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高中数学知识点整理苏教版)


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高中数学

第一讲

集 合

一、知识精点讲解 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素,记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设

A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则 或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有 一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相 同的个体(对象) ,因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于 元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括 号{}内。 具体方法: 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取 值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所 具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪

种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采 用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 记作 R。 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的 子集(或 B 包含 A) ,记作 A ? B(或 A ? B ) ; 集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若 A ? B 且 B ? A,则 称 A 等于 B,记作 A=B;若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集, 记作 A B; 有理数集,记作 Q; 实数集, 正整数集,

(2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全 集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A}称 S 中子 集 A 的补集; 4.交集与并集:

(1) 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集。交集 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。 (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的 集合,称为集合 A 与 B 的并集。 并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 。 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是 集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与 并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。

第二讲 一、知识精点讲解 1.函数的概念:

函数概念与表示

设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 记作: y=f(x), x∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数 的值域。 注意: (1) “ y=f(x) ”是函数符号,可以用任意的字母表示,如 “y=g(x)” ; (2) 函数符号 “y=f(x)” 中的 f(x)表示与 x 对应的函数值, 一个数, 而不是 f 乘 x。

2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域, 函数的定 义域包含三种形式: ①自然型:指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如: 分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函 数的真数为正数,等等) ; ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学 习中重点, 往往也是难点, 因为有时这种限制比较隐蔽, 容易犯错误; ③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变 量 x 的实际意义。 (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初 等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法(将函数转化为二次函数) ;②判别式法(将函数转化为 二次方程) ;③不等式法(运用不等式的各种性质) ;④函数法(运用 基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等) 。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数才 是同一个函数。 4.区间:区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应

法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确 定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ?B” 。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非 空数集”弱化为“任意两个非空集合” ,按照某种法则可以建立起更 为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。 注意: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射 是截然不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2) “都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只 有一个的意思。 6.常用的函数表示法: (1)解析法: (2)列表法: (3)图象 法: 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析 式不同,这种函数又称分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函 数,u 称为中间变量,它的取值范围是 g(x)的值域。

第三讲 一、要点精讲

函数的基本性质

1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=- f ( x) , 则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(- x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质, 则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时 具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, ○ 函数的奇偶性是 函数的整体性质; 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件 ○ 是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自 变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域, ○ 并判断其定义域是否关于原点对称; 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关 于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对 称;

②设 f ( x) ,g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 , 那么在它们的公共定义域 上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如 果 对 于 定 义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都 有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函 数) ; 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数 注意:○ 的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 ○ 时,总有 f(x1)<f(x2) (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就 说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x) 的单调区间。 (3)设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的 某个区间,B 是映射 g : x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或 减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或 增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤:

1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意:

1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使 ○ 得 f(x0) = M; 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于 ○ 任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值; ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递 减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递 增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内 的任意 x,都有 f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周期函数; (2) 性质: ①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ? ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x)的最小正周期; ②若周期函数 f(x) 的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期函数,且周期为 第四讲 一、要点精讲 1.指数与对数运算 (1)根式的概念: 基本初等函数
T |? |
T 2 T 2



①定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ? ) ,则这个数称 a 的
n 次方根。即若 x n ? a ,则 x 称 a 的 n 次方根 n ? 1且n ? N ? ) ,

1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ; 2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根 且互为相反数,记作 ? n a (a ? 0) 。 ②性质:1) (n a ) n ? a ;2)当 n 为奇数时, n a n ? a ; 3)当 n 为偶数时, n a ?| a |? ? (2) .幂的有关概念 ①规定:1) a n ? a ? a ? ?? a(n ?N*;2) a 0 ? 1(a ? 0) ; n个 3) a ? p ?
1 * ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N p a
m

?a(a ? 0) 。 ?? a(a ? 0)

且 n ? 1) 。

②性质:1) a r ? a s ? a r ?s (a ? 0, r 、 s ?Q) ; 2) (a r ) s ? a r?s (a ? 0, r 、 s ? Q) ; 3) (a ? b) r ? a r ? b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 。 (注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。 (3) .对数的概念 ①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a b ? N ,那么 数 b 称以 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真 数。 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ;
?) 为底的对数称自然对数, loge N ,记 2)以无理数 e(e ? 2.71828

作 ln N ; ②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ; 3) loga a ? 1 ; 2) loga 1 ? 0 ;
a

4)对数恒等式: a log

N

? N。

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 2) log a
M ? log a M ? log a N ; N

3) loga M n ? n loga M (n ?R) 。 ④换底公式: loga N ?
logm N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), logm a
m

1) loga b ? logb a ? 1 ;2) log a b n ? 2.指数函数与对数函数

n log a b 。 m

(1)指数函数:①定义:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数, 1)函数的定义域为 R; 2)函数的值域为 (0,??) ;

3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像:

a>1
4.5 4

0<a<1
4.5 4

3.5

3.5

3

3


-4 -3 -2 -1

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1

0.5

1

2

3

4

-4
-0.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-1



-1

(1)定义域:R 性 质 y=1 (4)x>0 时 , y>1;x<0 时,0<y<1 (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时, y>1. (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,

