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高中数学 4-1-2 圆的一般方程课件 新人教A版必修(1)


第四章
圆的方程

第四章
4.1 圆的方程

第四章
4.1.2 圆的一般方程

课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

1.圆的标准方程为_________________________.

2.用待定系数法求圆的标准方程步骤如下: (1)由题意设出标准方程;(2)列出关于a、b、r的方程(或 方程组);(3)解出a、b、r代入标准方程.

3.由几何意义求圆的标准方程步骤如下: (1)由题意确定圆心和半径长;(2)写出标准方程.
三点 4.平面几何中的结论:不共线的_____确定一个圆.

5.圆(x-1)2+(y+ 3)2=2的圆心坐标与半径是( A.(1, 3),2 C.(1,- 3), 2
[答案] C

)

B.(-1, 3), 2 D.(-1,- 3),2

6.求满足下列条件的各圆的方程. (1)圆心在原点,半径是3; (2)圆心在点(3,4),半径是5; (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3).

[解析]

x2+y2=9.

(2)(x-32)+(y-4)2=25. (3)因为圆的半径 r=|CP|= ?5-8?2+?1+3?2=5, 圆心在点(8,-3),所以圆的方程是(x-8)2+(y+3)2=25.

新课引入

我们的祖先很早就发明了建桥技术,现存最早的拱桥是 由著名工匠李春设计建造于1 400年前,横跨在我国河北赵县 的河上的赵州桥.赵州桥又名安济桥,全长50多米,拱圆净 跨37多米,是一座单孔坦拱式桥梁,你能根据拱圆求出拱圆 所在的圆的方程吗?

自主预习 阅读教材P121~123,回答下列问题. 1.圆的一般方程 (1)方程:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F= D E C(- ,- ) 0叫做圆的一般方程,其中圆心为______________,半径为r= 2 2 1 2 D +E2-4F __________________. 2 (2)说明:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆.当且 仅当_____________时,表示圆:当D2+E2-4F=0时,表示 D2+E2-4F>0 D E (- 2 ,- 2 ) 一个点___________;当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形.

(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:
标准方程或一般方程 ①根据题意,选择________________________;
方程组 ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的________;

③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.

[破疑点]若一个二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆,应满足的条件是:①A=C≠0;②B=0;③D2+E2- 4F>0. [拓展]1.圆的标准方程和一般方程的对比 (1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显.

(2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2- 4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数 特征明显. (3)相互转化,如图所示.

2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 剖析:已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0(D2+E2-4F>0),则其位置关系如下表:

位置关系 点M在圆外

代数关系
2 x0+y2+Dx0+Ey0+ 0

F>0 点M在圆上
2 x0+y2+Dx0+Ey0+F= 0

0 点M在圆内
2 x0+y2+Dx0+Ey0+ 0

F<0

圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为( A.(2,0),5 C.(0,2), 5 B.(2,0), 5 D.(2,2),5

)

[答案] B

[解析]

(x-2)2+y2=5,圆心坐标为(2,0),半径为 5.

2.轨迹方程
关系式 点M的坐标(x,y)满足的______称为点M的轨迹方程.

[拓展]当动点M的变化是由点P的变化引起的,并且点P在 某一曲线C上运动时,常用中间量法(又称为相关点法)来求动 点M的轨迹方程,其步骤是:(1)设动点M(x,y);(2)用点M的 坐标来表示点P的坐标;(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方 程,即得动点M的轨迹方程.

点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O是原点) 的中点,则动点M的轨迹方程是________.

[答案] x2+y2=1

[解析]

x0 y0 设M(x,y),则x= 2 ,y= 2 ,∴x0=2x,y0=2y,

即P(2x,2y).又P是圆x2+y2=4上的动点,则(2x)2+(2y)2=4, 即动点M的轨迹方程为x2+y2=1.

思路方法技巧

命题方向

判定二元二次方程是否表示圆

[例1] 和半径.

下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心

(1)2x2+y2-7y+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-5x=0. [分析] 根据圆的一般方程的特征进行判断.

[解析]

(1)∵方程2x2+y2-7x+5=0中x2与y2的系数不相

同,∴它不能表示圆. (2)∵方程x2-xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项,∴它 不能表示圆. (3)∵方程x2+y2-2x-4y+10=0化为(x-1)2+(y-2)2= -5,∴它不能表示圆. 5 2 2 5 2 (4)∵方程2x +2y -5x=0化为(x- 4 ) +y =( 4 ) ,∴它表
2 2

5 5 示以(4,0)为圆心,4为半径的圆.

规律总结:(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步 骤是:先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即①x2与 y2的系数相等;②不含xy项;当它具有圆的一般方程的特征 时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2- 4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的 常数即可. (2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小,几何特 征明显;圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次 方程,代数特征明显.

