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2014-2015年高三理科数学测试题(2)


2014-2015 学年度第二学期高三理科数学测试题(2)
一、选择题: 1.设集合 A ? {x | x ? 2} ,若 m ? ln e ( e 为自然对数底) ,则(
e

A. ? ? A

B. m ? A

C. m ? A

2. 我们把复数 a ? bi 叫做复数

z ? a ? bi ?a, b ? R? 的共轭复数,记作 z , 若 i 是 虚数单位, z ? 1 ? i , z 为复数 z 的共轭复数,则 z ? z ? z ?1 ? ( A. 2 ? 1 B. 2 ? 3 C. 2 2 ?1 D. 2 2 ? 1 ) )

D. A ? x x ? m

?

?

)

3. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( A. ?4 B
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?6

C

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?8

D

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?10

4、 b, 对任意非零实数a, 若 的值等于( A、 ) B、

的运算法则如右图的框图所示, 则

1 4

5 2

C、

1 2

D、

9 4

5. 给出下列命题,其中错误命题的个数为( ) (1)直线 a 与平面 ? 不平行,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 A. 1 B 2 C 3 D 4 6、若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于
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A、30

B、12

C、24

D、4

7、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 所对的边,若函数

f ( x) ?
A. (0,

?
3

1 3 x ? bx 2 ? (a 2 ? c 2 ? ac) x ? 1 有极值点,则 ?B 的范围是( 3 )
B。 (0,



?

3

]

C。 [

?

3

,? ]

D。 (

?

3

,? )

8、在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序” , 类似的,我们在平 面向量集 下:对于任意两个向量 “ ①若 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“>>”.定义如 当且仅当“ ”或

”.按上述定义的关系“>>” ,给出如下四个命题: ;

②若 ③若 ,则对于任意

; ; .

④对于任意向量 其中正确命题的个数为 A、1个 B、2个 C、3个 二、填空题: (一)必做题(9~13题) D、4个

9、已知等比数列{ an }的公比为正数,且 a3 a9 ? 2a52 , a2 ? 1 ,则 a1 =___ 10. 不等式 x ? 1 ? x 的解集是______________.
11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其

用电量都在 50 到 350 度之间,频率 分布直方图所示.在这些用户中,用电量落在区间

?100, 250? 内的户数为_____________.
12、二项式 ( x ? y)5 的展开式中,含 x 2 y 3 的项的系数是 ____(用数字作答) 13.下列关于向量 a,

b,

c 的命题中,正确的有
(2) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (5) 若 a ? b ? 0 ,则 a,

。 (3) a ? b ? a ? b

(1) a ? b ? b ? c ? a ? c (4)

a?b

2

? a?b

? ?

2

b 中至少一个为 0

(6)若 a // b , b // c ,则 a // c

(7) 若 a ? b , b ? c ,则 a ? c

(8)若 a 与 b 共线,则存在一个实数 ? ,使得 b ? ? a 成立 (9)与向量 a 平行的单位向量有两个 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? , ? ? 0 ,

? ? [0,2? ] ,则圆 C 的圆心的极坐标为___________.

15. (几何证明选讲选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交 于点 F,E 是 AB 延长线一点,且 DF=CF= 2 ,AF:FB:BE=4:2: 1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为___

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 ( x ? R, A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 的一个最低点为 M(

?
2

)的周期开为 ? ,且图象上

2? ,-1) 。 3

(1)求 f(x)的解析式; (2)已知 f ( ) ?

?

2

1 , ? ? [0, ? ] ,求 cos ? 的值。 3

17、(本小题满分 12 分)盒中有大小相同的编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 只小球,规定:从盒中一次 摸出两只球,如果这两只球的编号均能被 3 整除,则获得一等奖,奖金 10 元,如果这两只球的 编号均为偶数,则获得二等奖,奖金 2 元,其他情况均不获奖。 (1)若某人参加摸球游戏一次获奖金 x 元,求 x 的分布列与期望; (2)若某人摸一次且获奖,求他获得一等奖的概率。

