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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题11


阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证 明)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(2014· 白鹭洲中学期中)复数 z=(m2+m)+mi(m∈R,i 为虚数 单位)是纯虚数,则实数 m 的值为( A.0 或-1 C.1 [答案] D [解析]
2 ? ?m +m=0, ∵z 为纯虚数,∴? ∴m=-1,故选 D. ?m≠0, ?

) B.0 D.-1

2.(文)(2014· 山东省博兴二中质检)如果等差数列{an}中,a5+a6 +a7=15,那么 a3+a4+?+a9 等于( A.21 C.35 [答案] C [解析] ∵3a6=a5+a6+a7=15,∴a6=5, ∴a3+a4+?+a9=7a1+35d=7a6=35. (理)(2014· 银川九中一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1, Sn=2an+1,则 Sn=( A.2n-1 ) 3 B.(2)n-1 ) B.30 D.40

2 C.(3)n-1 [答案] B

1 D. n-1 2

Sn+1 3 [解析] ∵Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),∴ S =2, n 3 又 S1=a1=1,∴Sn=(2)n-1,故选 B. x+φ 3.(文)(2014· 银川九中一模)若函数 f(x)=sin 3 (φ∈[0,2π])是偶 函数,则 φ=( π A.2 3π C. 2 [答案] C [解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), -x+φ x+φ φ x ∴sin 3 =sin 3 ,∴cos3sin3=0, φ ∵此式对任意 x 都成立,∴cos3=0, 3π ∵φ∈[0,2π],∴φ= 2 . (理)(2014· 杭州七校联考)“sinx=1”是“cosx=0”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A π [解析] 若 sinx=1,则 x=2kπ+2,k∈Z,∴cosx=0;若 cosx π =0,则 x=kπ+2,k∈Z,∴sinx=± 1. B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) 2π B. 3 5π D. 3

4. (文)(2014· 北京朝阳区期中)执行如图所示的程序框图, 则输出 的 T 值为( )

A.91 B.55 C.54 D.30 [答案] B [解析] 所给的程序的作用是计算:T=12+22+32+42+52=55. (理)

(2014· 康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)下列 程序框图的输出结果为( 2012 A.2013 1 B.2013 2013 C.2014 )

1 D.2014 [答案] C [解析] 由程序框图知,每循环一次,i 的值增加 1,S 的值加上 1 , 当 i=2013 时, 不满足 i>2013, 再循环一次, i 的值变为 2014, i?i+1? 1 满足 i>2013,此时输出 S,故 S 最后加上的数为 , 2013×2014 ∴S= 1 1 1 1 1 1 + +?+ = (1 - 2 ) + ( 2 - 3 ) + ? + 1×2 2×3 2013×2014

1 1 1 2013 (2013-2014)=1-2014=2014,故选 C. 5.(2014· 武汉市调研)复数 z=m(3+i)-(2+i)(m∈R,i 为虚数单 位)在复平面内对应的点不可能位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] B [解析] 复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面内的对应点 P(3m- 2 2,m-1),当 m>1 时,P 在第一象限;当 m<3时,P 在第三象限,当 2 2 < m <1 时, P 在第四象限,当 m = 3 3时,P 在 y 轴上,当 m=1 时,P 在 x 轴上,故选 B. 6.(2014· 佛山市质检)将 n2 个正整数 1、2、3、?、n2(n≥2)任意 排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两 a 个数 a、b(a>b)的比值b,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征 值”.当 n=2 时,数表的所有可能的“特征值”最大值为( ) )

3 A.2 C.2 [答案] A

4 B.3 D.3

[解析] 当 n=2 时,这 4 个数分别为 1、2、3、4,排成了两行 4 两列的数表,当 1,2 同行或同列时,这个数表的“特征值”为3;当 4 3 1,3 同行或同列时,这个数表的特征值分别为3或2;当 1,4 同行或同 4 3 列时,这个数表的“特征值”为3或2;故这些可能的“特征值”的最 3 大值为2. 7.(2014· 山西省太原五中月考)某流程图如图所示,现输入如下 四个函数,则可以输出的函数是( )

|x| A.f(x)= x ex+e-x C.f(x)= x -x e -e [答案] B

B.f(x)=ln( x2+1-x) sin2x D.f(x)= 1+cos2x

[解析] 由框图知,f(x)为有零点的奇函数,A、C 中函数 f(x)无 零点;D 中函数 f(x)为偶函数;B 中函数 f(x)=ln( x2+1-x)满足 f(0)

= 0 且 f(- x)= ln( x2+1+ x)= ln f(x),故选 B.

