2 其中正确结论的个数是( A ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 解:对于①,设 f(x)=c,若 f(x)是一个“?—伴随函数” ,则 f(x+?)+?f(x)=0 对任意实数 x 都成立, ∴c+?c=0?c=0 或?=-1,故①错; 对于②,?= 1 ,f(x+ 1 )+ 1 f(x)=0,令 x=0,得 f( 1 )+ 1 f(0)=0,若 f(0)=0,则 f(x)=0 有零点 0; 2 2 2 2 2 若 f(0)≠0, 1 )f(0)=- 1 f2(0)<0, f( 2 又∵f(x)的图像是连续不断的, f(x)在(0, 故 2
1 2

)上必有实数根,

故②对; 对于③,若 f(x)=x2 是一个“?—伴随函数” ,则(x+?)2+?x2=0,即(1+?)x2+2?x+?2=0 对任意实 2 数 x 恒成立,则 1+?=2?=? =0,而此式无解,∴f(x)=x2 不是一个“?—伴随函数” ,即③错. HK(虹口) 13. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2?的偶函数,当 x?[0,?]时,0<f(x)<1,且在[0, ? ] 2 上单调递减,在[ ? ,?]上单调递增,则函数 y=f(x)-sinx 在[-10?,10?]上的零点个数为 20 . 2 解:f(x)-sinx=0?f(x)=sinx=g(x),只要考虑 y=f(x)与 y=g(x)的交点个数.
1 y ?

由题设,f(x)的值域为(0,1),故当 g(x)=sinx>0 时两者才有交点.令 sinx>0?2k?<x<2k?+?,

-? ?

?
2

O

? 2

x

又 x?[-10?,10?],∴k=-5,-4,?,4,即有 10 个正值区间,而第个正值区间上有 2 个交点,故 共有 20 个零点. 14.设点 P 在曲线 y ? x ? 2 上,点 Q 在曲线 y ?
2

x ? 2 上,则 PQ 的最小值等于
( x? 1 )2 ? 7 2 4 2

7 2 4

.

解:在第一象限内,曲线 y ? x 2 ? 2 与曲线 y ?

x ? 2 关于直线 y=x 对称,设 P 到直线 y=x 的距
| y ? x| 2

离为 d, 则|PQ|=2d, 故只要求 d 的最小值. d= ∴|PQ|min= 2 7 2 ?
7 2 4

? |x

2

? 2 ? x| 2

?

, x= 1 时, min= 当 d 2

7 4 2

,

.

2 17.定义域为 R 的函数 f ( x) ? ax ? b x ? c ( a ? 0) 有四个单调区间, 则实数 a, b, c 满足 ( C )

A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0

B. b 2 ? 4ac ? 0

C. ? 2ba ? 0

D. ? 2ba ? 0
y

解:此函数为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=ax2+bx+c,如图, 只要顶点在 y 轴的右面,f(x)就有四个单调区间, ∴ ? 2ba ? 0 .

O

x

4

? 18. 数列 {an } 满足 a ? ?n, 当n ? 2k ? 1 ,其中 k ? N ,设 f (n) ? a1 ? a2 ? ?? a2n ?1 ? a2n , ? n

?ak , 当n ? 2k

则 f (2013 ? f (2012 等于( C ) ) )

A. 22012

B. 22013

C. 4 2012
?1

D. 42013
2012 2

解: f (2013 ? a1 ? a2 ? ?? a22013 ?1 ? a22013 ? (a1 ? a3 ? ?? a22013 ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ?? a22013 ) (都有 22013 项) ) 2
? [1 ? 3 ? ?? (22013 ?1)] ? (a1 ? a2 ? ?? a22 0 1 2) ? 1? 2 2
2013

? 22012 ? f (2012 =( (2 )

) ? f (2012 )

=( 42012 ? f (2012 ? f (2013 ? f (2012 ? 42012 . ) ) ) HP(黄浦)
x 13.(理)已知 F 是双曲线 C: a 2 ?
2

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,O 是双曲线 C 的中心,直线

y ? m x 是双曲线 C 的一条渐近线.以线段 OF 为边作正三角形 MOF,若点 M 在双曲线 C
上,则 m 的值为 3+ 2 3 解 : 直 线 y ? mx 即 x ?
y m


?0 是双曲线 C 的一条渐近线,可设双曲线方程为
y
y2 m?

x ?
2

y2 m

? ? (m ? 0, ? ? 0) ,即
? (1? m )
2

x2

?

?

? 1(m ? 0, ? ? 0) ,∴F( ? (1 ? m) , 0),
? (1? m ) 2
2 1 ) ? m( 3 ? (1? m ) 2 2

M

则 M( ?

,

3 ? (1? m ) 2

)在双曲线上,故 (

) ??

O

F

x

? (1? m)
4

? ? 3? (41m m) ? ? ? m2 ? 6m ? 3 ? 0 (m>0)?m=3+ 2 3 .

14. 已知命题“若 f ( x) ? m2 x 2 , g ( x) ? mx2 ? 2m ,则集合 {x | f ( x) ? g ( x), 1 ? x ? 1} =?” 2 是假命题,则实数 m 的取值范围是
1 2
2

(-7,0) .

2 2 解:题意即不等式 f ( x) ? g ( x) 在 ? x ? 1 时有解. m 2 x 2 ? m x2 ? 2m ? (m ? m) x ? 2m ? 0 2 令 x ? t , 1 ? t ? 1, 则4 又令 h(t ) ? (m ? m)t ? 2m , h(t ) 的图像是直线, 则 不等式 h(t ) ? 0

有解的充要条件是 h( 1 ) ? 0 ,或 h(1) ? 0 ? m 4? m ? 2m ? 0 ,或 (m ? m) ? 2m ? 0 4
2

2

? m ? 7m ? 0 ,或 m ? m ? 0 ?-7<m<0,或-1<m<0?-7<m<0.
2 2

1 7 . 若 f ( x ) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ) 在 [ 0 , + ? ) 上 单 调 递 增 , 则 下 列 结 论 : ①y = | f ( x ) |是 偶 函 数 ; ②对 任 意 的 x ? R 都 有 f ( - x ) + | f ( x ) | = 0 ; ③y = f ( - x ) 在 ( - ? , 0 ] 上 单 调 递 增 ; ④ y=f(x)f(-x)在(-?,0]上单调递增.其中正确结论的个数为( B ) A.1 B 2 C.3 D.4 3 解:取 f(x)=x ,x=-1,则 f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=2≠0,故② 错,又 f(-x)=-x3 在(-?,0]上单调减, 故③ 错. 对于① ,设 x?R,则|f(-x)|=|-f(x)|=| f(x)|? y=|f(x)|是偶函数,∵① 对;对于④ , 设 x1<x2≤0, 则-x1>-x2≥0, ∵f(x)在[0,+?)上单调递增, ∴f(-x1)> f(-x2)≥f(0)=0? f 2(-x1)> f 2 (-x2) ? f 2(x1)> f 2 (x2),∴f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)<- f 2(x2)= f(x2) f(-x2)? y=f(x)f(-x)在(-?,0]上单调递增, 故④ 对. 18. 若矩阵 ? 每行中的四个数所构成的集合均为{1 2 3 4}; ? b b b b ? 满足下列条件:① ? ? 1 2 3 4 ?

? a1 a2 a3 a4 ?

[来源:Z_xx_k.Com]

5

② 四列中至少有两列的上下两数是相同的.则这样的不同矩阵的个数为( C ) A.48 B.72 C.168 D.312
2 解:类一:恰有两列的上下两数相同,①取这两列,有 C4 种,②从 1、2、3、4 中取 2 个数排这 2 两列,有 P42 种,③排另两列,有 P22 种,∴共有 C4 P2 P2 =144 种;类二:恰有三列的上下两数相 4 2

同,也是恰有四列上下两数相同,有 P44 =24 种(只要排其中一行即可).故一共有 144+24=168 种. JA(静安) 13. (理)已知直线 (1 ? a) x ? (a ? 1) y ? 4(a ? 1) ? 0 (其中 a 为实数)过定点 P ,点 Q 在函数

y ? x ? 1 的图像上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是 [-3, +?] . x 解: 直线 (1 ? a) x ? (a ? 1) y ? 4(a ? 1) ? 0 整理为(-x+y-4)a+(x+y-4)=0, 此式对任意实数 a 恒成立,
?? x ? y ? 4 ? 0 ? x ? 0 则? ?? ,即直线过定点 P(0,4),令 Q (x,x+ 1 ),则 x x? y?4?0 y?4 ? ?
kPQ=
x? 1 ?4 x x

?1?