18、 (本小题满分 14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,已知平面 PBC ? 平面 ABC , AB 是底面△ ABC 最长的边.三棱 锥 P ? ABC 的三视图如图 5 所示,其中侧视图和俯视图均为直角三角形. (1)请在图 6 中,用斜二测画法,把三棱锥 P ? ABC 的直观图补充完整(其中点 P 在

xOz 平面内) ,并指出三棱锥 P ? ABC 的哪些面是直角三角形;
(2)求二面角 B ? PA ? C 的正切值; (3)求点 C 到面 PAB 的距离. z P y

2 3

正视图

4 侧视图
O 图6 x

2

2
俯视图 图5

19、 (本小题满分 14 分) 已知首项大于 0 的等差数列 ?an } 的公差 d ? 1 ,且 (1)求数列 ?an } 的通项公式; (2)若数列 ?bn } 满足: b1 ? ?1 , b2 ? ? , bn ?1 ? ①求数列 ?bn } 的通项 bn ;

1 1 2 ? ? . a1a2 a2 a3 3

1? n (?1)n?1 ,其中 n ? 2 . bn ? n an

②是否存在实数 ? ,使得数列 {bn } 为等比数列?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明 理由.

20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过左焦点倾斜角为 45 ? 的直线被椭 2 a b 2

圆截得的弦长为

4 2 . 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点,过点 M ?1, 0? 作 l 的垂线垂足为 Q ,求点 Q 的轨迹方程.

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? log2 [(x 2 ? x ? k ) 2 ? ( x 2 ? x ? k ) ? 2] (1)求函数 f ( x) 的定义域 D (用区间表示) , (2)当 k ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间。

k ? R,

2014-2015 学年度第二学期高三理科数学测试题(2)答案 1-4:CABB 5-8:CCDC

9.

2 . 2

10、 ? x x ?

? ?

1? ? 2?

11、70.

12.10.

13、 (4)

14、 ? 2 ,

? ?

??
? 2?

15.

7 . 2

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 的周期为 ? , 则有 T ?

2?

?

? ? , 得? ? 2 .

???1 分

所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 1 ,因为函数图像有一个最低点 M ( 所以 A ? 2 , 且 sin(2 ? 则有 2 ?

2? 3? ?? ? ? 2 k? 3 2

2? ? ? ) ? ?1 , 3

2? , ?1) , A ? 0 , 3

????????3 分 , ??????????? 4 分

(k ? Z )

解得 ? ?

?

6

? 2 k?

(k ? Z ) , 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

.

???5 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1,

x?R .

??????????? 6 分 ???7 分

? 1 ? 1 ? 1 (2)由f ( ) ? , 得2 sin(? ? ) ? 1 ? , 得 sin(? ? ) ? ? . 2 3 6 3 6 3
0 ?? ?? , ?

?
6

?? ?

?

7 ? ? ? 又 sin(? ? ) ? 0 6 6 6 , ,
???9 分

? ? 2 2 . ? cos(? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? ? 6 6 3
? cos ? ? [cos(? ?
=

) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin ???11 分 6 6 6 6 6 6 2 2 3 1 1 1? 2 6 ? ? ? ? ?? . ???12 分 3 2 3 2 6
……………….1 分 ……………….2 分

?

?

?

?

?

?

17. 解(1): x 的可能值为 0、2、10.

P(x ? 2) ?

C32 3 ? 2 C6 15

2 C2 1 P(x ? 10) ? 2 ? C6 15

……………….3 分

P(x ? 0) ? 1 ? P( x ? 2) ? P( x ? 10) ?

11 15

……………….4 分

x 的分布列为 x 0 11 P(x) 15

2

10

3 15

1 15

……………….6 分

Ex ? 0 ?

11 3 1 16 ? 2 ? ? 10 ? ? . 15 15 15 15

……………….8 分

(2)设摸一次得一等奖的事件为 A,摸一次得二等奖的事件为 B.
2 C2 1 则 P(A) ? 2 ? C6 15

C32 3 P(B) ? 2 ? C6 15

……………….9 分

某人摸一次且获奖为事件 A+B,有因为 A,B 互斥,所以 P(A ? B) ?

