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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 5.5 数列的综合问题限时集训 理


限时集训(三十一)

数列的综合问题

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 等差数列{an}中,a3+a11=8,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6·b8 的值( A.2 C.8 B.4 D.16
2

/>)

2.设项数为 8 的等比数列的中间两项与 2x +7x+4=0 的两根相等,则数列的各项相 乘的积为( A.64 C.32 ) B.3 D.16

3.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}中连续的三项,则 数列{bn}的公比为( A. 2 C.2 ) B.4 1 D. 2
*

4.(2013·泉州模拟)满足 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N ),它的前 n 项和为 Sn,则 满足 Sn>1 025 的最小 n 值是( A.9 C.11 ) B.10 D.12
*

5. (2013·杭州模拟)正项等比数列{an}中, 存在两项 am, n(m, ∈N )使得 a n 1 5 且 a7=a6+2a5,则 + 的最小值是(

aman=4a1,

m n

) B.1+ 2 5 D. 3 5 3

A. C.

7 4 25 6

6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件) 近似地满足关系式 Sn= (21n-n -5)(n=1,2,?,12),按此预测,在本年度内,需求量 90 超过 1.5 万件的月份是( A.5、6 月 C.7、8 月 ) B.6、7 月 D.8、9 月

n

2

1

7.数列{an}的通项 an=n ?cos
2

? ?

2


3

-sin

2

nπ ?

,其前 n 项和为 Sn,则 S30 为( 3 ? ? B.490 D.510
*

)

A.470 C.495

8.(2013·株州模拟)在数列{an}中,对任意 n∈N ,都有 称{an}为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0; ②等差数列一定是等差比数列; ③等比数列一定是等差比数列;

an+2-an+1 =k(k 为常数),则 an+1-an

④通项公式为 an=a·b +c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是等差比数列. 其中正确的判断为( A.①② ) B.②③ C.③④ D.①④

n

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 a9+a10 9. 已知等比数列{an}中, 各项都是正数, a1, a3,2a2 成等差数列, 且 则 =________ 2 a7+a8 10.(2013·安庆模拟)设关于 x 的不等式 x -x<2nx(n∈N )的解集中整数的个数为 an, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 11.函数 y=x (x>0)的图象在点(ak,ak)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正 整数,a1=16,则 a1+a3+a5=________. 12.(2013·丽水模拟)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,且 a2 +a5=2am,则 m=______. 13.已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,b1=1,a2=b2,2a4 =b3,且存在常数 α ,β ,使得 an=logα bn+β 对每一个正整数 n 都成立,则 α =____. 14. 气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪, 已知这台观测仪从启用的第一天起连续 使用,第 n 天的维修保养费为
β 2 2 2 *

n+49
10

(n∈N )元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是

*

指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了________天. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15. 设同时满足条件: ①

bn+bn+2
2

≥bn+1; bn≤M(n∈N , 是常数)的无穷数列{bn}叫“嘉 ② M

*

文”数列.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

a

a-1

(an-1)(a 为常数,且 a≠0,a≠1).

?1? 2Sn (2)设 bn= +1,若数列{bn}为等比数列, a 的值,并证明数列? ?为“嘉文”数列. 求

an

?bn?

2

16.已知正项数列{an},{bn}满足:a1=3,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数 n, 都有 bn, an,bn+1 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; 1 1 1 bn+1 (2)设 Sn= + +?+ ,试比较 2Sn 与 2- 的大小.
2

a1 a2

an

an+1

3

17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x +2x 的图象上,且过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2knan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn;

2

(3)设 Q={x|x=kn,n∈N },R={x|x=2an,n∈N },等差数列{cn}的任一项 cn∈Q∩R, 其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式.

*

*





[限时集训(三十一)] 1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A 8.D 1 9.解析:∵a1, a3,2a2 成等差数列, 2 ∴a3=a1+2a2. 令等比数列{an}的公比为 q,则有

a1q2=a1+2a1q.
又数列{an}中的各项都是正数, ∴q =1+2q, 解之得 q=1+ 2(q=1- 2舍去), ∴
2

a9+a10 a1q8+a1q9 q2+q3 = = =3+2 2. a7+a8 a1q6+a1q7 1+q

4

答案:3+2 2 10.解析:由 x -x<2nx(n∈N ), 得 0<x<2n+1, 因此知 an=2n. 100? 故 S100= 答案:10 100 11. 解析: 依题意得, 函数 y=x (x>0)的图像在点( ak, k)处的切线方程是 y-ak=2ak(x a -ak). 1 1 1 令 y=0 得 x= ak,即 ak+1= ak,因此数列{ak}是以 16 为首项, 为公比的等比数列, 2 2 2
2 2 2 2 *

2+200? =10 100. 2

?1?k-1 5-k 所以 ak=16·? ? =2 , ?2?
a1+a3+a5=16+4+1=21.
答案:21 12.解析:设等比数列{an}的公比为 q,因为 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,所以 q≠1,此时 2S9=S3+S6 即为 2×

a1? 1-q9? a1? 1-q3? a1? 1-q6? = + , 1-q 1-q 1-q

1 3 1 1 3 3 6 解得 q =- (q =1 舍去),所以 a2+a5=a2+a2q = a2=2am,即 am= a2=a2q ,故 m=8. 2 2 4 答案:8 13.解析:设数列{an}的公差为 d(d≠0),数列{bn}的公比为 q,则由题意可得

?2+d=q, ? 2 ?2? 2+3d? =q ?d≠0, ?
∴an=2n,bn=4
n-1

,解得?