1 x2

? 4 ? ( 1 ? 2) 2 ? 3 ,当 1 ? 2 ,即 x ? 1 时,kPQ 有最小值为-3,kPQ 无最大 x x x 2

值. (文) 设 P 是函数 y ? x ? 2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂 x 线,垂足分别为 A 、 B ,则 PA? PB 的值是 -1 解:设 P (x,x+ 2 ),则 | PA |? x
| x ? 2 ? x| x 2

.

?

2 2x

, | PB |? x ,
2 2x

∴ PA ? PB ?| PA || PB | cos 135 ? ?

? x ? (?

2 2

) ? ?1 .

14. (理)在复平面内,设点 A、P 所对应的复数分别为 ? i 、cos(2t ? ? ) ? i sin(2t ? ? ) ( i 为虚数单 3 3
? 位),则当 t 由 12 连续变到 ? 时,向量 AP 所扫过的图形区域的面积是 ?/6 4

.

? x ? cos(2t ? ? ) ? 3 解:设 AP ? ( x, y) ,则 ? (*),由 12 ≤t≤ ? ? ? ? ? 2t ? ? ? 4 6 3 ? ? y ? sin(2t ? 3 ) ? ?

?
6

∴(*)表示圆心角为 ? ,半径为 1 的扇形,其面积为 1 ? ? ?12 ? ? . 3 2 3 6 (文)设复数 z ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? )i ( i 为虚数单位),若对任意实数 ? , z ? 2 ,则实数 . a 的取值范围为 2 解: z ? 2 ? z ? 4 ? (a ? cos? )2 ? (2a ? sin ? )2 ? 4 ?5a2+1-a(2cos?-4sin?)≤4 ? 2 5 cos(? ? ? ) ? a ? 5a2 ? 3 ,此式对任意实数 ? 成立,等价于 [2 5 cos(? ? ? ) ? a]min ? 5a2 ? 3 ,
?a ? 0 ①若 a≥0, ? 2 5a ? 5a 2 ? 3 ? ? 则 ?0 ? a ? 5a 2 ? 2 5a ? 3 ? 0 ? a?0 ? ?? ? ? 55 ? a ? 0 . 由①②知: ? 55 ? a ? 2 ?5a ? 2 5a ? 3 ? 0
cos B sin C

5 5

; ②若 a<0, 2 5a ? 5a2 ? 3 则 .

5 5

18. (理)已知 O 是△ ABC 外接圆的圆心, A 、 B 、 C 为△ ABC 的内角,若

AB ? cos C AC ? 2m ? AO ,则 m 的值为 sin B
(B)sinA (C)cosA (D)tanA

( B )
A

(A)1
c oB s siC n

解:连结 AO 并延长,交圆于 D,连 DB、DC,则 2 AO ? AD ,代入已知式,得
s AB ? c io C AC ? m ? AD ? m( AB ? BD) ,由 AD 为直径知 AB⊥BD, s n B
cos B sin C

故两边点乘 AB ,得 即
cos B sin C

AB ?

2

cos C sin B

AC ? AB ? m( AB ? 0) ,

2

O B D C

?c ?
2

cos C sin B

? bccos A ? mc ,由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,
2

B c=2RsinC,代入上式,得 cosC ? sin 2 C ? cos C ? sin B sin C cos A ? msin 2 C sin sin B

6

? cos B sin C ? cosC sin C cos A ? m sin C ? m ?
2

cos B ? cos C cos A sin C

C cos( ? cos A cossin?C A?C )

=?

cos A cos C ? cos A cos C ? sin A sin C sin C

? sin A .

(文)已知向量 a 和 b 满足条件: a ? b 且 a ? b ? 0 .若对于任意实数 t ,恒有 a ? t b ? a ? b , 则在 a 、 b 、 a ? b 、 a ? b 这四个向量中,一定具有垂直关系的两个向量是( B (A ) a 与 a ? b (B) b 与 a ? b
2

)

(C) a 与 a ? b
2 2

(D) b 与 a ? b
2

解: a ? t b ? a ? b ? (a ? t b)2 ? (a ? b)2 ? a ? 2t a ? b ? t 2 b ? a ? 2a ? b ? b
2 ? b ? t ? 2a ? b ? t ? (2a ? b ? b ) ? 0 ,此式对任意实数 t 恒成立,则 2 2

2 2 2 △ = 4( a ? b) ? 4b (2a ? b ? b ) ? 0 ? ( a ? b) ? 2( a ? b) ? b ? b ? 0 ? [( a ? b) ? b ] ? 0

2

2

2

4

2

? a ? b ? b ? b ? (a ? b) ? 0 ,故选(B). JD(嘉定) 13.观察下列算式:

2

13 ? 1 , 23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 11 , 4 3 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,
? ?
3

?

?

若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则 m ? 45 . 解:第 m(m>1)行第一个数是 m2-(m-1),最后一个数是 m2+(m-1),令 m2-(m-1)≤2013≤m2+(m-1),

?m 2 ? m ? 2012 ? 0 ?m(m ? 1) ? 2012 ?m ? 45 即? 2 ?? ?? ?m=45. ?m ? m ? 2014 ? 0 ?m(m ? 1) ? 2014 ?m ? 45
14.设 m、n?R,定义在区间[m, n]上的函数 f ( x) ? log2 (4? | x |) 的值域是[0, 2],若关于 t 的方 程 解:

?1 ?|t| ? m ? 1 ? 0 (t?R)有实数解,则 m+n 的取值范围是 2
(t?R)有实数解? ? m ? 1 ?

[1,2) .

?1 ?|t| ? m ? 1 ? 0 2

?1 ?|t| ? (0,1] ?-2≤m<-1; 2

f ( x) ? log2 (4? | x |) 的值域是[0, 2]?1≤4-|x|≤4?0≤|x|≤3,此式对于 m≤x≤n 时成立,
且-2≤m<-1,则必有 n=3,∴1≤m+n<2. 17. 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 设 M ( x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 为 不 同 的 两 点 , 直 线 l 的 方 程 为

ax ? by ? c ? 0 , ? ?

ax1 ? by1 ? c .有四个命题:①存在实数 ? ,使点 N 在直线 l 上; ax2 ? by2 ? c

②若 ? ? 1 ,则过 M 、 N 两点的直线与直线 l 平行;③若 ? ? ?1 ,则直线 l 经过线段 MN 的 中点;④若 ? ? 1 ,则点 M 、 N 在直线 l 的同侧,且直线 l 与线段 MN 的延长线相交.上述 命 题中,全部真命题的序号是( B ) (A)①②③ (B)②③④ (C)①③④ (D)①②③④

7

解:N 在直线 l 上? ax2 ? by2 ? c ? 0 , 此时 ? 不存在, 故①错, 从而(A)(C)(D)均错, 可立选(B). 现正面分析②③④为什么对:若 ? ? 1 ,则 a( x2 ? x1 ) ? b( y2 ? y1 ) ? 0 ? MN ? (a, b) ? 0 , 即直线 MN 的方向向量与 l 的法向量垂直, 且因 ax1 ? by1 ? c ? ax2 ? by2 ? c ? 0 , 故直线 MN 与 l 平行,②对;若 ? ? ?1 ,则 a( x2 ? x1 ) ? b( y2 ? y1 ) ? 2c ? 0 ? a ?
ax ? by ? c

x2 ? x1 2

?b?

y 2 ? y1 2

?c ?0

?线段 MN 的中点在 l 上, ③对; ? ? 1 , ax 21 ? by12 ? c ? 1 ? 0 ? (ax1 ? by1 ? c) (ax2 ? by2 ? c) ? 0 若 则 ? 得
ax1 ? by1 ? c a ?b
2 2

? ax 2 ?2by 2 2? c >0?点 M 、 N 在直线 l 的同侧,又,不妨设 ax2 ? by2 ? c ? 0 ,由 ? ? 1 ,
a ?b

ax1 ? by1 ? c a 2 ?b 2

?

ax 2 ? by 2 ? c a 2 ?b 2

? 0 ,即 dm-l>dN-l,故直线 l 与线段 MN 的延长线相交.