(5) 在 R 上是增函数 (5)在 R 上是减函数

(2)对数函数:①定义:函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数函数, 第五讲 一、知识精点讲解 1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表 描点法和图象变换法。 作函数图象的步骤: ①确定函数的定义域; ②化简函数的解析式; ③讨论函数的性质即单调性、 奇偶性、 周期性、 最值 (甚至变化趋势) ; ④描点连线,画出函数的图象。 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行 变换,以及确定怎样的变换。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换: Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像 函数图象及数字特征

沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x+h);
左移 h

2)y=f(x) ? y=f(x?h);

右移 h

Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像 沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x)+h; ②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称 即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称 即可得到 y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对 称即可得到 y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到 y=f(x)
直线 y ? x y轴

上移 h

2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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下移 h

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x轴

原点

? x=f(y)

Ⅴ、函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线
x ? a 对称即可得 y=f(x)
直线 x ? a

?

y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部

分沿 x 轴翻折到 x 轴上方, 去掉原 x 轴下方部分, 并保留 y ? f ( x) 的 x 轴 上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻 折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可 得到
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y

y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每 一点横坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得 到; y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每 一点纵坐标不变横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 倍得 到。
1 a
y?a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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x?a

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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 2.幂函数
y ? x ? (? ? 0,1) 在第一象限的图象,可分为如图中的三类:

? ?1

0?? ?1

? ?0

图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时,所
? 涉及的幂函数 y ? x ? 中 ? 限于在集合 ? ??2 , ? 1, ? , , ,1,2 ,3? ? 1 2 1 3 1 2 ?

中取值。 幂函数有如下性质: ⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐 标轴都不相交; ⑵ 定 义 域 为 R ? 或?0, ? ?? 的 幂 函 数 都 具 有 奇 偶 性 , 定 义 域 为
R ? 或?0, ? ?? 的幂函数都不具有奇偶性;

⑶幂函数 y ? x ? (? ? 0) 都是无界函数;在第一象限中,当 ? ? 0 时为 减函数,当 ? ? 0 时为增函数; ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1) ,至多有三个 公共点; 第六讲 一、知识精点讲解 1.方程的根与函数的零点 函数与方程

(1)函数零点概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦 即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数 根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的零点: 1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象 与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点; 2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次 函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零 点; 3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴 无交点,二次函数无零点。 零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续 不断的一条曲线, 并且有 f (a) f (b) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内 有零点。既存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤: 对于在区间 [ a , b ] 上连续不断,且满足 f (a) · f (b) ? 0 的函数
y ? f ( x) ,通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区

间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分 法.

给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [ a , b ] ,验证 f (a) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 (a , b) 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f (a) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; 注: 用二分法求函数的变号零点: 二分法的条件 f (a) · f (b) ? 0 表 明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2); y=a(x-x0)2+n。 (2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0= 1 (p+q)。
2

b <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a 若 p≤- b <x0,则 f(- b )=m,f(q)=M; 2a 2a b 若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f(- b )=m; 2a 2a 若- b ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m。 2a

若-

(3)二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。 ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;
?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? b r? ? ? r, ?? ? 2a a ? f (r) ? 0 ? ?

②二次方程 f(x)=0 的两根都大于

③二次方程 f(x)=0

? ? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? b ? ? q, ?p ? ? 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ? ?a ? f ( p ) ? 0;

④二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立。 第七讲 一、知识精点讲解 1.柱、锥、台、球的结构特征 (1)柱 棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫 做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余 各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底 面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形??的棱柱分别叫做三棱柱、四 棱柱、五棱柱?? 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋 转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的 边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 空间几何体

棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点 的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱 锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面 的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥??的棱柱分别叫做三棱锥、四 棱锥、五棱锥?? 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两 边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂 直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面; 斜边旋转形成的曲面叫做 圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部 分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面; 棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部 分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面; 圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何 体叫做球体,简称为球;半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做

球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 2.空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何 体的图形。 他具体包括: (1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度; (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度; 第八讲 一、知识精点讲解 1.多面体的面积和体积公式 空间几何体的表面积和体积

名称 棱 柱 直棱柱 棱柱

侧面积(S 侧) 直截面周长

全面积(S 全)

体 积(V) S 底·h=S 直截面·h

×l ch

S 侧+2S 底 S 底·h

各侧面积之 棱 锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 之和
1 2

棱锥 和
1 ch′ 2

S 侧+S 底

1 S 底·h 3

各侧面面积 S 侧+S 上底+S 下


1 h(S 上底+S 下底 3

+ S下底 ? S下底 )

(c+c′)h′ 表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高, h′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式

名 圆柱 称 S侧 S全 2π rl 2π r(l+r) π r2h(即π V r2l) π rl π r(l+r) π π (r1+r2)l (r1+r2)l+ π 4π R2 圆锥 圆台 球

(r21+r22)
1 3

1 π r2h 3

π

h(r21+r1r2+r22)

4 π R3 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径, r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。 第九讲 一、复习目标要求 空间中的平行关系

1.平面的基本性质与推论 借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系 的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为 推理依据的公理和定理: ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在 此平面内; ◆公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过该点的公共直线; ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行; ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补。 2.空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、 操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关 性质与判定。通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理: ◆ 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此 平面平行; ◆ 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平 面平行; 通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明:

◆ 一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平 面交线与该直线平行; ◆ 两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交 线相互平行; ◆ 垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 二、要点精讲 1.平面概述 (1)平面的两个特征:① 无限延展 ② 平的(没有厚度) (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 ? 、 ? 、 ? 等表示,如 平面 ? 、平面 ? ;用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如 平面 AC。 2.三公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有 的点都在这个平面内: A ?l ,B ?l ,A ?? ,B ?? ? l ? ? 公理 2: 如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点, 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 3.空间直线: (1)空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和 平行直线也称为共面直线。 异面直线的画法常用的有下列三种:
b ? b a a ? ? a b

?