1 =- ln( x2+1- x)=- x +1-x
2

1 4 8.(2014· 哈六中期中)若两个正实数 x,y 满足x+y=1,且不等 y 式 x+4<m2-3m 有解,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,4) C.(-4,1) [答案] B 1 4 y y 1 4 y [解析] ∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+4=(x+4)(x +y )=2+4x+ 4x y ≥2+2 y 4x y · = 4 ,等号在 y = 4 x ,即 x = 2 , y = 8 时成立,∴ x + 4x y 4 )

B.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)

y 的最小值为 4,要使不等式 m2-3m>x+4有解,应有 m2-3m>4,∴ m<-1 或 m>4,故选 B. 9.(文)(2014· 吉林市摸底)如图,程序输出的结果 s=132,则判 断框中应填( )

A.i≥10? C.i≤11? [答案] B

B.i≥11? D.i≥12?

[解析]

第一次循环:s=1×12=12,i=12-1=11,不满足条

件,继续循环; 第二次循环:s=12×11=132,i=11-1=10,此时应输出,结 束循环,因此判断框中应填 i≥11?. (理)(2014· 成都七中模拟)阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为 -14,则判断框内可填写( )

A.i<6? B.i<8? C.i<5? D.i<7? [答案] B [解析] 这是一个循环结构,每次循环的结果为:S=2-1=1, i=1+2=3;S=1-3=-2,i=3+2=5;S=-2-5=-7,i=5+2 =7;S=-7-7=-14,i=7+2=9.因为最后输出-14,所以判断框 内可填写 i<8?选 B. 10.(2014· 广东梅县东山中学期中)在 f(m,n)中,m,n,f(m,n) ∈N*,且对任意 m,n 都有: (1)f(1,1)=1,(2)f(m,n+1)=f(m,n)+2,(3)f(m+1,1)=2f(m,1); 给出下列三个结论: ①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;③f(5,6)=26;

其中正确的结论个数是( ( A.3 [答案] A ) B.2

)个.

C.1

D.0

[解析] ∵f(m,n+1)=f(m,n)+2,∴f(m,n)组成首项为 f(m,1), 公差为 2 的等差数列, ∴f(m,n)=f(m,1)+2(n-1). 又 f(1,1)=1,∴f(1,5)=f(1,1)+2×(5-1)=9, 又∵f(m+1,1)=2f(m,1),∴f(m,1)构成首项为 f(1,1),公比为 2 的 等比数列,∴f(m,1)=f(1,1)· 2m-1=2m-1,∴f(5,1)=25-1=16,∴f(5,6) =f(5,1)+2×(6-1)=16+10=26,∴①②③都正确,故选 A. 11.(文)

(2014· 九江市修水一中第四次月考)如图,在△ABC 中,∠CAB= ∠CBA=30° ,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE,垂足分别是 D、E, 以 A、B 为焦点且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2, 1 1 则e +e 的值为( 1 2 A.1 C.2 [答案] B [解析] 设 AE=1,则 AB=2,BD=1,AD=BE= 3,∴椭圆 的焦距 2c=2,∴c=1,长轴长 2a=AD+BD= 3+1, ) B. 3 D.2 3

∴离心率 e1=

1 = 3-1,双曲线的焦距 2c1=2, 3+1 2

∴c1=1,双曲线的实轴长 2a1=AD-BD= 3-1, ∴离心率 e2= 1 = 3+1. 3-1 2

1 1 ∴e +e =
1 2

1 1 + = 3,故选 B. 3-1 3+1

( 理 )(2014· 北 京 市 海 淀 区 期 末 ) 如 图 所 示 , 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1,BD∩AC=O,M 是线段 D1O 上的动点,过点 M 作平面 ACD1 的垂线交平面 A1B1C1D1 于点 N,则点 N 到点 A 距离 的最小值为( )