18. 设函数 y ? f (x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 [2 , 3] 上 的 值域为 [?2 , 6] ,则 g (x) 在区间 [?12 , 12] 上的值域为( D ) A. [?2 , 6] B. [?24 , 28] C. [?22 , 32] D. [?20 , 34] 解: f ( x ? 1) ? f ( x) ? g ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? g ( x) ? 2 x ? g ( x ? 1) ? g ( x) ? ?2 ,由此知自变量 增大 1, 函数值就减少 2, 已知 g (x) 在区间 [2 , 3] 上的 值域为 [?2 , 6] , 自变量由 2 减小到-12, 则函数值增加了 2× 14=28;自变量由 3 增加到 12,则减少了 2× 9=18.故函数 g (x) 在区间

[?12 , 12] 上的值域为[-2-18, 6+28]=[-20, 34],选 D.
JS(金山) 12. 把一颗骰子 投掷两次,第一次出现的点数记为 m ,第二次出现的点数记为 n ,方程组

?m x ? ny ? 3 只有一组解的概率是 17/18 . (用最简分数表示) ? ?2 x ? 3 y ? 2 m n 解: 方程组只有一组解? D ? 即除了 m=2 且 n=3 或 m=4 且 n=6 这两 ? 3m ? 2n ? 0 , 2 3 种情况之外都可以,故所求概率 p= 6?6? 2 ? 17 . 6?6 18
13.若函数 y=f(x) (x?R)满足:f(x+2)=f(x),且 x?[–1, 1]时,f(x) = | x |,函数 y=g( x)是定义在 R 上 的奇函数,且 x?(0, +∞)时,g(x) = log 3 x,则函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像的交点 个数为 4 . 解: :f(x+2)=f(x)? f(x)的周期为 2, 由条件在同一坐标系中画出 f (x)与 g(x)的图像如右,
-1 O 1 3 x y

由图可知有 4 个交点. 14.若实数 a、b、c 成等差数列,点 P(–1, 0)在动直线 l:ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N(0, 3), 则线段 MN 长度的最小值是 4 ? 2 . 解:a、b、c 成等差数列?a-2b+c=0? a?1+b?(-2)+c=0,∴直线 l:ax+by+c=0 过定点 Q(1,-2),又 P(–1, 0)在动直线 l:ax+by+c=0 上的射影为 M,∴∠PMQ=90?,∴M 在以 PQ 为直径的圆上, 圆心为 C(0, -1),半径 r= 1 | PQ |? 2
1 2

22 ? 22 ? 2 ,线段 MN 长度的最小值即是 N(0, 3)与圆上

动点 M 距离的最小值=|NC|-r=4- 2 . 17. 已知 f(x)=x2–2x+3,g(x)=kx–1,则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在 R 上恒成立”的( A )
8

(A)充分但不必要条件

(B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

解:f(x)≥g(x)? x2–2x+3≥kx–1? x2–(2+k)x+4≥0,此式对任意实数 x 都成立?△=(2+k)2-16≤0 ?-4≤k+2≤4?-6≤k≤2,而“|k|≤2” 是“-6≤k≤2”的充分不必要条件,故选 A. 18.给定方程: ( 1 ) x ? sin x ? 1 ? 0 ,下列命题中:(1) 该方程没有小于 0 的实数解;(2) 该方程 2 有无数个实数解;(3) 该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;(4) 若 x0 是该方程的实数 解,则 x0>–1.则正确命题的个数是( C ) . (A)1
1 x 2

(B)2

(C)3

(D)4
1 x , 2

y 1 -1 -1
? 2

解: ( ) ? sin x ? 1 ? 0 ? sin x ? 1 ? ( ) 令 f ( x) ? sin x , g ( x) ? 1 ? ( 1 ) x , 2

在同一坐标系中画出两函数的图像如右, 由图像知:(1)错,(3)、(4)对, 而由于 g ( x) ? 1 ? ( )
1 x 递增,小于 2

? O

x

1,

且以直线 y ? 1 为渐近线, f ( x) ? sin x 在-1 到 1 之间振荡,故在区间(0,+?)上,两者图像 有无穷个交点,∴(2)对,故选 C. MH(闵行) 10.已知定义在(0, ? )上的函数 y=2(sinx+1)与 y= 8 的图像的交点为 P,过 P 作 PP1⊥x 轴于 P1,直 2 3 线 PP1 与 y=tanx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为
2 4

.
2 4

解:由 2(sinx+1)= 8 ?sinx= 1 ,x?(0, ? )? x=arcsin 1 ,即 P(arcsin 1 , 8 ),tan(arcsin 1 )= 2 3 3 3 3 3 3 P2 点的纵坐标为
2 4

,即 .

,故 P1P2 的长为

2 4

.
y g(x)=x-1

11. (理)已知不等式|2x-a|>x-1 对任意 x?[0,2]恒成立, 则实数 a 的取值范围是 a<2,或 a>5 解:令 f(x)=|2x-a|,g(x)=x-1,在同一坐标系中画出两函数的图像如右, 由图知 a ? 1 ,或 a ? 2 ? 1 ?a<2,或 a>5. 2 2 2
O

a 2

1 2

x

(文)已知不等式|x-a|>x-1 对任意 x?[0,2]恒成立,则实数 a 的取值范围是 a<1 或 a>3 解:令 f(x)= |x-a|,g(x)=x-1,在同一坐标系中画出两函数的图像如右, 由图知 a<1,或 a>3.
O a 1 2 3 x y g(x)=x-1



12.(理)已知△ABC 的面积为 1 ,在△ABC 所在的平面内有两点 P、Q,满足 PA ? PC ? 0 , QA ? QB ? QC ? BC ,则四边形 BCPQ 的面积为 2/3 . A 解: PA ? PC ? 0 ?P 为线段 AC 中点, QA ? QB ? QC ? BQ ? QC ? QA ? ?2QB ?Q 是线段 AB 的三等分点,且离 B 较近, 如图, S
S ?APQ
?ABC

Q B

P C

?

1 ? AP? AQ?sin 2 1 ? AC? AB?sin 2

A A

?

AP AC

?

AQ AB

? ? ? ,
1 2 2 3 1 3

得 S△APQ= 1 ,∴S 四边形 BCPQ= 2 . 3 3 (文)已知△ABC 的面积为 1 ,在△ABC 所在的平面内有两点 P、Q,满足 PA ? PC ? 0 , QA ? QB ? QC ? BC ,则△APQ 的面积为 1/3 . 解: PA ? PC ? 0 ?P 为线段 AC 中点, QA ? QB ? QC ? BQ ? QC
Q B A P C 9

? QA ? ?2QB ?Q 是线段 AB 的三等分点,且离 B 较近, 如图, S
S ?APQ
?ABC

?

1 ? AP? AQ?sin 2 1 ? AC? AB?sin 2

A A

?