(2)平行直线: 在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结 论在空间也是成立的。即公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行。 (3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这 个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式:
A ?? , B ?? , a ? ? , B ? a ? AB 与 a 是异面直线。

4.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ;

(3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分 类。 它 们 的 图 形 分别可 表 示 为 如 下,符 号 分 别 可 表示为 a ? ? ,
a ? ? A , a // ? 。
a
a

a
?

?

A
?

线面平行的判定定理:如
a

果不在一个平面内的一条直线 和平面内的一条直线平行,那 么这条直线和这个平面平行。 推理模式: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? .
?

a b P ? b P

线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。推理模式:
a // ? , a ? ? , ?

? ? b ? a // b .
? a b

5.两个平面的

?

位置关系有两种:两平

面相交(有一条公共直线) 、两平面平行(没有公共点) (1) 两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两 条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行。

a?? ? 定理的模式: b ? ? ? ? ? a b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ? ?

? ?

a

b

c

推论: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内 的两条相交直线,那么这两个平面互相平行。 推
a ? ,


?
b ? ? ,


? P ?
? , a


?


?
? b , ?

?

(2)两个平面平行的性质(1)如果两个平面平行,那么其中一 个平面内的直线平行于另一个平面; (2)如果两个平行平面同时和第 三个平面相交,那么它们的交线平行。 第十讲 一、知识精点讲解 1.线线垂直 判断线线垂直的方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平 行线中的一条,必垂直于另一条。 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个 平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂
A

空间中的垂直关系

P
O

直。

?

a

三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的 一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直。
PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? AO 。 a ? ? , a ? AP ? ?

注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是:
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斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,
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并注意两定理交替使用。 2.线面垂直 定义:如果一条直线 l 和一个平面α 相交,并且和平 面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面α 互相垂直 其中直线 l 叫做平面的垂线,平面α 叫做直线 l
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的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。 直线 l 与平面α 垂直记作: l⊥ α。 直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行。 3.面面垂直 两个平面垂直的定义: 相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直 的平面。 两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ? 面面垂直) 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂 直。 两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ? 线面垂直)若两个平面互 相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平 面。

第十一讲 一、知识精点讲解

直线、圆的方程

1.倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小 正角,叫做直线的倾斜角,范围为 ?0, ? ? 。

2.斜率:当直线的倾斜角不是 900 时,则称其正切值为该直线 的斜率, 即 k=tan ? ;当直线的倾斜角等于 900 时, 直线的斜率不存在。 过 两 点 式:k=tan ? ? p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1 ≠ x2) 的 直 线 的 斜 率 公

y2 ? y1 (若 x1=x2,则直线 p1p2 的斜率不存在,此时直线 x2 ? x1

的倾斜角为 900) 。 4.直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条 件。确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适 用范围。 名称 斜截 y=kx+b 式 点斜 式 两点 式 y-y0=k(x-x0) b——纵截距 (x0,y0)——直线上 直线不能用此式 倾斜角为 90°的 方程 说明 k——斜率 适用条件 倾斜角为 90°的

已知点,k——斜率 直线不能用此式 (x1,y1),(x2,y2)是 与两坐标轴平行的 直线上两个已知点 a——直线的横截 过(0,0)及与两 直线不能用此式

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1

截距 式

x y + =1 a b

距 坐标轴平行的直线 b——直线的纵截 不能用此式 距

一般 Ax+By+C=0 式

?

A C C ,? ,? 分别 B A B

为斜率、横截距和

A、 B 不能同时为零

纵截距 5.圆的方程 圆 心 为 C ( a, b) , 半 径 为 r 的 圆 的 标 准 方 程 为 :
( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) 。特殊地,当 a ? b ? 0 时,圆心在原点的圆的

方程为: x 2 ? y 2 ? r 2 。 圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆心为点 (?
r? D 2 ? E 2 ? 4F ,其中 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 。 2
D E ,? ) ,半径 2 2

二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充 要条件是: ①、 x 2 项 y 2 项的系数相同且不为 0,即 A ? C ? 0 ; ②、没有 xy 项,即 B=0;③、 D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 。

第十二讲 一、知识精点讲解

直线、圆的位置关系

1.直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直 (1)若 l1,l2 均存在斜率且不重合: ①l1//l2 ? k1=k2;②l1 ? l2 ? k1k2=-1。 (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,
l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0

若 A1、A2、B1、B2 都不为零。 ①l1//l2 ? A1 ? B1 ? C1 ;
A2 B2 C2

②l1 ? l2 ? A1A2+B1B2=0;

③l1 与 l2 相交 ? A1 ? B1 ;
A2 B2

④l1 与 l2 重合 ? A1 ? B1 ? C1 ;
A2 B2 C2

注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。 两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组 成的方程组的解的个数。 2. 距离 ( 1 ) 两 点 间 距 离 : 若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) , 则
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

