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浙江省温州十校联合体2013届高三上学期期中考试数学(理)试题


温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学(理)试题
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. 设全集 U ? R , 且 A ? { x || x ? 1 |? 2} , B ? { x | x ? 6 x ? 8 ? 0} ,则 ( C U A ) ? B =( )
2

A. [ ? 1, 4 )

B. ( 2, 3)

C. ( 2 , 3]

D. ( ? 1, 4)

2.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) A. y ? x ? 1 B. y ? ? x ) B.若 | a |? b 则 a ? b
2 2 2

2

C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

3.下列命题中的真命题是( C.若 a ? b 则 a ? b
2 2

A.若 a ? b , c ? d ,则 a c ? b d

D.若 a ? | b | 则 a ? b
2

4. 已知直线 l∥平面 α ,P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线( ) A.只有一条,不在平面 α 内 C. 只有一条,且在平面 α 内
2 x? y?0

B.有无数条,不一定在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内
?x

5.已知正数 x 、 y 满足 { x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则 z ? 4 A.1 B.
1 4
2

1 y ? ( ) 的最小值为( 2



C.

1 16

D.

1 32

6. “ a ? ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? a x ? 2 x ? 1 只有一个零点”的( ) A.充分必要条件 C.必要不充分条件 7.已知 a1 ,
a2 , a3 , ..., an a n ?1

B.充分不必要条件 D.非充分必要条件
, ... 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则数列{ an}的第 100 项等于(



a1 a 2

A.25050

B.24950

C.2100
??? ? ? ? ???

D. 299
?

8.如图,在等腰直角 ? ABO 中,设 O A ? a , O B ? b , O A ? O B ? 1, C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C

作 AB 的垂线 L ,设 P 为垂线上任一点, O P ? p , 则 p ? ( b ? a ) ? ( ) A. ?
1 2

??? ?

?

?

?

?

B.

1 2

C. ?

3 2

D .

3 2

9. 巳知函数 f ( x ) ? cos x ( x ? (0, 2 ? )) 有两个不同的零点 x1、 x 2 , 方程 f ( x ) ? m 有两个不同的实根 x 3、 x 4 .
第 1 页 共 8 页

若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为 ( ) A. ?
1 2

B.

1 2

C.

3 2

D .?

3 2

1 ? ?x ? ,x ? 0 2 10.已知函数 f ( x ) ? ? ,则方程 f ( 2 x ? x ) ? a ( a ? 2 )的根的个数不可能为( x ? x 3 ? 3, x ? 0 ?



A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.已知
2 ? 3i i ? a ? b i ( a , b ? R , i 为虚数单位) ,则 a b =

▲ .

12.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲、 乙两位同学不参加同一个兴趣小组的概率为
? ? ? ? ?

▲ .
??

13.已知向量 a ? ( 2,1), a ?b ? 1 0, | a ? b | ? 5 2 , 则 | b |=

▲ .
2

14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点为 F 的抛物线 y =2x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离为 15,则线 段 PF 的长为 ▲ .

15.数列 ? a n ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则
a1C 1 0 0 ? a 2 C 1 0 0 ? a 3 C 1 0 0 ? a 4 C 1 0 0 ? ........ ? a1 0 0 C 1 0 0 ? a1 0 1C 1 0 0 ?
0 1 2 3 99 100

▲ .

16.已知直线 x ? a (0 ? a ?
| M N |? 1 5

?
2

) 与函数 f ( x ) ? sin x 和函数 g ( x ) ? c o s x 的图象分别交于 M , N 两点,若

,则线段 M N 的中点纵坐标为

▲ .

17.我们把具有以下性质的函数 f ( x) 称为“好函数”:对于在 f ( x) 定义域内的任意三个数 a, b, c ,若 这三个数能作为三角形的三边长,则 f (a ), f (b), f (c) 也能作为三角形的三边长.现有如下一些函数:

① f ( x) ?

x

② f ( x) ? 1 ? x, x ? (0, )
2

1

③ f ( x) ? e , x ? (0,1)
x

④ f ( x) ? sin x , x ? (0, ? ) . ▲

其中是“好函数”的序号有

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18.(本小题满分 14 分)已知锐角 ? A B C 中的内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,定义向量
? ? 2 B ? 1) m ? ( 2 sin B , ? 3 ) , n ? (co s 2 B , 2 co s 2

且 m / /n .

?

?