AP AC

? AQ ? 1 ? 2 ? 1 , AB 2 3 3

得 S△APQ= 1 . 3

13.(理) 如下图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中 m、n?N*)): 例如 72 的“分裂”中最小的数是 1,最大的数是 13;若 m3 的“分裂”中最小的数是 211,则 m= . 1

2

2

32

1 3 1 3 5

2

3

3

5 9 11
7

2

4

7

33

34

9 25 27 29

72

3 5 7 9 11 13

解:由“分裂”图的规律知:m3 的“分裂”中有 m 个数,它们组成公差为 2 的等差数列,现已知 首项为 211,则 m3=211m+ ∴ m=15. (文)已知函数 f ( x) ? ? 数是 5 .
m( m ?1) 2

? 2 ? m2=211+m-1? m2-m-210=0?(m+14)(m-15)=0,m?N*,

?cos ?2x ,?1 ? x ? 1 , 则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 的实根的个 2 y ? x ? 1, | x |? 1
2 1 f(x)=2 f(x)=1 1 x

2 解: f ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 ? f ( x) ? 1 或 f ( x) ? 2 ,

画出 f (x) 的图像,由图可知:直线 y=1 和 y=2 与 y=f(x)的 图像共有 5 个交点,故原方程 有 5 个实根.

-1

O

14.(理) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? a | f ( x) | ?b ? 0(a, b ? R) 恰 x x 有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是 (-4,-2) .
2 1 y f(x)=2 f(x)=t 1 x

? ? ? 2, x ? 解: f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |? ?? 2 x, x x ? 2 x, ? 2 ? x,

x ? ?1 ? 1 ? x ? 0 ,是偶函数, 0 ? x ?1 x ?1
-1

O

且 f ( x) ? 0 ,画出它的图像,由图可知:原方程有 6 个不同实数解,则应有 f ( x) ? 2 和

f ( x) ? t ,且 t?(0, 2),由韦达定理,-a=2+t?(2, 4)? a?(-4,-2).
x 17. (理)已知函数 f ( x) ?| arctan( ? 1) | ,若存在 x1、x2?[a, b],且 x1<x2,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 则以下对实数 a、b 的描述正确的是( A ) y (A)a<1 (B)a≥1 (C)b≤1 (D)b≥1 ? 2 x 解:画出函数 f ( x) ?| arctan( ? 1) | 的图像如右,
Oa 1 x 10

若 a≥1,则 f (x ) 在[a, b]单调递增,不存在 x1、x2?[a, b], 且 x1<x2,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,故 a<1,与 b 的取值无关. 18.(理)数列{an}满足 a1=a2=1, n+an+1+an+2= cos 2 n? (n?N*), a 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, S2012 则 3 的值为( D ) (A)-672 (B)-671 (C)2012 (D)672 n 解: 2012=3?670+2, 从第三项开始, 每三个为一组, 其和为 a3n+a3n+1+a3n+2= cos 2?33 ?? ? cos2n? ? 1 , ∴S2012= a1+a2+670?1=2+670=672. (文)数列{an}满足 a1=a2=1,an+an+1+an+2= cos 2 n? (n?N*),若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2013 3 的值为( D ) (A)2013 a3n-2+a3n-1+a3n= cos (B)671
2(3n ? 2)? 3

(C)-671

(D) ? 671 2

解:2013=3?671,从第一项开始,每三个为一组,其和为
? ? ? cos(2n? ? 43 ) ? cos 43 ? ? 1 ,∴S2013=671 (? 1 ) = ? 671 . 2 2 2

PD(浦东) 11.(理)已知甲射手射中目标的频率为 0.9, 乙射手射中目标的频率为 0.8, 如果甲乙两射手的射击 相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率为 . 解:目标被射中的频率为 1-(1-0.9)(1-0.8)=1-0.2=0.98. 12.(理)已知向量 a 与向量 b , | a |? 2 , | b |? 3 , a 、 b 的夹角为 60?,当 1≤m≤2,0≤n≤2 时,

| ma ? nb | 的最大值为 2 19 .
解: | ma ? nb | ? (ma ? nb) ? m a ? 2mn a ? b ? n b ? 4m ? 2mn ? 2 ? 3 ? 1 ? 9n 2
2 2 2 2 2 2 2 2

? 4m2 ? 6mn ? 9n2 ? 4 ? 22 ? 6 ? 2 ? 2 ? 9 ? 22 ? 16 ? 24 ? 36 ? 76 ? | ma ? nb | ≤2 19 .
13.(理)动点 P 在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上从 B 向 D1 移动,点 P 作垂 直于面 BB1D1D 的直线与正方体表面交于 M、N,BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的解析式 为y??

? 0 ? x ? 23 ? 2 36 x , . ?2 2 ? 2 36 x , 23 ? x ? 3 ?
D1 A1 D2 P C1 B1 C2 N C B2 B D2 M? A2 P M 图2 B2 N? P? N C2 D1
2

B1

A2 D M A 图1

D2 D 图3

P x

B2 B

解:如图 1,过 P 作平面 A2B2C2D2,使平面 A2B2C2D2∥平面 ABCD,则 P 是 BD1 与 B2D2 的交点. 如图 2 ,在面 A2B2C2D2 中,过 P 作 MN⊥BD,则由 MN⊥BB1,得 MN⊥面 BB1D1D. 如图 3 ,在面 BB1D1D 中,令 PB2=t,则 如图 2、3,若 0≤x≤ 若
3 2 3 2 2 ?t t

?

3?x x

?

2 t

?

3 x

?t ?

2x 3

?

6x 3

.

,则 MN=2 PB2= 2 36x ;
6x 3

<x≤ 3 ,则 MN=2 PD2=2 (B2 D2 ? PB2 ) ? 2( 2 ?

) = 2 2 ? 2 36x .

11

∴y??

? 0 ? x ? 23 ? 2 36 x , . 2 6x 3 ? ?2 2 ? 3 , 2 ? x ? 3

14. (理)1,2,?,n 共有 n!种排列 a1,a2,?,an(n≥2, n?N*)) ,其中满足―对所有 k=1,2,?,n

2 ? 3n?2 都有 ak≥k-2‖的不同排列有 种. 解:可分步考虑: 第 1 步,确定 an,∵an≥n-2,∴只能从 n-2、n-1、n 这 3 个数字中选 1 个,有 3 种; 第 2 步,确定 an-1,从上面余下的 2 个中选 1 个,再可选数字 n-3,有 3 种; 第 3 步,确定 an-2,从上面余下的 2 个中选 1 个,再可选数字 n-4,有 3 种; ?? 第 n-2 步,确定 a3,从上面余下的 2 个中选 1 个,再可选数字 1,有 3 种; 第 n-1 步,确定 a2,从上面余下的 2 个中选 1 个,再没其它数字可选,有 2 种; 第 n 步,确定 a1,从上面余下的 1 个中选 1 个,有 1 种. 故一共有 3?3?3?…?3?2?1=2?3n-2 种.
18.(文、理)定义域为[a,b]的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、B,向量 ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB , M(x,y)是 f(x)图象上任意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b, ? ? [0,1] . 若不等式|MN|≤k 恒成立, 则称函数 f(x)在[a,b]上满足―k 范围线性近似‖,其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似 阀值. 下列定义在[1,2]上函数中,线性近似阀值最小的是 ( D ) (A)y=x2 (B) y= 2 x (C) y=sin ?3x (D) y=x- 1 x

解:ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB ?N 在线段 AB 上,且 xN ? ?a ? (1 ? ? )b ,又 xM ? ?a ? (1 ? ? )b , ∴xM=xN,∴|MN|=|yM-xN |. 不等式|MN|≤k 恒成立?|MN|max≤k,∴最小的正实数 k 即是|MN|max. y y 对于(A),A(1,1),B(2,4),∴AB 方程为 y=3x-2,如图 1,
N

|MN|= yN- yM =3x-2- x =-(x- ) + ,当 x= 时,|MN|max= ;
1 4 1 4

2

3 2

2

3 2

M

N M

对于(B),A(1,2),B(2,1),∴AB 方程为 y=-x+3,如图 2, |MN|= yN- yM =-x+3- 2 =3-(x+ 2 )≤3- 2 2 ,当 x= 2 , x x x 即 x= 2 时,上式成立等号,∴|MN|max=3- 2 2 ;

O

1 2x 图1

O

1 2x 图2

y
M N

y
M N

O

对于(C),A(1,

3 2

),B(2,
3 2

3 2

),∴AB 方程为 y=

3 2

,如图 3, ;

1 2 图3

x

O

1 图4

2 x

|MN|=yM-xN = sin ?3x -

,当 x= 3 时,|MN|max=12

3 2

对于(D),A(1,0),B(2, 3 ),∴AB 方程为 y= 3 x- 3 ,如图 4, 2 2 2 |MN|=yM-xN = x ?
1 x x ? 3 x ? 3 ? 3 ? (2 ? 1) ? 3 ? 2 2 2 2 x 2 1 2

? 3 ? 2, 2

∵ 3 ? 2 是|MN|的四个最大值中的最小的一个,∴线性近似阀值最小的是 D. 2 PT(普陀)
1 1 12.(理) 若 C(? 3,0) 、 D( 3,0) ,M 是椭圆 x4 ? y 2 ? 1上的动点,则 | MC| ? | MD| 的最小值
2

12



1 .
2

解:椭圆 x4 ? y 2 ? 1中,c2=4-1=3?c= 3 ,∴C、D 为焦点,令|MC|=r1, |MD|=r2,则 r1+r2=2a=4,
1 | MC | 1 ? | MD | ? 1 r1

?