1 3 4 ? ? 15 15 15

……………….10 分

P(A) 1 4 1 P(A A ? B) ? ? ? ? P(A ? B) 15 15 4 18、解: (1)三棱锥 P ? ABC 直观图如图 1 所示; z 由三视图知 ?ABC 和 ?PCA 是直角三角形. (2) (法一) :如图 2,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H , 由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

……………….12 分

????????3 分 P y

BC ? 4 , PH ? 2 3 , ? PB ? PC ? BC ? 4 , 取 PC 的中点 E ,过 E 作 EF ? PA 且交 PA
于点 F ,连接 BE , BF , 因为 BE ? PC ,由三视图知 AC ? 面 PBC , 且 BE ? 面 PBC ,所以 AC ? BE , 又由 AC PC ? C ,所以 BE ? 面 PAC , 由 PA ? 面 PAC ,所以 BE ? PA , BE EF ? E ,所以 PA ? 面 BEF , 由 BF ? 面 BEF ,所以 PA ? BF , 所以 ?BFE 是二面角 B ? PA ? C 的平面角.???6 分 A O(B) z P F E A O(B) H 图2 C x y C x

图1

?PEF ~ ?PAC ,?

PE EF ? , PA AC

PE ? 2, AC ? 4, PA ? 4 2 ,? EF ? 2 , ??????????????8 分

? 在直角 ?CFE 中,有 tan ?BFE ?

BE ? 6. EF
???????????????9 分

所以,二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .

(法二) :如图 3,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H ,由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

BC ? 4 , PH ? 2 3 ,
由图 3 所示的坐标系,及三视图中的数据得:

z P y

B(0, 0, 0) , C (4, 0, 0) , P(2,0, 2 3) , A(4, 4, 0) ,

A O(B) H C x

则 BA ? (4, 4,0) , BP ? (2,0, 2 3) , CA ? (0, 4,0) ,

CP ? (?2,0, 2 3) ,
设平面 PAB 、平面 PAC 的法向量分别为 m 、 n . 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 m ? BA ? 0 , m ? BP ? 0 ,得 ?

? ?4 x1 ? 4 y1 ? 0 , ? ?2 x1 ? 2 3 z1 ? 0
???????6 分

令 z1 ? 1, 得 x1 ? ? 3 , y1 ? 3 ,即 m ? (? 3, 3,1) . 设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 n ? CA ? 0 , n ? PA ? 0 ,得 ?

? ? 4 y2 ? 0 , ? ??2 x2 ? 2 3 z2 ? 0
?????????7 分

令 z2 ? 1 , 得 x2 ? 3 , y2 ? 0 ,即 n ? ( 3,0,1) .

? cos ? m, n ??

m?n ?2 7 , tan ? m, n ?? ? 6 .???????8 分 ? ?? m n 2 7 7

而二面角 B ? PA ? C 的大小为锐角,所以二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .?9 分 (3)(法一) :记 C 到面 PAB 的距离为 h ,由(1) 、 (2)知 PA ? AB ? 4 2, PB ? 4 ,

1 4 7 h, ? S?PAB ? 4 7 , VC ? PAB ? S?PAB ? h ? 3 3
三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?

????????????12 分

1 16 3 S?ABC ? PH ? , 3 3

????????13 分

由 VP? ABC ? VC ? PAB ,可得: h ?

4 21 . 7

???????????????14 分

(法二) :由(2)知,平面 PAB 的法向量 m ? (? 3, 3,1) , CA ? (0, 4,0) 记 C 到面 PAB 的距离为 h ,

?h ?

4 21 4 3 m ? CA ? ? . m 7 7

??????????????????14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,三视图及几何体的直观图,二面角,三棱 锥的体积,空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量 方法解决数学问题的能力.

19、解: (1) (法一) : 数列 ?an } 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 1 ,

? an ? a1 ? (n ?1) ,

1 1 1 , ???????????????2 分 ? ? an an ?1 an an ?1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ? , ?????3 分 ? ? ? ( ? )?( ? ) ? ? ? ? a1 a3 a1 a1 ? 2 3 a1a2 a2 a3 a1 a2 a2 a3
整理得 a12 ? 2a1 ? 3 ? 0 解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?3 (舍去) . 因此,数列 ?an } 的通项 an ? n . (法二) :由题意得 ???????????4 分 ???????????????5 分 ?????????????1 分 ???????????2 分

数列 ?an } 是等差数列,? a1 ? a3 ? 2a2 ,

a ?a 1 1 2 ? ? 1 3? , a1a2 a2 a3 a1a2 a3 3

?


