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高一数学集合与命题单元测验(附答案)


高一数学单元测验(一)

2006.10.

(满分 100 分, 90 分钟完成) (本试卷允许使用计算器) 班级________姓名_______________学号________成绩________ 一、选择题:请选择你认为最正确的答案(每小题有且只有一个) ,写在括号内。 1、 全集 U={x∣|x|<3,x∈Z},A={0

,1,2},B={-1,2},则 A∩ C U B = ( (A) {1} (B) {0,1} (C) {2} (D) {0,1,2} ( ) )

2、 设集合 M={n∣ (A) Z

n n ∈Z},P={n∣ ∈Z},则 M∩P 等于 2 4
(C) P (D) ?

(B) M

3、 设 A,B,U 均为非空集合,且满足 A ? B ? U,则下列各式中错误的是( (A) C U A ∪B=U (C) A∩ C U B = ? (B) C U A ∪ C U B =U (D) C U A ∩ C U B = C U B ( (D) x≠100

)

4、 “x>5”的一个充分非必要条件是 (A) x>6 (B) x>3 (C) x<0

)

5、 原命题“若 A∪B=B,则 A∩B=A”与其逆命题、否命题、逆否命题总共 4 个命题 中,真命题的个数是 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 4 个 ( ) ( )

6、 设 A 、 B 是两个集合,对于 A ? B ,下列说法正确的是 (A) 存在 x0 ? B ,使 x0 ? A (C) x0 ? A 是 x0 ? B 的充分条件 (B) B ? A 一定不成立 (D) B 不可能为空集

7、 设 A 是 B 的必要不充分条件, B 是 C 的充要条件, C 是 D 的充分不必要条件, 则 D是 A的 (A) 充分不必要条件 (C) 既不充分又不必要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 不能确定 ( )

8、 已知集合 A={x∣x=4n,n∈Z},B={x∣x=4n+1,n∈Z},C={x∣x=4n-1,n∈Z}, 且 a∈A,b∈B,c∈C,若 d=a-b-c,则 (A) d∈A (B) d∈B (C) d∈C ( (D) d∈ C R ( A ? B ? C ) )

-1-

二、填空题:请在横线上方填写最终的、最完整的结果。 9、 满足{1,2,3}∪P={1,2,3,4}的集合 P 的个数是________。 10、 已知 x、y∈R,则“|x+y|=|x|+|y|”是“xy=0”的________________条件。 11、 已知 a、b、c 均为实数,则“a+b+c=0”是“关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根 为 1”的____________________条件。 12、 若集合 A={x∣2a+1≤x≤3a-5},B={x∣3≤x≤10},且 A ? A∩B,则 a 的取值范 围是______________________。 (用集合表示) 13、 设集合 M={x∣ax-1=0}, 集合 P={ x∣ 则 a=______________________。 14、 若 A={y∣y=|x|+2,x∈R},B={x∣|x|<3,x∈Z},则 A∩B=_______。 15、 已知集合 A={x∣|x-a|=1},集合 B={1,2,b},若 A ? B 成立,试列举出所有满 足条件的有序实数对(a,b):____________________________________________。 16、 定义两个集合 A 与 B 的差 A-B={x∣x∈A,x ? B},对称差 A△B=(A-B)∪(B-A), 若 A={(x,y)∣y=x+3},B={(x,y)∣

1 1 ? x ? }, S={a∣a 使得 M ? P, a∈N}, 4 2

y?4 ? 1 },则 A△B=_______________。 x ?1

三、解答题:请在题后空处写出必要的解题过程。 17、 设全集 U={x∣x<10,x∈N}, C U A ∩B={3,9}, C U A ∩ C U B ={6,8},A∩B={2, 4},求集合 A 与 B。

-2-

18、 已知集合 A={x∣-2<x<3},B={y∣y=2x-1,x∈A},C={t∣t=3-y,y∈B}, 求 A∪C,B∩C。

19、 对于集合 N={1, 2, 3,?, n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下: 按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如 集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是 9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和为 5。当集合 N 中 的 n=2 时,集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的每一个非空子 集的“交替和”的总和 S2=1+2+(2–1)=4。 (1) 尝试对 n=3、n=4 的情况,计算 N 的每一个非空子集的“交替和”的总和 S3、 S4; (2) 根据(1)中结果猜测集合 N={1, 2, 3,?, n}的每一个非空子集的“交替和” 的总和 Sn。(不必给出证明)

-3-

20、 已知元素为实数的集合 S 满足下列条件:①1、0 ? S ;②若 a ? S ,则 (1)若 ?2, ?2? ? S ,求使元素个数最少的集合 S;

1 ?S 。 1? a

(2)若非空集合 S 为有限集,则你对集合 S 的元素个数有何猜测?并请证明你的猜 测正确。

21、 已知集合 A={x∣x2-mx+4m-16=0},B={x∣1<x<4,x∈N},C={x∣ax+2>0}, 若 A∩B 非空;且 A∩C= ? ,求 m 的值以及相应 a 的取值范围。

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高一数学单元测验(一)

2006.10.