第 2 页 共 8 页

(1)求函数 f ( x ) ? sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B 的单调递增区间; (2)如果 b ? 2 ,求 ? A B C 的面积的最大值。 19. 本小题满分 15 分) ( 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2 S n ? a n ? 1 ? 2 等差数列. (1)求 a 1 的值; (2)若数列 ? b n ? 满足 b n ? a n ? 2 ,求证数列 ? b n ? 是等比数列。
n n ?1

? 1, ( n ? N *) 且 a1 , a 2 ? 5, a 3 成

(3) 求满足 a n ?

4 5

? 3 的最小正整数 n .
n

20.(本小题满分 14 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别是 AC,AB 上的中点, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,作 A1F⊥CD,垂足为 F,如图 2. (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)若∠A=45°,AC=2,在线段 CD 上是否存在点 F,使得二面角 A1-BE-F 为 45°。若存在,则指出点 F 的位置,若不存在,请说明理由。

21. 本小题满分 14 分) ( 若椭圆 C 1 : 的焦点在椭圆的顶点上。 (1)求抛物线 C 2 的方程;

x

2

?

y b

2 2

? 1(0 ? b ? 2 ) 的离心率等于

3 2

4

, 抛物线 C 2 : x ? 2 py ( p ? 0)
2

(2)过 M ( ? 1, 0) 的直线 l 与抛物线 C 2 交 P , Q 两点,又过 P , Q 作抛物线 C 2 的切线 l1 , l 2 ,当 l1 ? l 2 时,求 直线 l 的方程.

22.(本小题满分 15 分)设函数 f ( x ) ? ln x ? a x ?

1? a x

?1.

第 3 页 共 8 页

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 a ?
1 3

时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
2

(3)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g ( x ) ? x ? 2 b x ? 成立,求实数 b 的取值范围.

5 12

,若对于 ? x1 ? ?1, 2 ? ,? x 2 ? ? 0,1 ? ,使 f ( x1 ) ? g ( x 2 )

第 4 页 共 8 页

2012 学年第一学期十校联合体高三期中联考

又? B 为锐角 故 2 B ? (0, ? )
? 2B ? 2? 3
f

?B ?

?
3

? x ? ? sin 2 x co s B ? co s 2 x sin B
?
2 ? 2x ?

? ? ? ? sin ? 2 x ? ? 3 ? ?

…………………5 分

2k? ?

?
3

? 2k? ?

?
2

∴函数的单调递增区间是 [ k ? ?

?
12

, k? ?

5? 12

].

…………………7 分

? 2 a1 ? a 2 ? 3 ? 19.解:(1)由 ? 2 ? a 1 ? a 2 ? ? a 3 ? 7 ,解得 a 1 ? 1 . ? ? 2 ? a 2 ? 5 ? ? a1 ? a 3

…………4 分

第 5 页 共 8 页

bn ?1 bn

? 3 ,所以数列 ? b n ? 是一个以 3 为首项,公比为 3 的等比数列. …………9 分

(3)由(2)知 b n ? 3 ,即 a n ? 2 ? 3
n n

n

所以数列 ? a n ? 的通项公式是 a n ? 3 n ? 2 n .
an 3
n n n

…………11 分

4 1 ?2? ?2? ? 1 ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,所以 n ? 4 ,所以 n 的最小正整数为 4. ………15 分 5 5 ?3? ?3?

21.解:(1)由椭圆方程得 a ? 2 , e ?

c a

?

3 2

,所以 c ?

3 ,b ?

a ?c
2

2

? 1 …2 分

由题意得:抛物线的焦点应为椭圆的上顶点,即 (0,1) 所以 p ? 2 抛物线方程为 x ? 4 y
2

………………5 分

第 6 页 共 8 页

(2) 可判断直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 设 P 、 Q 坐标为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) 联立 ? y ? k ( x ? 1)
? ? x ? 4y
2

整理得

x ? 4 k x? 4 k ? 0
2

22 .解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) , f ( x ) ?
'

1 x

?a?

1? a x
2

…………2 分
? 1f (1) ? ? 2, f ( x ) ?
'



1





a ?1





f(

?) x

l ? xn

?x ,

1 x

? 1,? f (1) ? 0
'

∴ f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? 2

…………5 分

的最小值为 f (1) ? ?

2 3

…………9 分

若对于 ? x1 ? [1, 2], ? x 2 ? [0,1] 使 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立 ? g ( x ) 在 [0,1] 上的最小值不大于 f ( x ) 在[1, 2]上的 最小值 ?
2 3

(*)

…………10 分

1 2

? b ?1
第 7 页 共 8 页

第 8 页 共 8 页


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