下列方程各表示什么图形: (1)x2+y2-4x-2y+5=0; (2)x2+y2-2x+4y-4=0; (3)x2+y2+ax- 3ay=0.

[解析]

(1)对方程x2+y2-4x-2y+5=0配方,得(x-2)2

+(y-1)2=0,则x=2,y=1,所以方程表示点(2,1); (2)对方程x2+y2-2x+4y-4=0配方,得(x-1)2+(y+2)2 =9, 所以方程表示以(1,-2)为圆心,3为半径的圆;

a 2 3 (3)对方程x +y +ax- 3 ay=0配方,得(x+ 2 ) +(y- 2
2 2

a)2=a2. 当a=0时,该方程表示的图形为一个点(0,0). a 3 当a≠0时,该方程表示的图形为圆,圆心为(-2, 2 a), 半径长为|a|.

[点评]

对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,

可以通过配方变形为“标准”形式,然后观察等号右边是否 大于零,若大于零,则表示圆;若不大于零,则不表示圆; 也可以由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否大于0,确 定它是否表示圆.

命题方向

用待定系数法求圆的方程

[例2]

(1)已知圆经过A(2,-3)和B(-2,-5),若圆心

在直线x-2y-3=0上,求圆的方程. (2)求过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程. [分析] 由题设三个条件,可利用待定系数法求方程,

也可利用弦的中垂线过圆心,先确定圆心,再求圆的半径.

[解析] 0,则

(1)解法1:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=

?4+?-3?2+2D+?-3?E+F=0, ? ??-2?2+?-5?2+?-2?D+?-5?E+F=0, ? ? E? ? D ?- ?- 2 -2· 2 ?-3=0. ? ? ? ?D=2, ? ∴?E=4, ?F=-5. ?

∴圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0.

解法2:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 ??2-a?2+?-3-b?2=r2, ? ??-2-a?2+?-5-b?2=r2, ?a-2b-3=0. ? ?a=-1, ? ??b=-2, ?r2=10. ?

∴圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

解法3:线段AB中垂线的方程为2x+y+4=0,它与直线x -2y-3=0的交点(-1,-2)为圆心,由两点间距离得r2= 10, ∴圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

(2)解法1:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(*) 把A、B、C三点坐标代入方程(*)得 ?1-D+F=0, ? ?9+3D+F=0, ?1+E+F=0, ? ?D=-2, ? ∴?E=2, ?F=-3. ?

故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-3=0

解法2:线段AB的中垂线方程为x=1,线段AC的中垂线 方程为x+y=0
?x=1 ? 由? ?x+y=0 ?

得圆心坐标为M(1,-1),

半径r=|MA|= 5, ∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.

总结评述:1.第(1)题中,容易发现,利用圆的性质的解 法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小,充分利用圆的 性质可简化解题过程. 2.用待定系数法求圆的方程时,①如果由已知条件容易 求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问 题,一般采用圆的标准方程,求出a、b、r即可.②如果给出 圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系,一 般采用一般方程,求出D、E、F即可.

已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5), 求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.

[解析]

解法一:设△ABC的外接圆方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0, ∵A,B,C在圆上, ?1+16+D+4E+F=0, ? ∴?4+9-2D+3E+F=0, ?16+25+4D-5E+F=0, ? ?D=-2, ? ∴?E=2, ?F=-23, ?

∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0, 即(x-1)2+(y+1)2=25. ∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5. 4-3 1 4+5 解法二:∵kAB= = ,kAC= =-3, 3 1+2 1-4 ∴kAB·AC=-1,∴AB⊥AC. k ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形. ∴外心是线段BC的中点, 1 坐标为(1,-1),r=2|BC|=5. ∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25.

命题方向

求轨迹方程

[例3]

等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是

B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什 么. [分析] 先设出点C的坐标(x,y),根据|AB|=|AC|列方

程化简整理,即可得点C的轨迹方程,然后由轨迹方程指明 轨迹.

[解析]

设另一端点C的坐标为(x,y).

依题意,得|AC|=|AB|. 由两点间距离公式,则 ?x-4?2+?y-2?2 = ?4-3?2+?2-5?2 ,整理得(x-4)2+ (y-2)2=10. 这是以点A(4,2)为圆心,以 10 为半径的圆,如图所示,

又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共 线.即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一直径的两个端 点.

因为B,C不能重合,所以点C不能为(3,5). 又因为B,C不能为一直径的两个端点, x+3 y+5 所以 2 ≠4,且 2 ≠2, 即点C不能为(5,-1).