(满分 100 分, 90 分钟完成) (本试卷允许使用计算器) 班级________姓名_______________学号________成绩________ 一、选择题:请选择你认为最正确的答案(每小题有且只有一个) ,写在括号内。 1、 全集 U={x∣|x|<3,x∈Z},A={0,1,2},B={-1,2},则 A∩ C U B = ( (A) {1} (B) {0,1} (C) {2} (D) {0,1,2} ( C ) B )

2、 设集合 M={n∣ (A) Z

n n ∈Z},P={n∣ ∈Z},则 M∩P 等于 2 4
(C) P (D) ?

(B) M

3、 设 A,B,U 均为非空集合,且满足 A ? B ? U,则下列各式中错误的是( (A) C U A ∪B=U (C) A∩ C U B = ? (B) C U A ∪ C U B =U (D) C U A ∩ C U B = C U B ( (D) x≠100

B

)

4、 “x>5”的一个充分非必要条件是 (A) x>6 (B) x>3 (C) x<0

A

)

5、 原命题“若 A∪B=B,则 A∩B=A”与其逆命题、否命题、逆否命题总共 4 个命题 中,真命题的个数是 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 4 个 ( C ) ( D )

6、 设 A 、 B 是两个集合,对于 A ? B ,下列说法正确的是 (A) 存在 x0 ? B ,使 x0 ? A (C) x0 ? A 是 x0 ? B 的充分条件 (B) B ? A 一定不成立 (D) B 不可能为空集

7、 设 A 是 B 的必要不充分条件, B 是 C 的充要条件, C 是 D 的充分不必要条件, 则 D是 A的 (A) 充分不必要条件 (C) 既不充分又不必要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 不能确定 ( D )

8、 已知集合 A={x∣x=4n,n∈Z},B={x∣x=4n+1,n∈Z},C={x∣x=4n-1,n∈Z}, 且 a∈A,b∈B,c∈C,若 d=a-b-c,则 (A) d∈A (B) d∈B (C) d∈C ( (D) d∈ C R ( A ? B ? C ) A )

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二、填空题:请在横线上方填写最终的、最完整的结果。 9、 满足{1,2,3}∪P={1,2,3,4}的集合 P 的个数是___8_____。 10、 已知 x、y∈R,则“|x+y|=|x|+|y|”是“xy=0”的___必要不充分__________条件。 11、 已知 a、b、c 均为实数,则“a+b+c=0”是“关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根 为 1”的______充要______________条件。 12、 若集合 A={x∣2a+1≤x≤3a-5},B={x∣3≤x≤10},且 A ? A∩B,则 a 的取值范 围是______{a|a<6}________________。 (用集合表示) 13、 设集合 M={x∣ax-1=0}, 集合 P={ x∣

1 1 ? x ? }, S={a∣a 使得 M ? P, a∈N}, 4 2

则 a=________0 或 3______________。 14、 若 A={y∣y=|x|+2,x∈R},B={x∣|x|<3,x∈Z},则 A∩B=___{2}____。 15、 已知集合 A={x∣|x-a|=1},集合 B={1,2,b},若 A ? B 成立,试列举出所有满 足条件的有序实数对(a,b):___(0,-1)、(2,3)、(1,0)、(3,4) ____________。 16、 定义两个集合 A 与 B 的差 A-B={x∣x∈A,x ? B},对称差 A△B=(A-B)∪(B-A), 若 A={(x,y)∣y=x+3},B={(x,y)∣

y?4 ? 1 },则 A△B=_____{(1,4)}_______。 x ?1

三、解答题:请在题后空处写出必要的解题过程。 17、 设全集 U={x∣x<10,x∈N}, C U A ∩B={3,9}, C U A ∩ C U B ={6,8},A∩B={2, 4},求集合 A 与 B。 解:B = ( C U A ∩B)∪(A∩B)={2,3,4,9}, C U A = ( C U A ∩ C U B )∪( C U A ∩B)={3,6,8,9}, A= {0,1,2,4,5,7}。 注:学生可能通过画文氏图解决。