1 r2

?

r1 ? r2 r1 r2

?

4 r1 r2

,又 r1r2 ?

( r1 ? r2 ) 2 4

? 16 ? 4 ? r 4 ? 4 ? 1 ,当且仅当 r1=r2 时, 4 4 1r2
S E H A F C

上式成立等号,∴

1 | MC |

?

1 | MD|

有最小值为 1.

13. 三棱锥 S-ABC 中,E、F、G、H 分别为 SA、AC、BC、SB 的中点,则截面 EFGH 将三棱锥 S-ABC 分成两部分的体积之比为 1:1 .
B

G (第 13 题图)

I

解:取 AB 中点 I,连 HI、GI,则 EFA-HGI 是三棱柱,由于 I 是 AB 中点,∴B 与 A 到面 HGI 的 距离相等,∴VEFA-HGI =3VB-HGI,而 VB-HGI:VB-SAC=1:23=1:8,令 VB-HGI=1,则 VEFA-HGI =3, ∴VB-HGI+ VEFA-HGI =4,故分成两部分的体积之比为为 1:1.
? x ? 1, 0 ? x ? 1 14. 已知函数 f ( x) ? ? ,设 a ? b ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范 x 1 ?2 ? 2 , x ? 1 y

围是 [ 4 , 2) . 解:画出分段函数的图像,知 1 ? b ? 1 ,相应地, 3 ? f (a) ? 2 , 2 2 A ∴ 3 ? b ? f (a) ? 2 . 4
n ?1 n ?1

3

2 1.5 1 O b 1a x

17. 已知 a ? 0 , b ? 0 ,若 lim a a n ? b n ? 5 ,则 a ? b 的值不可能是( D ) ... ?b
n ??

(A)7

(B)8
n ?1 n ?1

(C)9
n ??

(D)10
n ?1 n ?1

解:若 a ? b ? 0 ,则 lim a a n ? b n ? a ? 5 ;若 b ? a ? 0 ,则 lim a a n ? b n ? b ? 5 ?b ?b
n ??

若 a ? b ? 0 ,则 lim a a n ? b n 不存在,故总有 a ? b ? 10 ,选 D. ?b
n??

n ?1

n ?1

18. 如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点

E

D

C P

P 从点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中

AP ? ? AB ? ? AE ,下列判断正确的是( C ) ..

B A (第 18 题 图)

(A)满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点(B)满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个 (C) ? ? ? 的最大值为 3 (D) ? ? ? 的最小值不存在
E

y
D C P A B (第 18 题 图)

解:设正方形连长为 1,如图建立直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),E(-1,1),设 P(x,y),代入 AP ? ? AB ? ? AE 中,

x
13

得 ( x, y) ? ? (1, 0) ? ? (?1, 1) ? (? ? ? , ? ) ? ?

?x ? ? ? ? ? x ? 2y ? ? ? ? . ?y ? ?

若 ? ? ? ? 2 ,则 x ? 2 y ? 2 ,∵x=0, y=1,即 P 在 D 点处也满足,故(A)错; 若 ? ? ? ? 1 ,则 x ? 2 y ? 1 ,P 可以是 B(1,0),也可以是(0, 1 ),即 AD 中点,故(B)错; 2

? ? 当 P 在线段 AB 上, y=0, ? ? ? x ? [0,1] ; P 在线段 BC 上, x=1, ? ? ? 1 ? 2 y ? [1,3] ; 则 当 则
当 P 在线段 CD 上,则 y=1, ? ? ? ? x ? 2? [2,3] ;当 P 在线段 DA 上,则 x=0,

? ? ? ? 2 y ?[0,2] .由上知(C)正确,而(D)错.
QP(青浦) 12.已知 f ( x) ? ? 是 [ 3 , 2) . 2 解:由对任意 x1 ? x2 都有 ? 3 ≤a<2. 2 13.正六边形 A B1C1D1E1F 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成了一个 1 1 正六边形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面 积和是
9 3 4
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

?(2 ? a) x ? 1 , x ? 1 ?a
x

, x ?1

满足对任意 x1 ? x2 都有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0 成立,则 a 的取值范围

a ?1 ? ? ? 0 成立? f (x) 在 R 上递增,∴ ? 2 ? a ? 0 ?(2 ? a) ? 1 ? 1 ? a1 ?


1 3

解:在 Rt△A1B1A2 中,∠A1B1A2=30?,A1B1=1,∴A1A2= 又易知这些正六边形的边长组成等比数列,公比为 q ?
1 所有这些六边形的面积和= 1? q 2 =

= A2F2,

1 3

,故所有

s

6?

3 ?12 4

1? 1 3

? 9 43 .
-3 .

1 ? 5 ( ?( x ? 4) ? 2013 x ? 4) 3 ? ?4 ,则 x ? y ? 14.设 x , y ? R ,且满足 ? 1 ?( y ? 1)5 ? 2013 y ? 1) 3 ? 4 ( ?
1

解:函数 f (t ) ? t 5 ? 2013 3 (t ? R) 是奇函数,且在 R 上是增函数,故若 f (u ) ? f (v) ? 0 , t 则必有 u ? v ? 0 ,本题中,u=x+4,v=y-1,∴x+4+y-1=0?x+y=-3. 17.已知复数 z0 ? 1 ? 2i 在复平面上对应点为 P0 ,则 P0 关于直线 l : z ? 2 ? 2i ? z 的对称点的复 数表示是??????????????????????????????( B ) .
y

A .?i

B. i

C .1 ? i

D .1 ? i

解:如图,直线 l 即是线段 OA 的垂直平分线,P0 的对称点即是(0,1), 其对应的复数为 i.

2 1 O

P0

A

1 2

x l

18.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数,数列 ?an ? 是等差数列, a1007 ? 0 ,
14

则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 ) 的值????????( A ) .

A .恒为正数
解: a1 ? a2013 ? 2a1007

D .可正可负 B. 恒为负数 C .恒为 0 ? 0 ? a1 ? ?a2013 ? f (a1 ) ? f (?a2013 ) ? ? f (a2013 ) ? f (a1 ) ? f (a2013 ) ? 0

同理, f (a2 ) ? f (a2012 ) ? 0 , f (a3 ) ? f (a2011 ) ? 0 ,?, f (a1006 ) ? f (a1008 ) ? 0 ,又

a1007 ? 0 ? f (a1007 ) ? f (0) ? 0 ,以上各式相加,得 f (a1) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 ) ? 0 .
SJ(松江) 11.(理)给出四个函数:① f ( x) ? x ? 1 ,② g ( x) ? 3x ? 3? x ,③ u( x) ? x3 ,④ v( x) ? sin x , x 其中满足条件:对任意实数 x 及任意正数 m,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的 函数为 ③ .(写出所有满足条件的函数的序号). 1 解:对于①,取 x= 2 ,m=1,则 f ( x ? m) ? f ( 3 ) ? 3 ? 2 ? 13 , f ( x) ? f ( 1 ) ? 5 ,不满足 2 2 3 6 2 2

f ( x ? m) ? f ( x) ;对于②,取 x=-1,m=1,则 g ( x ? m) ? g (0) ? 2 , g ( x) ? g (?1) ? 10 , 3 不满足 g ( x ? m) ? g ( x) ;对于③,是奇函数,又是在 R 上的增函数,故两条性质都符合; 对于④,取 x=?,m=1,则 v( x ? m) ? sin(? ? 1) ? ? sin1 ? 0 ,而 v( x) ? sin ? ? 0 ,不满足 v( x ? m) ? v( x) .
12. (理)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜想甲刚才想的数字, 把乙猜的数字记为 b,且 a, b ? ?0,1,2,3,?9? ,若 a ? b ? 1 ,则称甲乙“心有灵犀” .现找两 个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 7/25 . 解:a=b 的取法有 10 种;a、b 相差 1 的取法有 9?2=18 种(01,12,?,89 再互换),nA=10+18=28,
A n?=10?10=100,∴概率 p= n? ?

n

28 100

?