2 a2 2 ? ,即 a1a3 ? 3 . a1a2 a3 3

?????????????????????3 分

因此,数列 ?an } 的通项 an ? n . (2)①

. ??4 分 a1 ? 0, d ? 1 ,? a1 (a1 ? 2) ? 3 ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?3 (舍去) ???????????????5 分 ???6 分

nbn ?1 (n ? 1)bn 1? n (?1)n ?1 bn ? , ? ? ?1. n ?1 n n (?1) (?1) n (n ? 1)bn 令 cn ? ,则有 c2 ? ? , cn?1 ? cn ? 1 (n ? 2) . (?1) n bn ?1 ?
? 当 n ? 2 时, cn ? c2 ? (n ? 2) ? n ? 2 ? ? , bn ?

??1, ? 因此,数列 ?bn } 的通项 bn ? ? (n ? 2 ? ? )(-1)n . ?????????9 分 , (n ? 2). ? n ?1 ? 1? ? ② b1 ? ?1, b2 ? ? , b3 ? ? , ???????????????10 分 2 1? ? ) 解得 ? ?1 或 , ? 若 数 列 ?bn } 为 等 比 数 列 , 则 有 b22 ? b1b3 , 即 ? 2 ? ( ?1 ) (? 2 1 ? ? ? . ???11 分 2 (2n ? 5)(-1)n 1 b (n ? 2) , n +1 不是常数,数列 ?bn } 不是等比数列, 当 ? ? ? 时, bn ? 2 ( 2 n ? 1) bn
当 ? ? 1 时, b1 ? ?1 , bn ? (?1)n (n ? 2) ,数列 ?bn } 为等比数列. 所以,存在实数 ? ? 1 使得数列 ?bn } 为等比数列.

(n ? 2 ? ? )(-1)n . ???8 分 n ?1 n ? 1,

????????????14 分

【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比 数列的定义,考查了学生的运算能力,以及化归与转化的思想.

a 2 ? b2 2 2 2 2 ? 20、解: (1)因为椭圆 E 的离心率为 ,所以 ,解得 a ? 2b , 2 a 2 2 2 x y 故椭圆 E 的方程可设为 2 ? 2 ? 1 , 则椭圆 E 的右焦点坐标为 ? b, 0 ? , 过右焦点倾斜角为 2b b 45 ? 的直线方程为 l ? : y ? x ? b . ???????????????2 分

? x2 y2 ? ? 1, ? 设直线 l ? 与椭圆 E 的交点记为 A, B ,由 ? 2b 2 b 2 消去 y ,得 3x 2 ? 4bx ? 0 , ? y ? x ? b, ? 4b 4 2b 4 2 解得 x1 ? 0, x2 ? , 因为 AB ? 1 ? 12 x1 ? x2 ? ,解得 b ? 1 . ? 3 3 3 x2 ? y 2 ? 1. ????????????????????4 分 故椭圆 E 的方程为 2 (2) (法一) (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m , ? y ? kx ? m ? 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? x 2 , ??????????????5 分 2 ? y ? 1 ? ?2 2 2 2 消去 y 并整理,得 ? 2k ? 1? x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , ??????????6 分
?? ? 16k 2 m 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1?? 2m 2 ? 2 ? ? 0 ,
2 2 化简并整理,得 m ? 2k ? 1 .

因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,

???????????????7 分 ????????????????8 分

因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为: y ? ?

1 ? x ? 1? , k

1 ? km ? x? , 2 ? ? 1 ? k 解得 ? ?????????9 分 ?y ? k ? m , ? 1? k 2 ? (1 ? km)2 ? (k ? m)2 k 2 m2 ? k 2 ? m2 ? 1 (k 2 ? 1)(m2 ? 1) m2 ? 1 , 把 ? x2 ? y 2 ? ? ? ? (1 ? k 2 )2 (1 ? k 2 )2 (1 ? k 2 )2 1? k 2 m2 ? 2k 2 ? 1 代入上式得 x2 ? y 2 ? 2 . ① ?????????????11 分 (ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合①式. ??????????12 分

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , 联立 ? k ? ? y ? kx ? m,

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合①式. ???13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . ???????????????14 分
2 2

(法二) :设点 Q 的坐标为 Q( x0 , y0 ) , (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,
2 2 同解法一,得 2k ? m ? 1 ? 0 ,



????????????????8 分

因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为: y ? ?