18、 已知集合 A={x∣-2<x<3},B={y∣y=2x-1,x∈A},C={t∣t=3-y,y∈B}, 求 A∪C,B∩C。 解:A={x∣-2< x <3},B={y∣-5< y <5},C={t∣-2< t <8}; 所以 A∪C = {x∣-2< x <8};B∩C ={x∣-2< x <5}。

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19、 对于集合 N={1, 2, 3,?, n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下: 按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如 集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是 9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和为 5。当集合 N 中 的 n=2 时,集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的每一个非空子 集的“交替和”的总和 S2=1+2+(2–1)=4。 (1) 试对 n=3、n=4 的情况,计算 N 的每一个非空子集的“交替和”的总和 S3、 S4; (2) 据(1)中结果猜测集合 N={1, 2, 3,?, n}的每一个非空子集的“交替和”的 总和 Sn。(不必给出证明) (1) 解:n=3 时,N={1,2,3},所以 N 有 7 个非空子集:{1};{2};{3};{1,2};{1,3}; {2,3};{1,2,3},他们的“交替和”分别为 1,2,3,1,2,1,2;所以 S3 =12; 同样可得 S4 = 32; (2) Sn = n .2n–1。

20、 已知元素为实数的集合 S 满足下列条件:①1、0 ? S ;②若 a ? S ,则 (1)若 ?2, ?2? ? S ,求使元素个数最少的集合 S;

1 ?S 。 1? a

(2)若非空集合 S 为有限集,则你对集合 S 的元素个数有何猜测?并请证明你的猜 测正确。

1 1 1 1 ? ?1? S ? ? ?S ? ? 2? S ; 1 1? 2 1 ? ? ?1? 2 1? 2 1 1 1 3 1 ?2 ? S ? ? ?S ? ? ?S ? ? ?2 ? S 1 2 3 1 ? ? ?2 ? 3 1? 1? 3 2 1 1 3? ? ? 使 ?2, ?2? ? S 的元素个数最少的集合 S 为 ?2, ?1, , ?2, , ? 2 3 2? ? ? 2 ? 非空有限集 S 的元素个数是 3 的倍数,证明如下: 设 a ? S , 则 a ? 0,1 且
解 ?1? 2 ? S ?

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1 1 a ?1 1 ?S ? ? ?S ? ? a?S ?*? 1 a ?1 1? a a 1? 1? 1? a a 1 ? a 2 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1? ,但 a2 ? a ? 1 ? 0 无实数根 由于 a ? 1? a 1 1 a ?1 a ?1 ? , ?a 故 a? 同理 1? a 1? a a a 1 a ? 1? ? ? ?a, , ?? S ? 1? a a ? 1 a ? 1? ? 若存在 b ? S ,而 b ? ?a, , ? ,则 ? 1? a a ? 1 a ? 1? ? 1 b ? 1? 1 b ? 1? ? ? , , , ? ? ?b, ??? ?b, ? ? S 且 ?a, ? 1? a a ? ? 1? b b ? ? 1? b b ? 1 b ? 1? 1 a ? 1? ? ? ( 若 ?b, , , ? 中 有 元 素 ? ? a, ? , 则 利 用 前 述 的 ?*? 式 可 知 ? 1? b b ? ? 1? a a ? 1 a ?1 1 b ? 1? 1 a ? 1? ? ? b ? ? a, , , , b, , ??S ? )于是 ?a, 1? b b ? ? 1? a a ? 1? a a ? 上述推理还可继续,由于 S 为有限集,故上述推理有限步可中止 ? S 的元素个数为 3 的倍数。 a?S ?

21、 已知集合 A={x∣x2-mx+4m-16=0},B={x∣1<x<4,x∈N},C={x∣ax+2>0}, 若 A∩B 非空;且 A∩C= ? ,求 m 的值以及相应 a 的取值范围。 解:易知 4∈A;则 A ={4,m-4},A∩B 非空,则 m-4∈B; 而 B={2,3},所以 m= 6 或 7。 当 m=6 时,A∩C= ? ,所以 2, 4 ? C 即 2a+2≤0 且 4a+2≤0,得 a≤-1; 当 m=7 时,A∩C= ? ,所以 3, 4 ? C 即 3a+2≤0 且 4a+2≤0,得 a≤ ?

2 。 3

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