A. 2 2 3 C. 3 [答案] B [ 解析 ]

6 B. 2 D.1

因为 ABCD - A1B1C1D1 为正方体,所以 BB1 ⊥平面

A1B1C1D1 , 因 为 BB1 ? 平 面 BDD1B1 , 所 以 平 面 BDD1B1 ⊥ 平 面 A1B1C1D1,因为 M∈平面 BDD1B1,MN⊥平面 ACD1,平面 BDD1B1∩ 平面 A1B1C1D1=B1D1,所以 N∈B1D1.因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方 体,棱长为 1,所以△AB1D1 为正三角形,边长为 2,所以当 N 为

6 B1D1 中点时,AN 最小为 2sin60° = 2 .故 B 正确. 12.(2014· 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中 学一模)设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切 圆半径为 r,则 r= 2S ;类比这个结论可知:四面体 P-ABC 的 a+b+c

四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 r,四面体 P -ABC 的体积为 V,则 r=( V A. S1+S2+S3+S4 3V C. S1+S2+S3+S4 [答案] C [解析] 将△ABC 的三条边长 a、b、c 类比到四面体 P-ABC 的 1 四个面面积 S1、S2、S3、S4,将三角形面积公式中系数2,类比到三棱 1 锥体积公式中系数3,从而可知选 C. 证明如下:以四面体各面为底,内切球心 O 为顶点的各三棱锥 1 1 1 1 体积的和为 V,∴V=3S1r+3S2r+3S3r+3S4r,∴r= 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上.) 13.(文)(2014· 高州四中质量监测)有一个奇数列 1,3,5,7,9,?, 现在进行如下分组:第一组含一个数{1},第二组含两个数{3,5},第 三组含三个数{7,9,11},第四组含四个数{13,15,17,19},?,现观察猜 想每组内各数之和 an 与其组的编号数 n 的关系为________. 3V . S1+S2+S3+S4 ) 2V B. S1+S2+S3+S4 4V D. S1+S2+S3+S4

[答案] an=n3 [解析] 第 n 组含 n 个数,前 n-1 组共有 1+2+3+?+(n-1) n?n-1? = 2 个数,∴第 n 组的最小数为 n2-n+1,第 n 组的 n 个数组 成首项为 n2-n+1,公差为 2 的等差数列,∴其各项之和为 an=n(n2 -n+1)+ n?n-1? 3 × 2 = n . 2

(理)(2014· 陕西工大附中四模)由 13=12,13+23=(1+2)2,13+23+ 33=(1+2+3)2,??,可猜想出的第 n 个等式是________. [答案] 13+23+?+n3=(1+2+?+n)2 [解析] 观察各等式可见第 n 个等式左边有 n 项,每个等式都是 从 13 到 n3 的和,等式右端是从 1 到 n 的和的平方,故第 n 个等式为 13+23+33+?+n3=(1+2+3+?+n)2. 14.(文)(2014· 吉林市摸底)下列说法: ①“?x∈R,使 2x>3”的否定是“?x∈R,使 2x≤3”; π ②函数 y=sin(2x+3)的最小正周期是 π; ③“在△ABC 中,使 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; ④“m=-1”是“直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+2 =0 垂直”的充要条件;其中正确的说法是______(只填序号). [答案] ①②③ [ 解析 ] ①∵特称命题的否定是全称命题,∴ “ ? x ∈ R ,使

2x>3”的否定是“?x∈R,使 2x≤3”,正确; 2π π ②因为 T= 2 =π,所以函数 y=sin(2x+3)的最小正周期是 π,正 确; ③“在△ABC 中, 若 sinA>sinB, 则 A>B”的逆命题是“在△ABC

中, 若 A>B, 则 sinA>sinB”, 在△ABC 中, 若 A>B?a>b?2rsinA>2rsinB ?sinA>sinB,故③正确; ④由 3m+(2m-1)m=0 得 m=0 或-1,所以“m=-1”是“直 线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+2=0 垂直”的充分不必要条 件,∴④错误. (理)(2014· 泸州市一诊)已知集合 A={f(x)|f 2(x)-f 2(y)=f(x+y)· f (x -y),x、y∈R},有下列命题:
? x≥0 ?1, ①若 f(x)=? ,则 f(x)∈A; ?-1, x<0 ?