1 ? x ? 1? , k

1 ? x0 ? ?k ? y , ? 0 解得 ? ② ???????9 分 2 2 ? m ? x0 ? x0 ? y0 , ? y0 ? 4 2 ②代入①并整理,有 y0 ? ? 2 x0 ? 2 x0 ? 1? y0 2 ? ? x0 2 ? 2 x0 ? 1?? x0 2 ? 2 ? ? 0 ,?10 分

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , 联立 ? k ? ? y ? kx ? m,

即 y0 2 ? x0 2 ? 2

?

?? y

2 0

? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0 ,

2 2 2 由点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? y0 ? ? x0 ? 1? ? 0 , 2

? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③

????????????????????11 分

(ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式.

??????????12 分

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. ???13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 2 . ???????????????14 分 (法三) :设点 Q 的坐标为 Q( x0 , y0 ) , ( i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,整理,得 l 的方程为

y ? kx ? kx0 ? y0 ,5 分
? y ? kx ? kx0 ? y0 ? 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? x 2 , 消去 y 并整理, 2 ? y ? 1 ? ?2 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4k ? y0 ? kx0 ? x ? 2 ? y0 ? kx0 ? ? 2 ? 0 , ????????6 分
2 2 ?? ? 16k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 8 ? 2k 2 ? 1? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ?????????7 分 ? ? 2 2 2 化简并整理,得 ? y0 ? x0 ? 2kx0 y0 ? 2k ? 1 ? 0 , ① ?????????8 分 1 ? x0 因为 MQ 与直线 l 垂直,有 k ? , ②??????????????9 分 y0

因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,

②代入①并整理,有 y0 4 ? 2 x0 2 ? 2 x0 ? 1 y0 2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 1 x0 2 ? 2 ? 0 ,?10 分 即 y0 2 ? x0 2 ? 2

?

?? y

2 0

? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0 ,

?

?

?

??

?

2 2 2 x0 ? 1 ? y02 点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ?

??

x0 1 ??
2

0 ? ,

? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③????????????????????????11 分 (ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式. ??????????12 分
(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. ???13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . ???????????????14 分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系,弦 长问题,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与 转化思想.
2 2

21、解: (Ⅰ)由题意可知: ( x ? x ? k ) ? ( x ? x ? k ) ? 2 ? 0
2 2 2

k ?R

2 2 令 t ? x ? x ? k ,则原不等式可以化为: t ? t ? 2 ? 0 ,解得: t ? ?2 或 t ? 1

即原不等式可以化为不等式① x ? x ? k ? 2 ? 0
2

或 不等式② x ? x ? k ? 1 ? 0 ……1 分
2

对于不等式①、②分别有: ?1 ? ?4k ? 7 与 ? 2 ? ?4k ? 5 现做如下分类讨论: (1) 当 k ? ?

7 时, ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 ,此时不等式①、②对应的方程分别有不等根: 4

x1 ?

? 1 ? ? 4k ? 7 ? 1 ? ? 4k ? 7 与 x2 ? ; 2 2 ? 1 ? ? 4k ? 5 ? 1 ? ? 4k ? 5 与 x4 ? ;不难证明: x3 ? x1 ? x 2 ? x4 2 2

x3 ?

所以不等式①的解集为 x ? ?

? 1 ? ? 4k ? 7 ? 1 ? ? 4 k ? 7 , 2 2 ? 1 ? ? 4k ? 5 2

?

…………2 分

所以不等式②的解集为 x ? ?? ?, 所以当 k ? ?

?? ?

? 1 ? ? 4k ? 5 , ? ?? …..3 分 2

7 时,函数 f ( x) 的定义域 D ? ?? ?, ? 1 ? ? 4k ? 5 ? ? 4 2

?

? 1 ? ? 4k ? 7 ? 1 ? ? 4 k ? 7 , 2 2

?? ?

? 1 ? ? 4k ? 5 , ? ?? 2

………….4 分

(2)当 ?

7 5 ? k ? 时, ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 ,结合(1)可知:不等式①的解集为 x ? ? 分 4 4
…………..5 分

不等式②的解集为 x ? ?? ?, 所以当 ?

