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2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的5种证法


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4 8?   重 庆 

《 数学 教 学 通讯  ̄ 2 0 0 1年 第 1 1 期( 总第 1 4 4期 )  

2 0 0 0年全 国高中数学联赛加试平面几何题的 5种证法 
( 重 庆 市 第一 中学 校 4 0 0 0 3 0 )   郊发 明 

BD,同 理  C t t N 一 
BCD  氍 以 H N 

( 2 0 0 0年 联 赛 题 )如 图 1 , 在 锐 角 三 角 形 
ABC 的 BC 边 上 有 两 点 E , F, 满 足  B  E =  CAF, 作 FM 上 AB. FⅣ 上 AC, ( M、 Ⅳ 是 垂  足) , 延 长 AE 交 三 角 形 AB C的外接 圆于 D点.   证 明: 四 边 形 AM DN 与 三 角 形 ABC 的 面 积 相 
等.  

CAF = 

BAE 一 

CD.  

所以 S  B M H= S  D 洲 , S  H   = S△D H w  

于 是 S^ M H N + Sa ¨ H+ S  M N= S^ ¨ M   +  S- 卟I M+ S  D M N .即 s   一 S^   。 K .  

评注: 证法 1 、 2作 辅 助 线 构 造 平 行 线 , 利 用 

证法 l : 如图 2 , 设 O 为 △ ABC的 外 接 圆 圆  心, 连 结 AO并 延 长 00 于另 一 点 G. 连 结 MN 、  
DG、 MG 、 N G、 F G、 GC、 GB. 因 为 FM   j _ AB ,  

幽 3  

幽 4  

证法 3 : 如图 4 , 连 结 DB、 DC, 过 D 作 DP   j _ AB, DQ 上 BC, DRj _AC, 垂 足 分 别 是 P、 Q、   R. 连 结 PQ、 QR. 又 易 知  、 M、 F、 Ⅳ 四点共 圆 ,   设 该 圆 交 BC 的 另 一 交 点 为 K , 连 结 KM 、 KN.   由作 图知 D、 C、 R、 Q 四点共 圆 , D、 P、 B、 Q 四 点  共 圆 . 则 
BAD 一 

F Ⅳ j _AC分 别 于点 M 、 Ⅳ. 则  、 M、 F、 Ⅳ 四 点 
共 圆. 所 以  AM N 一  AFN . 又  AF N + 
C  4l F =  BAE ,所 以  CA F = 9 0 。 . 因  AFⅣ + 

BAE = 9 0 。 ,于 是   AM Ⅳ + 

DRQ = 
BAE = 

QCD = 
CA F = 

BCD = 
N A F = 

BAE 一 9 0 。 .所 以 AD 上 M Ⅳ . 由 作 图 知 AD 

上 DG, 所 以 MN / /DG, 所以 S  

一S  

,  

FKL v 一 

CK N .又 

RDQ = 

QCR = 

则 S目 n   ^ 邶Ⅳ一 S日   ^  ~ . 又 易 知 BG / /Ⅳ F,   CG / / FN.圆 此 , s& a M F= S&  F , s f   N = 
S△   。 所以 S △   = S目 自  


 ̄ KCN .所 以  ̄ KCN o ' ) A RDQ .所 以 

一 

, 于是 S 目   ^ 邶 

RD 即 KC ? 厢 DQ — c Ⅳ ? RD 

① 

S△  

.  
一  

又  D尸Q 一  DBQ 一  DBC 一  DAC  BAF 一  M AF 一  M KB , 又  PDQ + 

证法 2 : 如图 3 , 设 AH  j _BC 于  , 连 结 

MⅣ . ⅣH , DH , DB, DC. 显 然  、 M、 F、 Ⅳ 四点  共 圆 .且 AF 为 直 径 . 由 作 图 知  AH F —  SA  F一 9 0 。 , 于 是 有  、 M、 H、 F、   五 点 共 
匮 祈 以  M H B = 
EAF 一 

PBQ : 1   8 0 。= 

PBQ + 

KBM , 所 以 

PDQ =  K BM ,所 以 △ K BM ∽ △ PDQ ,  

M AF = 
CAF + 

BAF 一 
EA F 一  

所 以 篇=  ,  
所 以 KB ? DQ = BM ? PD  ② 

: B  4E +  

CAE 一  CAD =  DB C,所 以 MH

/ /  

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式 ① + ② 得: KC ? DO 十 KB ? DO :  
C N ?R D + B M ?P D .  