特别地: AB // x 轴,则 AB ? | x1 ? x2 | 、 AB // y 轴,则 AB ? | y1 ? y 2 | 。 ( 2 ) 平 行 线 间 距 离 : 若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 , 则: d ?
C1 ? C 2 A 2 ? B2

。注意点:x,y 对应项系数应相等。

(3)点到直线的距离: P(x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到 l 的 距离为: d ?
Ax ? ? By ? ? C A 2 ? B2

3.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 (1)若 d ?
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。 还 可 以 利 用 直 线 方 程 与 圆 的 方 程 联 立 方 程 组
? Ax ? By ? C ? 0 求解,通过解的个数来判断: ? 2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

(1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与 圆相交; (2) 当方程组有且只有 1 个公共解时 (直线与圆只有 1 个交点) , 直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相 离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为Δ , 圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关 系: 相切 ? d=r ? Δ =0; 相交 ? d<r ? Δ >0; 相离 ? d>r ? Δ <0。 4.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离

外切

相交 内含

内切

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个 数来解决。

第十三讲 一、知识精点讲解 1.任意角的概念

任意角的三角函数及诱导公式

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形。一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆 时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成角 ? 。旋转开始时的射线 OA 叫 做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 为了区别起见, 我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射线没有做任何旋转,

我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么, 角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。 要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一 个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α 具有同终边的所有角, 它们彼此相 差 2kπ (k∈Z),即β ∈{β |β =2kπ +α ,k∈Z},根据三角函数的定 义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,如α ∈{α |
5? ? 5? }=[ , ]。 6 6 6

? ≤α ≤ 6

3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad , 或 1 弧度,或 1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π , -2π 等等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个 负数,零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角 ? 的弧度数的绝对值是:? ? , 其中, l 是圆心角所对的弧长,
r 是半径。
l r

角度制与弧度制的换算主要抓住 180? ? ? rad 。 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ、 1°=
?
?
180

≈0.01745(rad) 。

弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数) , 扇形面积公式: S ? l r ? | ? | r 2 。 4.三角函数定义 在 ? 的终边上任取一点 P(a, b) ,它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 .过
P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长度为
b .则 sin ? ?

1 2

1 2

MP b OM a MP b ? ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? OP r OP r OM a

利用单位圆定义任意角的三角函数, 设 ? 是一个任意角 , 它的终边与单位圆 交于点 P( x, y ) ,那么:
? ,即 (1) y 叫 做 ? 的 正 弦 , 记 做 s i n
sin ? ? y ;

a的终边
P(x,y )) O

y

x

(2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) 。 5.三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出 角的各种三角函数值的一种图示方法。 利用三角 函数线在解决比较三角函数值大小、 解三角方程 及三角不等式等问题时,十分方便。 以坐标原点为圆心, 以单位长度 1 为半径画 一个圆,这个圆就叫做单位圆(注意:这个单位长度不一定就是 1 厘 米或 1 米) 。当角 ? 为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交
O y a角的终 边 P T

y x

y x

M A

x

点 P( x, y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M ,根据三角函数的定义:
| MP |?| y |?| sin ? | ; | OM |?| x |?| cos ? | 。

我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线 段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点 的横坐标.这样,无论那种情况都有
OM ? x ? cos ?

同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点, 规定:当线段 MP 与 y 轴同向时,MP 的方向为正向,且有正值 y ; 当线段 MP 与 y 轴反向时,MP 的方向为负向, 且有正值 y ; 其中 y 为 P 点的横坐标。 这样,无论那种情况都有 MP ? y ? sin ? 。像 MP、OM 这种被看作带 有方向的线段,叫做有向线段。 如上图,过点 A(1, 0) 作单位圆的切线 ,这条切线必然平行于轴 , 设 它与 ? 的终边交于点 T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识, 借助有向线段 OA、AT ,我们有
tan ? ? AT ? y x

我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做 角 ? 的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线。 6.同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时,经常把“切” 、 “割”用“弦”表示, 即化弦法,这是三角变换非常重要的方法。 几个常用关系式:sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ·cosα ;(三

式之间可以互相表示)

同理可以由 sinα -cosα 或 sinα ·cosα 推出其余两式。
?? ② 1 ? sin ? ? ? ?1 ? sin ? . 2? ? sin x ? x ? tan x 。
2

?? ③当 x ? ? ? 0, ? 时,有
? 2?

7.诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” 。 诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos? ,其中 k ? Z 诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ; 诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;
c o s (1 8 ?? 0 ? ? )cos?
cos(?? ) ? cos ?
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诱导公式四: sin(180 ?? ) ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos? 诱导公式五: sin(360 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360 ? ? ) ? cos? -? sin cos -sin ? cos ?
? ??

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? ??

2k? ? ? ?k ? Z ?
2? ? ?

?
2

??

sin ? -cos ?

-sin ? -cos ?

-sin ? cos ?

sin ? cos ?

cos ? sin ?

(1)要化的角的形式为 k ?180 ? ? ( k 为常整数) ; (2)记忆方法: “函数名不变,符号看象限” ; (3)sin(kπ +α )=(-1)ksinα ;cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z);
?? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? (4) sin ? ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 。 4 4 4 4 4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第十四讲 一、知识精点讲解

三角函数的图象与性质

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2.三角函数的单调区间:
? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?