故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和 (5,-1)),它的轨迹是以点A(4,2)为圆心, 但除去(3,5)和(5,-1)两点. 10 为半径的圆,

规律总结:(1)求轨迹方程的基本步骤: ①建立适当的直角坐标系(题目中已经涉及坐标系的不用 建); ②设所求轨迹上点的坐标M(x,y); ③根据题意,列出方程f(x,y)=0; ④化简方程; ⑤检验方程所有的解是否都满足题意,若有不满足的要 删去多余的解,若有遗漏的则应补上失去的解. (2)本题也可先确定出轨迹的形状是圆,再求圆心坐标与 半径,写出圆的标准方程.

自圆x2+y2=4上的点A(2,0)引此圆的弦AB,求弦AB的中 点轨迹方程.

[解析]

2 设AB的中点P(x,y),B(x1,y1),则有x2+y1=4, 1

x1+2 y1+0 且x= 2 ,y= 2 .∴x1=2x-2,y1=2y. ∴(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1. 当A、B重合时,P与A点重合,不合题意, ∴所求轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).

[点评]

如果动点P与Q满足某种关系,P在已知曲线C上

运动,求Q点的轨迹方程,可设Q(x,y)结合所给条件,将P点 坐标(x′,y′)用x、y表示出来.利用P在C上,将P点坐标代 入C的方程,即得x、y满足的关系式.

名师辨误做答

易错点 忽略隐含条件 [例4] 已知圆的方程是x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上

运动,求2x2+y2的最值. [错解] 由x2+y2-2x=0可知y2=-x2+2x,所以2x2+y2

=2x2-x2+2x=x2+2x=(x+1)2-1≥-1. 所以2x2+y2有最小值-1,没有最大值. [错因分析] 产生错解的原因是在解题过程中忽略了隐含 条件y2=-x2+2x≥0,即0≤x≤2,从而在解题中扩大了x的取 值范围,认为x∈R.

[思路分析] 利用方程的思想,变形消去其中一个未知 数,注意y2≥0,从而导出x的取值范围,然后用它来控制2x2 +y2消去了一个未知数后的代数式的取值范围.

[正解] 0≤x≤2,

由x2+y2-2x=0可知y2=-x2+2x≥0,解得

所以2x2+y2=2x2-x2+2x=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8]. 当x=0,y=0时,2x2+y2有最小值0. 当x=2,y=0时,2x2+y2有最大值8. 故2x2+y2有最小值0,最大值8.

课堂基础巩固

1.圆(x+1)2+(y-2)2=2化为一般方程是( A.x2+y2=2 B.x2+y2+3=0 C.x2+y2-2x+4y+3=0 D.x2+y2+2x-4y+3=0
[答案] D

)

2.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于( A. 2π B.2π

)

C.2 2π D.4π

[答案] C

[解析]

化为标准方程得(x-1)2+(y+3)2=2,所以半径

是 2,则圆的周长等于2 2π.

3.圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐 标为( ) B.(1,-1)

A.(-1,2)

1 1 C.(2,-1) D.(-2,-1)

[答案] D

[解析]

原方程可化为x2+x-2+y2+2y-8=0,即x2+y2

+x+2y-10=0, 1 则圆心坐标为(- ,-1). 2

4.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值 范围是( A.R C.(-∞,1] ) B.(-∞,1) D.[1,+∞)

[答案]
[解析]

B
16+4-4×5k>0,∴k<1.

5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆 心,4为半径的圆,则F=________.

[答案] 4

[解析]

? D ?- 2 =2, 由题意知? ?-E=-4, ? 2

∴D=-4,E=8. D2+E2-4F ?-4?2+82-4F 又∵r2= = =16, 4 4 ∴F=4.

6.一动点M到A(-4,0)的距离是它到B(2,0)的距离的2倍, 则动点M的轨迹方程是________.
[答案] x2+y2-8x=0

[解析]

设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,

即 ?x+4?2+y2=2 ?x-2?2+y2, 整理得x2+y2-8x=0. ∴所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.

7.求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方 程.

[解析]

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因为点A,B,C在圆上,把它们的坐标依次代入上面的方 程,整理得到关于D,E,F的三元一次方程组 ?5E+F+25=0, ? ?D-2E+F+5=0, ?3D+4E-F-25=0, ? ?D=6, ? 解这个方程组,得?E=-2, ?F=-15. ?

于是得到所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.

8.判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+2ay-1=0; (3)x2+y2+20x+121=0; (4)x2+y2+2ax=0.

[解析]

(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-

1,0),不表示圆. (2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心为(0, -a),半径为 ( a2+1)2. (3)原方程可化为(x+10)2+y2=-21<0,故方程不表示任 何曲线,故不能表示圆. a2+1 的圆,标准方程为x2+(y+a)2=

(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2. ①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆; ②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆, 标准方程为(x+a)2+y2=a2.


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