叉 S^ M b N — S△A   。+ S△ A D N一  

! AM


?A Ds i n n + l AD
?

即 BC ?D0 一 CN ?RD + BM ?PD .  

ANs i n ( 口+ p )= 
l AD
? 

所 以  △ 战   =  △ D C W+ S △ R M D   则  △ ^   ; S^   .   评注: 证 法 3主 要 划 分 图形 构 造 相 似 形 找 


?

AFc 。 s ( 口 +   ) ? A Ds i n 口 +

AFc o s a s i n ( 口+ p)一  AD . AF[ s i n   e  ̄ e o s ( 口+ 

线 段关 系从 而 找 到 面 积 关 系 l   证法 4 : 如图 5 , 连 结 MⅣ、 BD, 易 知 AD  l _ L  
Ⅳ, 且  、 M、 ,、 Ⅳ 四 点 共 圆 
设   BA E =  CAF —  ,   E AF =  ,  
1  

p ) +c o s  ̄ s i n ( a +p ) ] = 去A D? A F? s i n ( z n + 

p )一 去 B ? A C? s i n ( 2 a+ p ) 兰S △  

即证.  

评注: 证法 4 、 5是 利 用 正 弦 定 理 或 借 助 三 
角 形 加 以证 明 】  

s^ M  

= 

A D ?M N .  

由正 弦 定 理 ( 设 R 为 △ ABC 的 外 接 圆半 径 )  
AD 一  2 Rs i n(   B +  DB E)   一 

证 法 6 :如 图 7 ,连 结  
MN 、 BD 、 CD .  

易 知 A、 M、  、 Ⅳ 四 点  共 圆 
所 以  N M A  : 
AFN + 
固 

2 Rs i n(   B + d+  )  

MN

= A Fs i n( 2 a +  ) 一  

A C 

s i n   A FC 
C 

s i n   C ?s i n( 2 a +  )  

AFN ,   又 

而 

_ 干  

‘  

FA N  

90 。 ,   N A F 

s i n  C? s i n ( 2 u+ p ) .  

MAE, 所 以  NM A +  M AE 一 9 0 。 , 所 以 

所 以   Ⅳ 一号 A D ? M N =  
R ?A C ?s i n  C ?s i n   A.  

A D  l _ L MN, 所以 S —   一 寺A D‘ MN.  
又  FM N =  FAⅣ 一 L BAD =  L BCD. 又 L M NF = L BAF = L CAD 一 

而 由 正 弦 定 理 五A   B  =2 R 
AB
—  

C BD,所 以 △ MFN ∽ △ CDB.  


Rs i nL C.  

所 以 SA  
S^  

: 

A 8 .AC .s i n L A 

所 以 FM _ 『D



 



 
、 

对 四边 形 ABDC 由 托 勒 密定 理 得 :  
A B .C D 一-A C ? B D — A D ?B C  N 西 + AC ? BD ? F 于 是 AB . CD . F   M

BD — 

AD ? B C? M  面 N 
即 A B ?FM + AC ?FⅣ 一 AD ?M N ,  

所以  A 日 . F M+{ A c? F Ⅳ=  A D?  
图 5   固 6  

MN.即 s △ 衄  + S △ ^   一 告L 4 D  b i N—  
口  
s^   I  .   而 S  ^   一 S  D K .  

证法 5 : 如图 6 , 设 LB AD — L CAF  

L DAF 一 口, 连 结 BD , 因 为 L BAD — L FAC  
LC=  ̄ /BDA,所 以 △ BAD ∽ Z XFAC-  

评注 : 证 法 6利 用 托 勒 密 定 理 及 相 似 形 找  线 段关 系 从 而证 明 面积 相 等 !  

所 以  AB 一  AD


即 AB ?AC — AD ?A,-  


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