递减区间是 ? 2k? ? ?2k? ? ,
? 2

?

3? ? (k ? Z ) ; 2? ?

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,

2k? ? ? ? (k ? Z ) , 递减区间是 ?2k?,

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) 3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?

,频率是 f ?
?
2

? , 2?

相位是 ?x ? ? , 初相是 ? ; 其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? (k ? Z ) , 凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。 4. 由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个 途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移 也经常出现 无论哪种变形, 请切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即
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图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单 位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 sin(ω x+ ? )的图象。 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω >0), 再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0=平移
|? | 1

1

?

倍 ( ω > 0) ,便得 y =

?

?

个单位, 便得 y=sin(ω

x+ ? )的图象。
5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: ? 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五 点”中的第一零点(- ? ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准 ..
?

第一个零点的位置。 ? 6.对称轴与对称中心: (k? ,0) k ? Z ; ? y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? 2 ,对称中心为 ? y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? 2 ,0) ; ? 对于 y ? Asin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相

联系,对称轴与最值点联系。 ? 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角 函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正负 利用单调性三角函数大小一 般要化为同名函数,并且在同一单调区间; ? 8.求三角函数的周期的常用方法: ? 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形 式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
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9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 π 、π 、 3π 、2π 来求相应
2 2

的 x 值及对应的 y 值,再描点作图。 第十五讲 一、目标要求 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一 步体会向量方法的作用; 2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切 公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和 差、和差化积、半角公式,但不要求记忆) 。 二、知识精点讲解 1.两角和与差的三角函数
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

三角恒等变形及应用

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 tan ? tan ?

2.二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
tan 2? ? 2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

3.三角函数式的化简 常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名 化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。 (2)化简要求:①能 求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④ 尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式
sin ? cos ? ? 1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos 2 ? ? 。 2 2 2

(2)辅助角公式
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ?



其中sin ? ?

b a 2 ? b2

, cos ? ?

a a 2 ? b2



4.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角 与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的 三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角 的 三 角 函 数 值 , 解 题 的 关 键 在 于 “ 变 角 ”, 如 ? ?( ? ? ? ) ?2 ? , ? ?( ? ? ) ? ? (等,把所求角用含已知角的式子表 ? ? )? 示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所 求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 5.三角等式的证明 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征, 通过三角恒等变 换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同” ;

第十六讲 一、知识精点讲解

平面向量的概念及运算

1.向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有 向线段的起点与终点的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;
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坐标表示法 a ? xi ? y j ? ( x, y) 。向量的大小即向量的模(长度) ,记作 | AB | 即向量的大小,记作| a |。
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向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 ②零向量 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的,0 与任意向量平行 零
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向量 a = 0 ? | a |=0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任 何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非 零向量”这个条件。 (注意与 0 的区别) ③单位向量 模为 1 个单位长度的向量,向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1。 ④平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量。 任意一组平行向量都可以移到同一 直线上,方向相同或相反的向量,称为平行向量,记作 a ∥ b 。由于 向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一 直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点 可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的 “共线” 、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平
?

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?

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行”是不一样的。 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合, 记
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为 a ? b 。大小相等,方向相同 2.向量的运算 (1)向量加法

?

?

? x ? x2 。 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? 1 ? y1 ? y 2

求两个向量和的运算叫做向量的加法。 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。 规定: (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向 量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线, 而差向量是另一条对 角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点 指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和; 差向量是 从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首 尾连接时,用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
AB ? BC ? CD ?
? ? ? ? ?
?

。 ? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”

(2)向量的减法 ①相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向 量。 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量。 关于相反向量有: (i)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;(iii)若 a 、 b 是互为相反向量,
?
? ?

则 a =? b ,b = ? a , a +b =0 。 ②向量减法 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法。
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a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量 ③作图法: (a 、
? b 有共同起点) 。

?

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(3)实数与向量的积 ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向 规定如下:
? (Ⅰ) ?a ? ???a;

?

?

(Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的 方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 3.两个向量共线定理:
? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4.平面向量的基本定理 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的
? ?

任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使:a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中不共线的向 量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 5.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知,
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该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与数对(x,y)是一一 对应的, 因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标, 记作 a =(x,y), 其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。 规定: (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体 位置无关,只与其相对位置有关系。 (2)平面向量的坐标运算: ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 第十七讲 一、知识精点讲解 1.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 A 与 A, 作 OA = a , 则∠ AOA=Θ (0≤Θ≤Π) OB = b , 平面向量的数量积及应用

叫 a 与 b 的夹角; 说明: (1)当 Θ=0时, a 与 b 同向; (2)当 Θ=Π 时, a 与 b 反向; (3)当 Θ= 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥b ; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。
? 2

C

(2)数量积的概念
b =︱ a ︱· 已知两个非零向量 a 与 b , 它们的夹角为? , 则a · ︱b ︱

COS ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 。规定 0 ? a ? 0 ; (3)向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 。 ②乘法公式成立

?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2 2

2

?b ; ? 2a ? b ? b ;
2

2

2

③平面向量数量积的运算律 交换律成立: a ? b ? b ? a ; 对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ?b ? ? ? ? R ? ;

分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 。 ④向量的夹角:COS ? = cos ? a, b ??
a ?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2



当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时, Θ =00, 当且仅当 a 与 b 反 方向时Θ =1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 (5)两个向量的数量积的坐标运算
b = x1 x2 ? y1 y2 。 已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·

(6)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a · b = O ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,平面向量数量积的性质。 (7)平面内两点间的距离公式 设 a ? ( x, y) ,则 | a |2 ? x 2 ? y 2 或 | a |? x 2 ? y 2 。 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、
( x2 , y2 ) ,那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)。
?