②若 f(x)=kx,则 f(x)∈A; ③若 f(x)∈A,则 y=f(x)可为奇函数; f?x1?-f?x2? ④若 f(x)∈A,则对任意不等实数 x1,x2,总有 <0 成立. x1-x2 其中所有正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序 号) [答案] ②③ [解析] 对于①,取 x=1,y=-1 知,f 2(x)-f 2(y)=f 2(1)-f 2(- 1)=1-1=0,但 f(x+y)f(x-y)=f(0)· f(2)=1,∴①错; 对于②,当 f(x)=kx 时,f 2(x)-f 2(y)=k2x2-k2y2=k(x+y)· k(x- y)=f(x+y)· f(x-y),∴②正确; 对于③,在 f 2(x)-f 2(y)=f(x+y)f(x-y)中令 x=0,y=0 得,f(0) =0,又令 x=0 得,f 2(0)-f 2(y)=f(y)· f(-y),当 f(y)≠0 时,有 f(-y) =-f(y),∴f(x)可以为奇函数. 对于④,取 f(x)=x,则 f 2(x)-f 2(y)=x2-y2=(x+y)(x-y)=f(x f?x1?-f?x2? x1-x2 +y)f(x-y),但 x1,x2∈R 且 x1≠x2 时, = =1>0,∴ x1-x2 x1-x2

④错. 15.(2014· 湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射 影定理: 设△ABC 的两边 AB⊥AC, D 是 A 点在 BC 上的射影, 则 AB2 =BD· BC.拓展到空间,在四面体 A-BCD 中,DA⊥平面 ABC,点 O 是 A 在平面 BCD 内的射影,类比平面三角形射影定理,△ABC,△ BOC,△BDC 三者面积之间关系为________.
2 [答案] S△ S△DBC ABC=S△OBC·

[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱 AD 与一 侧面 ABC 垂直的四棱锥的侧面 ABC 的面积,将此直角边 AB 在斜边 上的射影及斜边的长,类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△
2 BCD 的面积可得 S△ S△DBC. ABC=S△OBC·

16 . ( 文 )(2014· 西 安 市 长 安 中 学 期 中 )21×1 = 2,22×1×3 = 3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8, ?依此类 推,第 n 个等式为________________. [ 答案 ] 1)×2n [解析] 由所给 4 个等式可看出, 第 n 个等式左边是 2n 与从 1 开 始的连续的 n 个奇数之积,第 n 个等式右边是从 n+1 开始的连续的 n 个正整数之积.所以第 n 个等式为:2n×1×3×?×(2n-1)=(n+ 1)×(n+2)×?×(2n-1)×2n. 1 1 1 (理)(2014· 江西临川十中期中)给出下列不等式:1+2+3>1,1+2 1 1 3 1 1 1 +3+?+7>2,1+2+3+?+15>2,?,则按此规律可猜想第 n 个不等式为________________. n+1 1 1 1 1 [答案] 1+2+3+4+?+ n+1 > 2 2 -1 2n×1×3×?×(2n - 1) = (n + 1)×(n + 2)×?×(2n -