? ?d=2, ? ?q=4,



∴等式 an=logα bn+β 即为(log 4-2)n+ β -logα 4=0 对每一个正整数 n 都成立,
?logα 4-2=0, ? ∴? ? ?β -logα 4=0, ?α =2, ? 解得? ? ?β =2,

∴α =2 =4. 答案:4 14. 解析: 由第 n 天的维修保养费为

β

2

n+49
10

(n∈N )元, 可以得出观测仪的整个耗资费用,

*

由平均费用最少而求得最小值成立时的相应 n 的值.

5

3.2×10 + 由题意知使用 n 天的平均耗资为

4

?5+n+49?n ? 10 ? ? ?
2

n

3.2×10 = +

4

n

99 3.2×10 n + ,当且仅当 = 时取得最小值,此时 n=800. 20 20 n 20 答案:800 15.解:(1)因为 S1=

n

4

a

a-1

(a1-1)=a1,所以 a1=a.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

a an (an-an-1),整理得 =a,即数列{an}是以 a 为首项, a-1 an-1

a 为公比的等比数列.
所以 an=a· a (2)由(1)知, 2× ? an-1? a-1 bn= +1
n-1

=a .

n

a

an



?

3a-1? an-2a ,(*) ? a-1? an
2

由数列{bn}是等比数列,则 b2=b1·b3,故? 1 解得 a= , 3 1 n 再将 a= 代入(*)式得 bn=3 , 3 故数列{bn}为等比数列, 1 所以 a= . 3 1 1 n+ n+2 bn bn+2 3 3 由于 = > 2 2 + 2 1 1

?3a+2?2=3·3a +2a+2, ? a2 ? a ?

2

1 1 n· n+2 3 3 1 1 1 1 1 1 = n+1= ,满足条件①;由于 = n≤ ,故存在 M≥ 满足条件②.故数 2 3 bn+1 bn 3 3 3

?1? 列? ?为“嘉文”数列. ?bn?

16.解:(1)∵对任意正整数 n,都有 bn, an,bn+1 成等比数列,且数列{an},{bn}均为 正项数列, ∴an=bnbn+1(n∈N ).
6
*

由 a1=3,a2=6 得?

? ?a1=b1b2=3, ? ?a2=b2b3=6,

又{bn}为等差数列,即有 b1+b3=2b2,

3 2 解得 b1= 2,b2= , 2 ∴数列{bn}是首项为 2,公差为 ∴数列{bn}的通项公式为 2 的等差数列. 2

bn=

2?

n+1?
2

(n∈N ).
*

*

(2)由(1)得,对任意 n∈N ,

an=bnbn+1=
1 从而有 = =2?

?

n+1? ? n+2?
2 2 n+1? ? n+2?



an ?

? 1 - 1 ?, ? ?n+1 n+2?

??1 1? ? 1 - 1 ?? ∴Sn=2?? - ?+?+? ?? 2 3? ?? ?n+1 n+2??
=1- 2

n+2

. 4 . n+2

∴2Sn=2- 又 2-

b2+1 n+2 n =2- , an+1 n+3

∴2Sn-?2-

? ?

b2+1? n+2 n 4 n2-8 ?=n+3-n+2=? n+2? ? n+3? . an+1?

b2+1 n ∴当 n=1,n=2 时,2Sn<2- ; an+1 b2+1 n 当 n≥3 时,2Sn>2- . an+1
17.解:(1)∵点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x +2x 的图象上, ∴Sn=n +2n(n∈N ). 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1, 当 n=1 时,a1=S1=3 满足上式,所以数列{an}的通项公式为 an=2n+1. (2)由 f(x)=x +2x 求导可得 f′(x)=2x+2. ∵过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn, ∴kn=2n+2.
2 2 * 2

7

∴bn=2knan=4·(2n+1)·4 . ∴ Tn=4×3×4 +4×5×4 +4×7×4 +?+4×(2n+1)×4 .① 由①×4,得 4Tn=4×3×4 +4×5×4 +4×7×4 +?+4×(2n+1)×4 ①-②得 -3Tn=4[3×4+2×(4 +4 +?+4 )-(2n+1)×4 4? ? 4?3×4+2×
2 2 3 2 3 4 1 2 3

n

n

n+1

.②

n

n+1

]=

?

1-4 ? n+1 -(2n+1)×4 ?, ? 1-4 ?

n-1

6n+1 n+2 16 ∴Tn= ·4 - . 9 9 (3)∵Q={x|x=2n+2,n∈N },R={x|x=4n+2,n∈N },∴Q∩R=R. 又∵cn∈Q∩R,其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,∴c1=6.∵{cn}的公差是 4 的倍数,∴c10 =4m+6(m∈N ). 又∵110<c10<115,
?110<4m+6<115, ? ∴? * ? ?m∈N ,
* * *

解得 m=27.∴c10=114. 设等差数列的公差为 d, 则 d=

c10-c1 114-6
10-1 = 9

=12,

∴cn=6+(n-1)×12=12n-6. ∴{cn}的通项公式为 cn=12n-6.

8


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