?

?

?

向量中的结论: 1. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 问 a·b 的几何意义? 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的 乘积. 2.线段的定比分公式 ? 是实数,且 设P 1P 2 的分点 , 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P PP 1 ? ? PP 2 ,则

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 1 OP ? ? OP2 1? ? t? ). ? OP ? 1 ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2 ( y1 ? ? y2 1? ? 1? ? 1? ?

3.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ ABC 的重心的坐标是 G ( 4.点的平移公式
' ' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ?? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ' ? ? ?y ? y ? k ?y ? y ? k

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P' ( x' , y ' ) ,且 PP ' 的坐标为 ( h, k ) . 5.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C ' 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C , 若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的方 程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向 量 m= ( x, y ) 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 的 向 量 仍 然 为 m= ( x, y ) . 6 . 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点, 角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , 则 2 2 2 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .

第十八讲 一、知识精点讲解

正、余弦定理及应用

1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC

=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB= ,cosA=sinB= ,tanA= 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比 相等。
a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C
a c b c a b

(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2 = b2 + c2 - 2bccosA ; b2 = c2 + a2 - 2cacosB ; c2 = a2 + b2 - 2abcosC。 3.三角形的面积公式: (1)△= aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上 的高) ; (2)△= absinC= bcsinA= acsinB; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的 三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解 三角形. 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b -c < a,c-a > b; (3)边与角关系: 正弦定理 余弦定理 -2bccosA; c2 = a2+b2-2bccosC, b2 = a2+c2-2accosB, a2 = b2+c2
a b c ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin A sin B siC n

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

它们的变形形式有:a = 2R sinA, sin A ? a , cos A ?
sin B b

b2 ? c2 ? a2 2bc



5.三角形中的三角变换 (1)角的变换 因为在△ ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)= -cosC;tan(A+B)=-tanC。 sin
A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠ A,∠B,∠C 成等差数列 的充分必要条件是∠B=60°;△ ABC 是正三角形的充分必要条件是 ∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列。 6.面积定理
1 1 1 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 (3) S?OAB ? (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 . 2 S ? aha ? bhb ? ch( (1) b、 c 边上的高) . ha、hb、hc 分别表示 a、 c

第十九讲 一、知识精点讲解

数列概念及等差数列

1.数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ,在数列第一个位置 的项叫第 1 项(或首项) ,在第二个位置的叫第 2 项,??,序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作 an ; 数列的一般形式: a1 , a 2 , a3 ,??, an ,??,简记作 ?an ? 。 (2)通项公式的定义:如果数列 {an } 的第 n 项与 n 之间的关系 可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如,数列①的通项公式是 an = n ( n ? 7, n ? N ? ) ,数列②的通 项公式是 an =
1 ( n ? N? ) 。 n 说明:① ?an ? 表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an = f ? n ? 表示

数列的通项公式;② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,

??1, n ? 2k ? 1 an = (?1) n = ? (k ? Z ) ; ??1, n ? 2k

③不是每个数列都有通项公式。例

如,1,1.4,1.41,1.414,?? (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到 另一个数集的映射。从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集 N ? (或它的有限子集)的函数 f (n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对 应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ??, f (n) ,??.通常用 an 来代替 f ? n ? ,其图象是一群孤立点。 (4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和 无穷数列; ②按数列项与项之间的大小关系分: 单调数列 (递增数列、 递减数列) 、常数列和摆动数列。 (5)递推公式定义:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) , 且任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系可以用一个公式 来 表 示 , 那 么 这 个 公 式 就 叫 做 这 个 数列的递推公式。 2.等差数列 (1)等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一 项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。用递推公式 表示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 (2)等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ; 说明:等差数列(通常可称为 A P 数列)的单调性: d ? 0 为递增 数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列。 (3)等差中项的概念: 定义:如果 a , A ,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 其中 A ?
a?b 。 2 n( a ? a ) n(n ? 1) d。 (4) 等差数列的前 n 和的求和公式:Sn ? 1 n ? na1 ? 2 2 a?b 2

a , A , b 成等差数列 ? A ?

39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
? an ).

4.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

其前 n 项和公式为
sn ? n( a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? ( a1 ? d ) n . 2 2 2 2

5.等比数列的通项公式
an ? a1q n ?1 ? a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为
? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? 或 sn ? ? . sn ? ? 1 ? q ? 1? q ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 6.等比、差数列 ?an ?: an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为
?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; , q ? 1 ? q ?1 ?

其前 n 项和公式为
?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?