[解析] 观察不等式左边最后一项的分母 3,7,15,?,通项为 2n
+1

1 -1,不等式右边为首项为 1,公差为2的等差数列,故猜想第 n 个

n+1 1 1 1 1 不等式为 1+2+3+4+?+ n+1 > 2 . 2 -1 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)(2014· 湖南长沙实验中学、 沙城一中联考) 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,△ABC 的面积 S 3 满足 S= 2 bccosA. (1)求角 A 的值; (2)若 a= 3, 设角 B 的大小为 x 用 x 表示 c, 并求 c 的取值范围. 3 1 [解析] (1)在△ABC 中, 由 S= 2 bccosA=2bcsinA, 得 tanA= 3, π ∵0<A<π,∴A=3. π c a 3 (2)由 a= 3,A=3及正弦定理得:sinC=sinA= =2, 3 2 2π ∴c=2sinC=2sin(π-A-B)=2sin( 3 -x). π 2π 2π 2π ∵A=3,∴0<x< 3 ,∴0< 3 -x< 3 . 2π 2π ∴0<sin( 3 -x)≤1,0<2sin( 3 -x)≤2,即 c∈(0,2]. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 吉林省实验中学一模)如图, ABCD 是边长为 2 的正方形,ED⊥平面 ABCD,ED=1,EF∥BD 且 1 EF=2BD.

(1)求证:BF∥平面 ACE; (2)求证:平面 EAC⊥平面 BDEF; (3)求几何体 ABCDEF 的体积. 1 [解析] (1)设 AC 与 BD 的交点为 O,则 DO=BO=2BD,连接 1 EO,∵EF∥BD 且 EF=2BD, ∴EF∥DO 且 EF=BO, 则四边形 EFBO 是平行四边形, 则 BF∥EO,又 EO?平面 ACE, BF?平面 ACE,故 BF∥平面 ACE.

(2)∵ED⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴ED⊥AC. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, 又 ED∩BD=D,∴AC⊥平面 BDEF, 又 AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 BDEF. (3)因为 ED⊥平面 ABCD,∴ED⊥BD, 1 又∵EF∥BD 且 EF=2BD,∴四边形 BDEF 是直角梯形, 又∵四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,BD=2 2,EF= 2,

? 2+2 2?×1 3 2 ∴梯形 BDEF 的面积为 = 2 , 2 由(1)知 AC⊥平面 BDEF, 1 1 所以几何体的体积 VABCDEF = 2VA - BDEF = 2× 3 SBDEF· AO = 2× 3 3 2 × 2 × 2=2. (理)(2014· 佛山市质检)如图 1,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=6, E、F 分别为 CD、AB 边上的点,且 DE=3,BF=4,将△BCE 沿 BE 折起至△PBE 位置(如图 2 所示),连结 AP、PF,其中 PF=2 5. (1)求证:PF⊥平面 ABED; (2)在线段 PA 上是否存在点 Q 使得 FQ∥平面 PBE?若存在,求 出点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. (3)求点 A 到平面 PBE 的距离.

[解析] (1)连结 EF,由翻折不变性可知,PB=BC=6,PE=CE =9,在△PBF 中,PF2+BF2=20+16=36=PB2,所以 PF⊥BF,在 图 1 中,易得 EF= 62+?12-3-4?2= 61, 在△PEF 中,EF2+PF2=61+20=81=PE2, 所以 PF⊥EF, 又 BF∩EF=F,BF?平面 ABED,EF?平面 ABCD, 所以 PF⊥平面 ABED.

(2)当 Q 为 PA 的三等分点(靠近 P)时,FQ∥平面 PBE.证明如下: 2 2 因为 AQ=3AP,AF=3AB,所以 FQ∥BP, 又 FQ?平面 PBE,PB?平面 PBE,所以 FQ∥平面 PBE. (3)由(1)知 PF⊥平面 ABCD,所以 PF 为三棱锥 P-ABE 的高. 设点 A 到平面 PBE 的距离为 h,由等体积法得 VA-PBE=VP-ABE, 1 1 1 1 即3×S△PBEh=3×S△ABE· PF, 又 S△PBE=2×6×9=27, S△ABE=2×12×6 S△ABE· PF 36×2 5 8 5 =36,所以 h= = 27 = 3 ,即点 A 到平面 PBE 的距 S△PBE 8 5 离为 3 . 19. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 佛山市质检)佛山某中学高三(1) 班排球队和篮球队各有 10 名同学,现测得排球队 10 人的身高(单位: cm)分别是 162、170、171、182、163、158、179、168、183、168, 篮球队 10 人的身高(单位:cm)分别是:170、159、162、173、181、 165、176、168、178、179. (1)请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中,并指出哪个 队的身高数据方差较小(无需计算); (2)现从两队所有身高超过 178cm 的同学中随机抽取三名同学, 则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?