7 25

.

k k k k ak Cn ?1 ? (2k ?1 ? 1)Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 2k ?1 ,令 k=1,2,3,?,n,n+1,得

0 1 2 n 0 1 2 n S=( Cn + Cn + Cn +?+ Cn )+( Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n ) =2n+(1+2)n=2n +3n. 13.(理)已知 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,且 y=f(x)的图像关于点(6, 0)对称.若实数 x、y 满足 不等式 f(x2-6x)+f(y2-8y+36)≤0,则 x2+ y2 的取值范围是 [16, 36] . 解:由 y=f(x)的图像关于点(6, 0)对称,得 f(x+6)=-f(-x+6),即 f(x+12)=-f(-x)(*), f(x2-6x)+f(y2-8y+36)≤0? f(y2-8y+36)≤-f(x2-6x)= f(6x-x2+12), 又已知 y=f(x)是定义在 R 上递增, ∴y2-8y+36≤6x-x2+12?x2+ y2-6x-8y+24≤0?(x-3)2+(y-4)2≤1,此不等式表示以 C(3,4)为圆心、 1 为半径的圆周及内部的区域?, 2+ y2 表示?内的点 P(x, y)到原点的距离 d 的平方, x ∵OC=5, ∴5-1≤d≤5+1?4≤d≤6?16≤d2≤36. 13.(文) 在平面直角坐标系中,定义 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为 P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“折线 距离”. 则原点 O(0,0)与直线 x ? y ? 5 ? 0 上一点 P(x, y)的“折线距离”的最小值是 5 .

解:d(P,O)=|x|+|y|=|x|+| 5 -x|≥|x+ 5 -x |= 5 ,当 0≤x≤ 5 时取等号,∴d(P,O)min= 5 . 14.(理)定义变换 T 将平面内的点 P(x, y)(x≥0,y≥0)变换到平面内的点 Q( x , y ) .
x 若曲线 C0: 4 ? y 2

? 1( x ? 0, y ? 0) 经变换 T 后得到曲线 C1,曲线 C1 经变换 T 后得到 曲线 C2,

? ,依次类推,曲线 Cn-1 经变换 T 后得到曲线 Cn,当 n?N*时,记曲线 Cn 与 x、y 轴正半轴
的交点为 An(an, 0)和 Bn(0, bn).某同学研究后认为曲线 Cn 具有如下性质: ①对任意的 n?N*,曲线 Cn 都关于原点对称;②对任意的 n?N*,曲线 Cn 恒过点(0, 2); ③对任意的 n?N*,曲线 Cn 均在矩形 OAnDnBn(含边界)的内部,其中 Dn 的坐标为 Dn (an, bn); ④记矩形 OAnDnBn 的面积为 Sn,则 lim S n ? 1
n ??

其中所有正确结论的序号是 ③④ . 解:设 P0(x0, y0)(x0≥0,y0≥0)为 C0 上的任意一点,经变换 T 后得点 P1(x1, y1)(x1≥0,y1≥0),则

15

2 2 x1 ? x0 , y1 ? y0 ,∴ x0 ? x1 , y0 ? y1 ,P0(x0, y0)在 C0 上,∴

2 x1 4

?

2 y1 2

? 1( x1 ? 0, y1 ? 0)
1

即为曲线 C1 方程,一般可得曲线 Cn 方程为
1 2n

2 xn n

4

?

2 yn n

2

? 1( xn ? 0, yn ? 0) ,∴an= 4 2 n ,
1

bn= 2 .对于①,因曲线 Cn 中 xn≥0,yn≥0,∴不可能关于原点对称;对于②,当且仅当 n=1 时 Cn 过点(0, 2);对于③,由 由
2 yn n 2 2 xn n 4

?1?
1

2 yn n 2

? 1( xn ? 0, yn ? 0) ? 0 ? xn ? 4 2 n ? an ,
1 1 3
3

? 1?

2 xn n 4

? 1( xn ? 0, yn ? 0) ? 0 ? yn ? 2 2 n ? bn ,故曲线 Cn 均在矩形 OAnDnBn(含边
0 n ?? n ??
]

边界)的内部;对于④,Sn= anbn ? 4 2 n ? 2 2 n ? 2 2 n , lim Sn ? lim 2 2 n ? 2 ? 1 . 14.(文) 某同学对函数 f ( x) ? x sin x 进行研究后,得出以下结论:

①函数 y ? f (x) 的图像是轴对称图形;②对任意实数 x , f ( x) ? x 均成立; ③函数 y ? f (x) 的图像与直线 y ? x 有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等; ④当常数 k 满足 k ? 1时,函数 y ? f (x) 的图像与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 ①②④ . 解:∵ f (? x) ? ? x sin(? x) ? x sin x ? f ( x) ,∴ y ? f (x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称,故① 对;对任意实数 x , f ( x) ?| x sin x |?| x | ? | sin x |?| x | ?1 ? x ,故②对;由 x sin x ? x ? x ? 0 或
? ? sin x ? 1 ? x ? 0 或 x ? 2k? ? ? (k?Z),设相邻三两点为 O(0,0),P( ? , ? )、Q( 52 , 52 ),则 2 2 2
2? 2

|OP|=

,|PQ|=2 2 ?|,|OP|≠|PQ|,故③错;由 x sin x ? kx ? x ? 0 或 sin x ? k ,当 k ? 1

时, sin x ? k 无解,故④对. 17.(理、文) 右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输 出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样 的 x 值有( C ) y A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

? x2 , x?2 ? 解:由框图可得分段函数 y ? ?2 x ? 4, 2 ? x ? 5 , ? 1, x ?5 ? x

O

2

5

x

在同一坐标系中画出此函数与函数 y=x 的图像如右: 由图可知两函数图像有三个交点,故选 C. 18.(理、文) 设 f(x)是定义在 R 的偶函数,对任意 x?R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x?[-2, 0]时, f(x)= ( 1 ) x ? 1 . 若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的 2 实数根,则实数 a 的取值范围是( D ) A.(1, 2) B.(2,+?) C.(1, 3 4 ) D.( 3 4 , 2)
y y=g(x) 3 -2 O 2 y=f(x) 6 x

解:f(x-2)=f(x+2)?f(x+2-2)=f(x+2+2)? f(x+4)= f(x)?周期 T=4, 令 g ( x) ? loga ( x ? 2)(a ? 1) ,在同一坐标系中画出 f(x)与 g(x)在 同一坐标系中的图像,由图可知: 方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) ?曲线 y=f(x)与 y=g(x)的图像恰

? g (2) ? 3 ?log a 4 ? 3 ?4 ? a 3 3 有 3 个不同的交点? ? ?? ?? ? 4 ? a ? 2. 3 ? g (6) ? 3 ?log a 8 ? 3 ?8 ? a

16

XH(徐汇) 11. (理)若平面向量 ai 满足 | ai |? 1(i ? 1,2,3,4) 且 ai ? ai ?1 ? 0(i ? 1,2,3) ,则 | a1 ? a2 ? a3 ? a4 | 可能的值有 3 个. 解:由题意知:这 4 个向量中,互相垂直的有 a1 与 a2 、 a2 与 a3 、 a3 与 a4 、 a4 与 a1 ;互相平
2 2 2 2 2 行的有 a1 与 a3 、a2 与 a4 ,∴ | a1 ? a2 ? a3 ? a4 |2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? a1 + a2 + a3 + a4