7.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ?
ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1

第二十讲 一、知识精点讲解 1.等比数列定义

等比数列

一般地,如果一个数列从第二项起 ,每一项与它的前一项的比等 .... 于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数 .. 列的公比;公比通常用字母 q 表示 (q ? 0) ,即: an ?1 : an ? q(q ? 0) 数列 对于数列(1) (2) (3)都是等比数列,它们的公比依次是 2,5,? 。 (注意: “从第二项起” 、 “常数” q 、等比数列的公比和项都不为零) 2.等比数列通项公式为: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 。 说明: (1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比 d ? 1 时该数 列既是等比数列也是等差数列; (2) 等比数列的通项公式知: 若 {an } 为 等比数列,则
am ? q m?n 。 an
1 2

3.等比中项 如果在 a与b 中间插入一个数 G ,使 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫 做 a与b 的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项) 。 4.等比数列前 n 项和公式 一 般 地 , 设 等 比 数 列 a1 , a2 , a3 , , an , 的 前 n 项 和 是
S n ? a1 ? a2 ? a3 ?
a1 (1 ? q n ) a ?a q 当 q ? 1 时,S n ? 或 Sn ? 1 n ; 当 q=1 ? an , 1? q 1? q

时, S n ? na1 (错位相减法) 。 说明: (1) a1 , q, n, S n 和 a1 , an , q, S n 各已知三个可求第四个; (2)注 n n ?1 意求和公式中是 q ,通项公式中是 q 不要混淆; (3)应用求和公式 时 q ? 1 ,必要时应讨论 q ? 1 的情况。

数列求和 一、知识精点讲解 1.数列求通项与和 (1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= ? (2)求通项常用方法
?sn ? sn?1 ?s1
n?2 。 n ?1

①构造新数列法。作等差数列与等比数列; ②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+?+(a2 -a1)+a1; ③归纳、猜想法。 (3)数列前 n 项和 ①重要公式:1+2+?+n= n(n+1); 12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1); 13+23+?+n3=(1+2+?+n)2= n2(n+1)2; ②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd; ③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn; ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和, 即 an=f(n+1)-f(n), 然后累 加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂 项 法 求 和 , 需 要 掌 握 一 些 常 见 的 裂 项 , 如 :
an ?
1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )、 = - n ?1 n(n ? 1) n ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

1 2

1 6

1 4



等。 ⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项 和,常用错项相消法。 an ? bn ? cn , 其中 ?bn ? 是等差数列, ?cn ? 是等比 数
q
n




?


c? n

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn
?1 n





?S ???? 1 2 b

,? b

n

1

c

n

b

c

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn。 数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法: an ? bn ? cn

第二十一讲 一、知识精点讲解

圆锥曲线方程及性质

1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的 点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭 圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF1 | ? | MF2 |? 2a 。 椭圆的标准方程为:
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) (焦点在 x 轴上)或 a 2 b2

y2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) (焦点在 y 轴上) 。 a2 b2 注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 c2 ? a2 ? b2 ; x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分 和 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 2 2 清焦点的位置,只要看 x 和 y 的分母的大小。例如椭圆 ? ? 1 m n ( m ? 0 ,n ? 0 ,m ? n ) 当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m? n 时

②在

表示焦点在 y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程
x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a ,| y |? b ,说明椭圆位于直 a 2 b2

线 x ? ?a , y ? ?b 所围成的矩形里; ②对称性: 在曲线方程里, 若以 ? y 代替 y 方程不变, 所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理, 以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的 对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 ( , )?b , 在椭圆的标准方程中, 令x ? 0, 得 y ? ?b , 则 B10 y 轴的交点坐标。 B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ?a ,即 A1 (?a, 0) ,

A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。

所以, 椭圆与坐标轴的交点有四个, 这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分 别为 2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2 |? b , | OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 , 即 c2 ? a2 ? c2 ; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ? 叫椭圆的离心率。∵
a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对

c a

应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近 于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合, 图形变为圆,方程为 x2 ? y 2 ? a2 。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲 线( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。 注意:①( * )式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F1F2 | 条件下; ; | PF2 | ? | PF1 |? 2a 时 | PF1 | ? | PF2 |? 2a 时为双曲线的一支(含 F2 的一支) 为双曲线的另一支(含 F1 的一支) ;②当 2a ?| F1F2 | 时,|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a 表示两条射线;③当 2a ?| F1F2 | 时, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形; ④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, | F1F2 | 叫做焦距。 椭圆和双曲线比较: 椭 定 义 方 程 圆 双 曲 线

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 b2 a 2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

焦 F (?c, 0) F (0, ?c) 点 注意:如何有方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质

F (?c, 0)

F (0, ?c)

x2 y2 ? ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围: a2 b2 双曲线在两条直线 x ? ?a 的外侧。即 x 2 ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直

①范围:从标准方程

线 x ? ?a 的外侧。
x2 y2 ? ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的, a2 b2 x2 y2 这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线 2 ? 2 ? 1 的对称中 a b

②对称性:双曲线

心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线
x2 y2 ? ? 1 的方程里,对称轴是 x, y 轴,所以令 y ? 0 得 x ? ?a ,因此双 a2 b2 x2 y2 曲线和 x 轴有两个交点 A (?a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线 2 ? 2 ? 1 的顶 a b

点。 令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。 1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有 四个顶点) ,双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双 曲线的实半轴长。 虚轴: 线段 B B2 叫做双曲线的虚轴, 它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角
x2 y2 线, 这两条直线即称为双曲线的渐近线。 从图上看, 双曲线 2 ? 2 ? 1 a b