[解析] (1)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小.

(2)两队所有身高超过 178cm 的同学恰有 5 人,其中 3 人来自排 球队,记为 a,b,c,2 人来自篮球队,记为 A,B,则从 5 人中抽取 3 名同学的基本事件为:abc,abA,abB,acA,acB,aAB,bcA,bcB, bAB, cAB 共 10 个; 其中恰有两人来自排球队一人来自篮球队所含的 事件有:abA,abB,acA,acB,bcB,bcA 共 6 个,所以,恰好两人 6 3 来自排球队一人来自篮球队的概率是10=5. (理)(2014· 山西省太原五中月考)已知函数 f(x)=xlnx. (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)≥-x2+ax-6 在(0,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值 范围; (3)过点 A(-e-2,0)作函数 y=f(x)图象的切线,求切线方程. [解析] (1)∵f ′(x)=lnx+1,∴由 f ′(x)<0 得 lnx<-1, 1 1 ∴0<x<e,∴函数 f(x)的单调递减区间是(0,e).

6 (2)∵f(x)≥-x2+ax-6,∴a≤lnx+x+x , 6 设 g(x)=lnx+x+x ,则 x2+x-6 ?x+3??x-2? g′(x)= x2 = , x2 当 x∈(0,2)时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增. ∴g(x)最小值为 g(2)=5+ln2, ∴实数 a 的取值范围是(-∞,5+ln2]. (3)设切点 T(x0,y0),则 kAT=f ′(x0), ∴ x0lnx0 2 1 =lnx0+1,即 e x0+lnx0+1=0, x0+e2

1 设 h(x)=e2x+lnx+1,则 h′(x)=e2+x, 当 x>0 时 h′(x)>0,∴h(x)是单调递增函数, ∴h(x)=0 最多只有一个根, 1 1 1 1 又 h(e2)=e2×e2+lne2+1=0,∴x0=e2, 1 由 f ′(x0)=-1 得切线方程是 x+y+e2=0. 20.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 山东省烟台市期末)近日,国家 经贸委发出了关于深入开展增产节约运动, 大力增产市场适销对路产 品的通知,并发布了当前国内市场 185 种适销工业品和 42 种滞销产 品的参考目录.为此,一公司举行某产品的促销活动,经测算该产品 的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P=3 2 - (其中 0≤x≤a, a 为正常数); 已知生产该产品还需投入成本(10 x+1

20 +2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为(4+ p )万元/万件. (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 20 [解析] (1)由题意知,y=(4+ P )×P-(10+2P)-x,将 P=3- 2 代入化简得: x+1 y=16- 4 -x,(0≤x≤a). x+1 4 4 -x=17-( +x+1) x+1 x+1 4 ×?x+1?=13, x+1

(2)y=16- ≤17-2

4 当且仅当 =x+1,即 x=1 时,上式取等号. x+1 当 a≥1 时,促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; 当 a<1 时,y=17-( 4 +x+1)在[0,a]上单调递增,所以在 x x+1

=a 时,函数有最大值.促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大. 综上所述,当 a≥1 时,促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最 大;当 a<1 时,促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大. (理)(2014· 北京市海淀区期末)如果函数 f(x)满足在集合 N*上的值 域仍是集合 N*,则把函数 f(x)称为 N 函数. 例如:f(x)=x 就是 N 函数. (1)判断下列函数:①y=x2,②y=2x-1,③y=[ x]中,哪些是 N 函数?(只需写出判断结果); (2)判断函数 g(x)=[lnx]+1 是否为 N 函数,并证明你的结论;