? 1 ? ? 4k ? 5 2

?? ?

? 1 ? ? 4k ? 5 , ? ?? 2

7 5 ? k ? 时,函数 f ( x) 的定义域 4 4
2

D ? ?? ?, ? 1 ? ? 4k ? 5 ? ?
(3)当 k ?

?

? 1 ? ? 4k ? 5 , ? ?? 2

…………..6 分

5 时, ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 ,结合(1)可知: 4 不等式①的解集为 x ? ? ;不等式②的解集为 x ? R 5 所以当 k ? 时,函数 f ( x) 的定义域 D ? R 4
综上所述: (1)当 k ? ?

…………..7 分

7 时,函数 f ( x) 的定义域 4
2
2
2

D ? ?? ?, ? 1 ? ? 4k ? 5 ? ? ? ? 1 ? ? 4k ? 7 , ? 1 ? ? 4k ? 7 ? ?
(2)当 ?

?

? 1 ? ? 4k ? 5 , ? ?? 2

7 5 ? k ? 时,函数 f ( x) 的定义域 4 4
2

D ? ?? ?, ? 1 ? ? 4k ? 5 ? ?

?

? 1 ? ? 4k ? 5 , ? ?? 2
…………..8 分

5 (3)当 k ? 时,函数 f ( x) 的定义域 D ? R 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知道:当 k ? ?2 时,函数 f ( x) 的定义域 D ? ?? ?, ? 1 ? ? 4k ? 5 2

??

?

? 1 ? ? 4k ? 7 ? 1 ? ? 4 k ? 7 , 2 2
2 2 2

?? ?

? 1 ? ? 4k ? 5 , ? ?? 2

………….9 分

令 u ( x) ? ( x ? x ? k ) ? ( x ? x ? k ) ? 2 ? 0

( k ? ?2 ), x ? D

则函数 y ? log2 u ,显然函数 y ? log2 u 在对应的定义域区间为单调递增函数,要求 f ( x) 的单

调递增区间,我们只需要求出函数 u ( x) 在 x ? D 上的单调递增区间。…………10 分 现在求解如下:当 x ? D 时, 由 u / ( x) ? [2( x 2 ? x ? k ) ? 1](2 x ? 1) ? 4( x ? x ? k ?
2

1 1 )( x ? ) ? 0 可得: 2 2

1 ? x? ?0 ? ? 2 不等式组 (1)? ?x 2 ? x ? k ? 1 ? 0 ? 2 ?
对于方程 x ? x ? k ?
2

1 ? x? ?0 ? ? 2 或不等式组 (2) ? ………….11 分 ?x 2 ? x ? k ? 1 ? 0 ? 2 ?

1 ? 0 有: ? 3 ? ?4k ? 1 ,当 k ? ?2 时,显然有 ? 3 ? ?4k ? 1 ? 0 , 2 1 2 此时方程 x ? x ? k ? ? 0 有两个不相等的实数根: 2

x5 ?

1 ? 1 ? ? 4k ? 1 ? 1 ? ? 4k ? 1 或 x6 ? ;显然 x5 ? ? ? x 6 , 2 2 2

所以不等式组(1)的解集为 x ? (

? 1 ? ? 4k ? 1 1 ,? ) 2 2
………….12 分

不等式组(2)的解集为 x ? (

? 1 ? ? 4k ? 1 ,??) 2
1 ? x 2 ? x6 ? x 4 ,又因为 2
2

结合(Ⅰ) ,不难得到: x3 ? x5 ? x1 ? ?

D ? ?? ?, ? 1 ? ? 4k ? 5 ? ? ? ? 1 ? ? 4k ? 7 , ? 1 ? ? 4k ? 7 ? ?
2
2

?

? 1 ? ? 4k ? 5 , ? ?? 2

所以在 D 上有 不等式组(1)的解集为 x ? (

? 1 ? ? 4k ? 7 1 ,? ) 2 2 ? 1 ? ? 4k ? 5 ,??) 2
………….13 分

不等式组(2)的解集为 x ? (

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (

1 ? 1 ? ? 4k ? 5 ? 1 ? ? 4k ? 7 ,? ) 与 ( ,??) 2 2 2
………….14


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