+2 a1 ? a2 +2 a1 ? a3 +2 a1 ? a4 +2 a2 ? a3 +2 a2 ? a4 +2 a3 ? a4 =4+2 a1 ? a3 +2 a2 ? a4 , 当 a1 与 a3 同向且 a2 与 a4 同向,则上式=8;当 a1 与 a3 反向且 a2 与 a4 反向,则上式=0; 当 a1 与 a3 同向(反向)且 a2 与 a4 反向(同向),则上式=2,故共有 3 个可能的值. (文) 边长为 1 的正方形 ABCD 中,M 为 BC 的中点,E 在线段 AB 上运动,则 EC ? EM 的取 y 值范围是 [ 1 , 3 ] . 2 2 解:如图建立直角坐标系,则 M(1, 1 ),C(1,1),设 E(t,0)(0≤t≤1), 2 则 EC ? EM ? (1 ? t,1) ? (1 ? t, 1 ) ? (1 ? t )2 ? 1 ? [ 1 , 3 ] 2 2 2 2
A E 1 D C M B x 1

12.(理) 在△ABC 中,∠A=60? ,M 是 AB 的中点,若|AB|=2,|BC|=2 3 ,D 在线段 AC 上运动, 则 DB? DM 的最小值为 . 2 2 2 解:设|AC|=b,由 a =b +c -2bccosA?12= b2+4-2b?2? 1 ? b2- b-8=0 2 ? b=4,∴∠B=90?. 如图建立直角坐标系,A(2,0),B(0,0),M(1,0),C(0, 2 3 ),
C y D

AC ? (?2, 2 3) ,D 在线段 AC 上,
可设 AD ? ? AC ? (?2?, 2 3? ) (0≤?≤1),则

B

A M 2

x

DB ? DA ? AB ? (2?, ? 2 3?) ? (?2, 0) ? (2? ? 2, ? 2 3?) ,
DM ? DA ? AM ? (2?, ? 2 3?) ? (?1, 0) ? (2? ? 1, ? 2 3?) ,
DB ? DM ? (2? ? 2, ? 2 3?) ? (2? ? 1, ? 2 3?) = (2? ? 2)(2? ? 1) ? 12?2
3 23 3 9 = 16?2 ? 6? ? 2 ? 16(? ? 16 )2 ? 16 ? 2 ,当 ? ? 16 时, DB? DM 有最小值为 16 .

(文) 函数 f ( x) ? min{ x , | x ? 2 |} ,其中 min{ , b} ? ? a 2

y ? f (x) 的图像有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围是

?a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b D
.
C

解:令 g ( x) ? 2 x , h( x) ?| x ? 2 | ,则 f (x) 的图像是由 g (x) 与 h(x) 图像 y 中位置较低的部分的组成,即图中加粗的折线(弧)OABCD, 若动直线 y ? m 与函数 y ? f (x) 的图像有三个不同的交点, 则 0<m<yA,由 2 x ? 2 ? x ? x ? ?1? 3 ? yA= 2 x ? ?2 ? 2 3 ,∴0<m< ? 2 ? 2 3 .
O 2 A y=m B x

13. (理) 函数 f ( x) ? min{ x , | x ? 2 |} ,其中 min{ , b} ? ? a 2

y ? f (x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1、 2、x3,则 x1?x2?x3 是否存在最 大 x
值?若存在,在横线处填写其最大值;若不存在,直接填写“不存在” 1 . 解:y=f(x)的图像同文科,不妨设 x1< x2< x3,由 2 x1 ? m ?x1= m ;由|x-2|=m?x2=2-m,x3=2+m, 4
2

?a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b

17

∴x1?x2?x3= m ? (4 ? m2 ) ? 1 ? ( m 4 4
2

2

? 4? m2 2 2

) ? 1 ,当且仅当 m2=4-m2,即 m= 2 时等号成立,故

x1?x2?x3 有最大值为 1. (文) 若平面向量 ai 满足 | ai |? 1(i ? 1,2,3,4) 且 ai ? ai ?1 ? 0(i ? 1,2,3) ,则 | a1 ? a2 ? a3 ? a4 | 的 最大值为
2 2

.

解:由题意知:这 4 个向量中,互相垂直的有 a1 与 a2 、 a2 与 a3 、 a3 与 a4 、 a4 与 a1 ;互相平
2 2 2 2 2 行的有 a1 与 a3 、a2 与 a4 ,∴ | a1 ? a2 ? a3 ? a4 |2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? a1 + a2 + a3 + a4

+2 a1 ? a2 +2 a1 ? a3 +2 a1 ? a4 +2 a2 ? a3 +2 a2 ? a4 +2 a3 ? a4 =4+2 a1 ? a3 +2 a2 ? a4 , 当 a1 与 a3 同向且 a2 与 a4 同向时, 则上式取最大值为 8, | a1 ? a2 ? a3 ? a4 | 最大值为 2 2 . 故 14. 已知线段 A0A10 的长度为 10,点 A1, A2,?, A9 依次将线段 A0A10 十等分.在 A0 处标 0 ,往右数 1 点标 1,再往右数 2 点标 2,再往右数 3 点标 3,?(如图),遇到最右端或最左端返回,按照 A0→A10→A0→A10→ ? 的方向顺序,不断标下去, (理)那么标到 2010 这个数时,所在点上的最小数为 5 . (文)那么标到 10 这个数时,所在点上的最小数为 5 . 解:线段 A0A10 被 10 个分点分为 10 段,标记数 k 时用去 1+2+?+k 段,标记数时先右行 10 段, 再返回左行 10 段, (理)标到 2010 时共用去了 1+2+?+2010=2021055, 2021055=202105×10+5, 202105 是奇数, 故 2010 应标在 A10 起左行 5 段的终点 A5 处,其上所标的最小数为 5. (文) 标到 10 时共用去了 1+2+?10=55=5×10+5,5 是奇数,故 10 应标在 A10 起左行 5 段的 终点 A5 处,其上所标的最小数为 5. 17. 若函数 f ( x) ? (A)a≥0
1 x

ax 2 ?1 x

在(0,+?)上单调递增,那么实数 a 的取值范围是( A ) (C)a≤0
1 x

(B)a>0

(D)a<0

解: f ( x) ? ax ? ,了取 a=-1,则 f ( x) ? ?( x ? ) 在(0,1]递增,在[1,+?)递减,故(C)、(D)错; 又当 a=0 时, f ( x) ? ? 1 在(0,+?)上单调递增,故(B)错,∴选(A). x 18. (理) 对于直角坐标平面 xOy 内的点 A(x,y) (不是原点), 的 A “对偶点” 是指: B 满足|OA||OB|=1 且在射线 OA 上的那个点. 若 P、Q、R、S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它 们的“对偶点” P?、Q?、R?、S? ( C ) (A) 一定共线 (B)一定共圆 (C)要么共线,要么共圆 (D)既不共线,也不共圆 解:设 P、Q、R、S 所在直线为 l,若 l 过原点,则由题意知它们的“对偶点” P?、Q?、R?、S? 也在 l 上,故(B)、(D)错;又设 l:x=1,设 P(1, t),P?(x, y),P?在射线 OP 上,且|OP||O P?|=1, 则 tx=y(x>0)①,且 1 ? t 2 x 2 ? y 2 ? 1 ②,由①, t ?
y x

,代入②,化得 x2 ? y 2 ? x ,此方程表

示圆,故 P、Q、R、S 四点在此圆上,从而(A)也错,故选(C). (文) 对于直角坐标平面 xOy 内的点 A(x,y) (不是原点),A 的“对偶点”B 是指:满足|OA||OB|=1 且在射线 OA 上的那个点.则圆心在原点的圆的对偶图形 ( A ) (A) 一定为圆 (B)一定为椭圆 (C) 可能为圆,也可能为椭圆 (D)既不是圆,也不是椭圆 1 解:圆心在原点的圆 O 的半径为 r>0,设 A 是圆上任意一点,其对偶点为 B,则 | OB |? |OA| ? 1 , r ∴B 点轨迹是圆心在原点,半径为 1 的圆,选(A). r YP(杨浦) 13. (理)在 ?ABC 中,若 ?A ? ? , tan(A ? B) ? 7 , AC ? 3 2 ,则 ?ABC 的面积为 21/2 4
c ,由正弦定理, sin C ?



tan B 3 解:tan(A ? B) ? 7 ? 1tan A? tan B ? 1? tan B ? 7 ?tanB= 3 ?sinB= 5 , 又由 tan(A ? B) ? 7 ? tanC=-7 ? tan A tan B 1? 4

? sinC=

7 5 2

b sin B

?c ?

sin C sin B

?b ?