(3)证明:对于任意实数 a,b,函数 f(x)=[b· ax]都不是 N 函数. (注:“[x]”表示不超过 x 的最大整数) [解析] (1)只有 y=[ x]是 N 函数. ①∵当 x∈N*时,{y|y=x2} N*,如 3 不是函数 y=x2(x∈N*)的函 数值,∴y=x2 不是 N 函数; ②同理,∵当 x∈N*时,y=2x-1 为奇数,∴y=2x-1 不是 N 函数; ③对于任意 x∈N*,当 n2≤x<(n+1)2 时,y=[ x]=n,∴y=[x] 是 N 函数. (2)函数 g(x)=[lnx]+1 是 N 函数. 证明如下: 显然,?x∈N*,g(x)=[lnx]+1∈N*. 不妨设[lnx]+1=k,k∈N*. 由[lnx]+1=k 可得 k-1≤lnx<k, 即 1≤ek-1≤x<ek. 因为?k∈N*,恒有 ek-ek-1=ek-1(e-1)>1 成立, 所以一定存在 x∈N*,满足 ek-1≤x<ek, 所以?k∈N*,总存在 x∈N*满足[lnx]+1=k, 所以函数 g(x)=[lnx]+1 是 N 函数. (3)①当 b≤0 时,有 f(2)=[b· a2]≤0, 所以函数 f(x)=[b· ax]都不是 N 函数. ②当 b>0 时,1° 若 a≤0,有 f(1)=[b· a]≤0, 所以函数 f(x)=[b· ax]都不是 N 函数. 2° 若 0<a≤1,由指数函数性质易得 b· ax≤b· a, 所以?x∈N*,都有 f(x)=[b· ax]≤[b· a],

所以函数 f(x)=[b· ax]都不是 N 函数. 3° 若 a>1,令 b· am+1-b· am>2,则 m>loga 2 , b· ?a-1?

所以一定存在正整数 k 使得 b· ak+1-b· ak>2, 所以?n1,n2∈N*,使得 b· ak<n1<n2<b· ak+1, 所以 f(k)<n1<n2≤f(k+1). 又因为当 x<k 时,b· ax<b· ak,所以 f(x)≤f(k); 当 x>k+1 时,b· ax>b· ak+1,所以 f(x)≥f(k+1), 所以?x∈N*,都有 n1?{f(x)|x∈N*}, 所以函数 f(x)=[b· ax]都不是 N 函数. 综上所述,对于任意实数 a,b,函数 f(x)=[b· ax]都不是 N 函数. 21. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 北京市海淀区期末)已知函数 f(x) =(x+a)ex,其中 a 为常数. (1)若函数 f(x)在区间[-3,+∞)上的增函数,求实数 a 的取值范 围; (2)若 f(x)≥e2 在 x∈[0,2]时恒成立,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)f ′(x)=(x+a+1)ex,x∈R, 因为函数 f(x)是区间[-3,+∞)上的增函数, 所以 f ′(x)≥0,即 x+a+1≥0 在[-3,+∞)上恒成立. 因为 y=x+a+1 是增函数, 所以只需-3+a+1≥0,即 a≥2. (2)令 f ′(x)=0,解得 x=-a-1, f(x),f ′(x)的变化情况如下:

①当-a-1≤0,即 a≥-1 时,f(x)在[0,2]上的最小值为 f(0), 若满足题意只需 f(0)≥e2,解得 a≥e2, 所以,此时 a≥e2; ②当 0<-a-1<2, 即-3<a<-1 时, f(x)在[0,2]上的最小值为 f(- a-1), 若满足题意只需 f(-a-1)≥e2,此不等式无解, 所以 a 不存在; ③当-a-1≥2,即 a≤-3 时,f(x)在[0,2]上的最小值为 f(2), 若满足题意只需 f(2)≥e2,解得 a≥-1, 所以此时,a 不存在. 综上讨论,所求实数 a 的取值范围为[e2,+∞). (理)(2014· 武汉市调研)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛,其中 两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁 1 判.设各局中双方获胜的概率均为2,各局比赛的结果相互独立,第 1 局甲当裁判. (1)求第 4 局甲当裁判的概率; (2)用 X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的分布列和数学期 望. [解析] 解法 1:(1)用 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”, A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,甲负”, A 表示事件“第 4 局甲当裁判”.