的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。 ⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ?b; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近 线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。 亦即若题目中出现上述其 一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3 )注意到等轴双曲线的特征 a ? b ,则等轴双曲线可以设为: 2 x ? y 2 ? ? (? ? 0) ,当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上。 ⑥注意
x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 与 ? ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a , b 不同(互 16 9 9 16

换) c 相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。 3.抛物线

(1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 (2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种 不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式: y 2 ? ?2 px ,
x 2 ? 2 py , x 2 ? ?2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及

准线方程如下表:

标准 方程
l

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x 2 ? 2 py ( p ? 0) y
l

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

y
o

y F
o

l

F
o x

图形

x

F

x

焦点 坐标 准线 方程 范围 对称 性 顶点 离心 率

p ( , 0) 2

(?

p , 0) 2
p 2

p (0, ) 2

p (0, ? ) 2
y? p 2

x??

p 2

x?

y??

p 2

x?0

x?0

y?0

y?0

x轴
(0, 0)
e ?1

x轴
(0, 0)
e ?1

y轴
(0, 0)
e ?1

y轴
(0, 0)
e ?1

说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线, 一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3)注意强调 p 的几何意义: 是焦点到准线的距离。

平面解析几何结论扩充: 1.四种常用直线系方程 (1) 定 点 直 线 系 方 程 : 经 过 定 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( 除 直 线 x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 , 其中 A, B 是待定的系 数. (2) 共 点 直 线 系 方 程 : 经 过 两 直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 为 ( A1x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程: 直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时, 表示平行直线系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直 的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量. 2. 点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 3. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域
d? | Ax0 ? By0 ? C |

设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异 号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域 . 简言之,同号在右 , 异号在左. 4. ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1 A2 B1B2 ? 0 ) ,则 ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分. 5. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0).

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

(4) 圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的 端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ). 6. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是
( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 ,其中 ax ? by ? c ? 0 是直线

AB 的方程,λ 是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的

圆系方程是 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. C1 (3) 过 圆 : 与 圆 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ?( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数. 7.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是
D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?

个切点的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切 条件求 k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b , 再利用相切条件求 b, 必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 . ①过圆上的 P0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ; ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1? k 2 . 8.椭圆 9.椭圆
? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c

10.椭圆的的内外部

x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a b 2 x y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b

2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

*11. 椭圆的切线方程 (1) 椭 圆
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 一 点 P( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 是 a 2 b2

(2) 过椭圆 弦方程是
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点 a 2 b2

(3)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 A x ? B y? C?0 相 切 的 条 件 是 a 2 b2

A2 a 2 ? B2b2 ? c 2 .

x2 y 2 12.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c

13.双曲线的内外部
x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a b x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1 ) 若 双 曲 线 方 程 为
x2 y 2 b ? 2 ? 0 ? y ? ? x. 2 a b a x2 y2 ? ?1 ? 渐 近 线 方 程 : a2 b2

(2) 若 渐 近 线 方 程 为
x2 y2 ? ? ?. a2 b2

y??

x y b ? ?0 ? x ? a b a

双曲线可设为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?? 有 公 共 渐 近 线 , 可 设 为 a2 b2 a2 b2 ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).

(3) 若 双 曲 线 与

*14. 双曲线的切线方程

(1) 双曲线
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b2

(2)过双曲线 切点弦方程是
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的 a 2 b2

(3)双曲线
A2 a 2 ? B2b2 ? c 2 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 a 2 b2

15. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? 过焦点弦长 CD ? x1 ?
p . 2

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 y? 2 16.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( , y ? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x , y ) , 2p

其中 y2 ? 2 px .
b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 ); ); (1)顶点坐标为 (? , (2)焦点的坐标为 (? , 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y ? . 4a

*17. 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?

17.抛物线的内外部

18. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (2)过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程 是 y0 y ? p( x ? x0 ) . ( 3 ) 抛 物 线 y 2 ? 2 p x( p 与 直 线 A x? B y? C?0 相 切 的 条 件 是 ? 0) 2 . pB ? 2 AC 19.两个常见的曲线系方程 (1) 过 曲 线 f1 ( x, y ? ) , 0 f 2 ( x, y) ? 0 交 点 的 曲 线 系 方 程 是 f1 ( x, y) ? ? f2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
x2 y2 ? ?1 , 其 中 (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 2 a ? k b2 ? k 当 k ? max{a2 , b2 } . 当 k ? min{a2 , b2} 时 , 表 示 椭 圆 ;

min{a2 , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.

20..直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或
AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? (弦端点

A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由方程 ?

?y ? kx ? b ? ? 0 ,? 消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 , ?F( x, y) ? 0

为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 21.圆锥曲线的两类对称问题 ? 0 ( 1 ) 曲 线 F ( x, y) 关 于 点 P( x0 , y0 ) 成 中 心 对 称 的 曲 线 是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是
F (x ? 2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2

22.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x0 x 代 x2 , 用 y0 y 代 y 2 ,用
x ?x y ?y x0 y ? xy0 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0, 曲线的切线, 切点弦, 2 2 2

中点弦,弦中点方程均是此方程得到.


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