7 5 2

? 5 ?3 2 ? 7, 3
18

∴S= 1 bc sin A ? 1 ? 3 2 ? 7 ? 2 2 则 tan A cot B 的值是 4 .

1 2

?

21 2

.

3 (文) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A ? 5 c , 3 3 3 3 3 解: a cos B ? b cos A ? 5 c ? sin AcosB ? sin B cos A ? 5 sin C ? 5 sin(A ? B) ? 5 sin AcosB ? 5 cos Asin B 2 ? 5 sin A cos B ? 8 cos Asin B ? sin A cos B ? 4 ? tan A cot B ? 4 . 5 cos A sin B

14.(理) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 3x ? 2m 与圆 x2 ? y 2 ? n2 相切,其中 m、n?N*,

0 ? m ? n ? 1.若函数 f ?x? ? mx ?1 ? n 的零点 x0 ? ?k , k ? 1? ,k?Z,则 k = 0 .
m

解:直线与圆相切,则 d=r? 22 ? n ? 2

m ?1

? n ,由 m、n?N*,且 0 ? m ? n ? 1,得 m=3,n=4,
4 3

∴ f ?x? ? 3x ?1 ? 4 ,零点 x0 ? log3 4 ,由 1 ? 3 (文) 已知函数 f ?x ? ? ?

?log2 ?x ? 1? , x ? 0 , 若函数 g ?x ? ? f ?x ? ? m 有 3 个零点, 2 y ?? x ? 2x , x ? 0 .
1 -1 O 1

? 3 ? 0 ? x0 ? 1 ,又 x0 ? ?k , k ? 1? ,∴k=0.

则实数 m 的取值范围是 (0,1) . 解:画出函数 f (x) 的图像如右, g ?x ? ? f ?x ? ? m 有 3 个零点, 即是直线 y ? m 与函数 f (x) 的图像有三个交点,由图可知: 0<m<1. 17. (理、文)若 F1、F2 为双曲线 C: 则 P 到 x 轴的距离为 ( B ) (A)
5 5 x2 4

y=m x

? y 2 ? 1的左、右焦点,点在双曲线 C 上,∠F1PF2=60?,
y P

(B)

15 5

(C) 2 515

(D)

15 20

解:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 S?F1 PF2 ? 1 r1r2 sin 60? ? 2
2 2 2

3 4 1 2

r r ,又

F1 -2 O

2 F2

x

4c2 ? r12 ? r22 ? 2r1r2 cos60? ? (r1 ? r2 )2 ? 2r1r2 ? r1r2 ? 4a2 ? r1r2
? r r2 ? 4c ? 4a ? 4b ? 4 ,∴ S?F1 PF2 ? 3 ? 1 ? 2c? | yP |? 5 | yP | ? | yP |? 1 2
15 5

.

18. (理、文)已知数列{an}是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列(n?N*). 对于函数 y=f(x), 若数列{lnf(an)}为等差数列,则称函数 f(x)为―保比差数列函数‖. 现有定义在(0,+?)上的如下 函数:① f ( x) ? 1 , x ② f ( x) ? x2 , ③ f ( x) ? e x , ④ f ( x) ?

x ,则为―保比

差数 列函数‖的所有序号为( C ) (A)①② (B)③④ (C)①②④ (D)②③④ 解:对于①,lnf(an)= ln a1 =-lnan=-ln(a1qn-1)=-lna1-(n-1)lnq 为等差数列,故①是,(B)、(D)均错;
n

对于④, lnf(an)= ln an = 1 ln(a1qn-1)= 1 lna1+ 1 (n-1)lnq 为等差数列, 故④是, (A)错, 故选(C). 2 2 2 ZB(闸北) 8.甲、乙、丙 3 人安 排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天 至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有 20 种.
3 解:第一步:从 5 天中取出 3 天,有 C5 种;第二步:从取出的 3 天中的后两天排乙、丙人,有 P2
2

3 种,故共有 C5 ? P2 =20 种.
2 1 9.(理)设不等式 loga (1 ? 1 ) ? 1 的解集为 D ,若 ?1 ? D ,则 D ? ( 1? a ,0) . x

解: ?1 ? D ? loga 2 ? 1 ? 1 ? a ? 2 ①,∴由 loga (1 ? 1 ) ? 1 ? 1 ? 1 ? a ? 1 ? 1 ? a(? 0) x x x
1 ? 1? a ? a ? 0 .

19

10. (理)设函数 f ( x) ? ?

? x ? 2 x ,  x ? 0, ?? 2 sin 2 x, x ? 0.

则方程 f ( x) ? x2 ? 1 的实数解的个数为 3 .
y=x2+1 y=f(x)
? ?O 4
1 2

y
2 1 1

解:在同一坐标系中画出函数 y=f(x)与 y=x2+1 的图像, 由图可知,两图像有 3 个交点,故方程 f ( x) ? x2 ? 1 的 实数解有 3 个. (文) 设函数 f ( x) ? ?

x

x ? ? x ? 2 , x ? 0, 则方程 f ( x) ? x2 ? 1 有实数解的个数为 2 ?2 ? ? x ,   x ? 0. y

解:在同一坐标系中画出函数 y=f(x)与 y=x2+1 的图像, 由图可知,两图像有 3 个交点,故方程 f ( x) ? x2 ? 1 的 实数解有 2 个.

y=x2+1

2

y=f(x)

1 -1 O
1 2

1

x

12. 已知向量 a , b 满足: | a |?| b |? 1,且 | k a ? b |? 3 | a ? k b | ( k ? 0 ).则向量 a 与向量 b 的 夹角的最大值为 ( B ) ? ? (A) ? (B) ? (C) 56 (D) 23 6 3 解: | k a ? b |? 3 | a ? k b | ? (k a ? b)2 ? 3(a ? k b)2 ? k 2 a ? b ? 2k a ? b ? 3a ? 3k 2 b ? 6k a ? b ? 8k a ? b ? 2k ? 2
2

2

2

2

2

? a?b ?

k 2 ?1 4k

a ? 1 (k ? 1 ) ? 2 ? 1 ?cos?= ||a||?b|| ?| a ? b |? 1 ,当且仅当 k=1 时,上式成立等号, 2 4 k 4 2 b

∴夹角的最大值为 arccos 1 = ? . 3 2 13. 以下四个命题中,真命题的个数为 ( B ) ①集合 ?a1, a2 , a3 , a4 ?的真子集的个数为 15 ; ②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角; ③设 z1, z2 ? C ,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? 0 且 z2 ? 0 ;
2 2

④设无穷数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 ?S n ? 是等差数列,则 ?an ? 一定是常数列. (B)1 (C)2 (D)3

解:对于①,集合 ?a1, a2 , a3 , a4 ?的真子集的个数为 24-1=15,∴①对; 对于②,平面内两条直线的夹角不大于直角,而方向向量的夹角可以为钝角,故②错; 对于③,∵12+i2=0 但 1 与 i 都不为 0,故③错; 对于④,若 ?S n ? 是等差数列,可设 Sn=S1+(n-1)d,a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= d,

(A)0

当且仅当 S1=d 时 ?an ? 是常数列,故④错.

20


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