1 1 则 A=A1· A2,P(A1)=2,P(A2)=2, 1 ∴P(A)=P(A1· A2)=P(A1)P(A2)=4. (2)X 的可能取值为 0,1,2. 记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”, B1 表示事件“第 1 局丙和乙比赛时,结果为乙胜丙”, B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”, B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙负”. 1 则 P(X=0)=P(B1· B2· A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=8, 1 P(X=2)=P(- B 1· B3)=P(- B 1)P(B3)=4, 1 1 5 P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-8-4=8. ∴X 的分布列为 X P 0 1 8 1 5 8 2 1 4

1 5 1 9 ∴E(X)=0×8+1×8+2×4=8. 解法 2:四局比赛所有可能情况如下树状图: 第一局 第二局 第三局 第四局

由树状图知, 1 (1)第 4 局甲当裁判的概率为 P=4. 1 5 1 (2)P(X=0)=8,P(X=1)=8,P(X=2)=4, 1 5 1 9 ∴E(X)=0×8+1×8+2×4=8. 22.(本小题满分 14 分)(文)(2014· 佛山质检)如图所示,已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(-1,0)、F2(1,0),且 F2 到直线 x- 3y-9=0 的距离等于椭圆的短轴长.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 的圆心为 P(0,t)(t>0),且经过 F1、F2,Q 是椭圆 C 上 的动点且在圆 P 外,过 Q 作圆 P 的切线,切点为 M,当|QM|的最大

3 2 值为 2 时,求 t 的值. [ 解析 ] x2 y2 (1) 设椭圆的方程为 a2 + b2 = 1(a>b>0) ,依题意, 2b =

|1-9| 2 =4,所以 b=2, 又 c=1,所以 a2=b2+c2=5, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 5 + 4 =1. x2 y2 (2)设 Q(x,y)(其中 5 + 4 =1),圆 P 的方程为 x2+(y-t)2=t2=1, 因为 PM⊥QM, 所以|QM|= |PQ|2-t2-1= x2+?y-t?2-t2-1 = 1 -4?y+4t?2+4+4t2,

1 若-4t≤-2 即 t≥2, 则当 y=-2 时, |QM|取得最大值, 且|QM|max 3 2 3 1 = 4t+3= 2 ,解得 t=8<2(舍去). 1 若-4t>-2 即 0<t<2, 则当 y=-4t 时, |QM|取最大值, 且|QM|max 3 2 = 4+4t2= 2 , 1 1 2 解得 t2=8,又 0<t<2,所以 t= 4 . 2 3 2 综上,当 t= 4 时,|QM|的最大值为 2 . x2 y2 (理)(2014· 山东省烟台市期末)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 右 焦点分别为 F1、F2,且|F1F2|=2 2,长轴的一个端点与短轴两个端点 组成等边三角形的三个顶点.

(1)求椭圆方程; (2)设椭圆与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0, -1),当|AM|=|AN|时,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)由已知,可得 c= 2,a= 3b, ∵a2=b2+c2,∴a= 3,b=1, x2 2 ∴ 3 +y =1. (2)当 k=0 时,直线和椭圆有两交点只需-1<m<1; 当 k≠0 时,设弦 MN 的中点为 P(xP,yP),xM、xN 分别为点 M、 N 的横坐标,

?y=kx+m, 由?x2 2 ? 3 +y =1,

消去 y 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,

由于直线与椭圆有两个不同的交点, ∴Δ>0,即 m2<3k2+1,① xP= xM+xN 3mk =- , 2 3k2+1

yP+1 m+3k2+1 m 从而 yP=kxP+m= 2 ,kAP= x =- 3mk , 3k +1 P 又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN, m+3k2+1 1 则- 3mk =-k,即 2m=3k2+1,② 将②代入①得 2m>m2,解得 0<m<2, 由②得 k2= 2m-1 1 >0 ,解得 m > 3 2,

1 故所求的 m 取值范围是(2,2).

1 综上知,k≠0 时,m 的取值范围是(2,2); k=0 时,m 的取值范围是(-1,1).


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