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解析几何专题测试卷重点学生


解析几何专题训练卷(重点学生)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合目要求的) 1.若直线 L:y=kx- 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限, 则直线 L 的倾斜角的取值范围是 ( A. [ , )
? ? 6 3

) C.( , )
? ? 3 2
<

br />B.( , )

? ? 6 2

D. [ , )

? ? 6 2

2.设圆(x+3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两点到直线 4x-3y=2 的 距离等于 1,则圆的半径 r 的取值范围为 ( A.1<r< )

6 4 4 6 B.r> C. <r< D. r>1 5 5 5 5 x2 y2 3. 椭圆 ? ? 1 上有 n(n∈N*)个不同的点:P1,P2,?,Pn,椭 4 3

圆的右焦点为 F,数列{PnF}是公差不小于 0.01 的等差数列,则 n 的 最大值是 A.199 B.200 C.198 D.201

4.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物 线上的一点, FA 与 X 轴正向的夹角为 600,则 | OA |为( A.
21 p 4

) D.
13 p 36

B.

21p 2

C.

13 p 6

5.直线 x=t 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点且与双曲线的 a2 b2

两条渐近线分别交于 A、B 两 点,若原点在以 AB 为直径的圆外, 则双曲线的离心率的取值范围是 ( A. (1,2) B. (1, 2 ) ) D.( 2 ,? ? )

C. (1, 3

6.对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2] C.[0,2] D.(0,2)

7.若 k∈[-2,2],则 k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x2+y2+kx-2y- k=0 相切的概率等于 ( A.
1 2

5 4

)
3 4

B.

1 4

C.

D. 不确定

x2 y 2 y2 2 ? ? 1( a > b > 0) C : x ? ?1 2 2 2 4 8.已知椭圆 a b 与双曲线 有公共的焦点, C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好 C1 :

将线段 AB 三等分,则( (A)
a2 ? 13 2


2

(B) a ? 13

(C)

b2 ?

1 2

2 (D) b ? 2

9. 如图, ?ADP 为正三角形,四边形 ABCD 为正方形,平面 PAD ? 平面 ABCD 。 M 为平面 ABCD 内的一动点,且满足 MP ? MC ,则点 M 在正方 形 ABCD 内的轨迹为( O 为正方形 ABCD 的中心)

10.若实数 a、b、c、d 满足 (b-d)2 的最小值为(
1 A. 10 2 B. ln 2 5

3 1 a 2 ? 2 ln a =1,C- = d,则(a-c)2+ 4 3 b


2 C. (1-ln2)2 5

(9 ? 2 ln 3) 2 D. 10

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知抛物线 y2=4x 上的点 P 到抛物线的准线距离为 d1,到直线 3x -4y+9=0 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是 。 2 y 12.设 F1,F2 分别是双曲线 x2- 9 =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲 →· → =0,则|PF → +PF → |=________. 线上,且PF PF
1 2 1 2

13. 在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y= 3 x+2m 和圆 x2+y2=n2

相切,其中 m,n∈N*,0<| m-n |≤1,若函数 f (x)=mx+1-n 的零点 x0∈(k,k+1) ,k∈Z,则 k= 14. 有一系列椭圆 Ck :
x2
2 ak

?

y2
2 bk

? 1 , k ? 1,2,3,?, n .所有这些椭圆都以

1 x ? 1 为准线,离心率 ek ? ( ) k , k ? 1,2,3, ? .则这些椭圆所有长轴的和 2

? _____________.

15.已知两个点 M(-5、0)和 N(5、0) ,若直线上存在点 P,使|PM| -|PN|=6 则称该直线为“B 型直线”给出下列直线:①y=x+1,②y = x, ③y=2,④y=2x+1, 其中为 “B 型直线” 的是
4 3

(填序号)

三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 75 分) 16.设直线 L 的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈ R). (1)若直线 L 在两坐标轴上的截距相等,求直线 L 的方程; (2)若 a>-1,直线 L 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点,求△ OMN 面积取最大值时,直线 L 对应的方程. 17.已知圆 C:x2+(y-a)2=4,点 A(1,0). (1)当过点 A 的圆 C 的切线存在时,求实数 a 的取值范围; 4 5 (2)设 AM、AN 为圆 C 的两条切线, M、N 为切点,当|MN|= 5 时,求 MN 所在直线的方程. y2 x2 18. 如图 4, 设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右顶点与上顶点分别为 A、 B, 以 A 为圆心、OA 为半径的圆与以 B 为圆心、OB 为半径的圆相交于 点 O、P. 3 (1)若点 P 在直线 y= 2 x 上,求椭圆的离心率; (2)在(1)的条件下,设 M 是椭圆上的一动点,且点 N(0,1)到 M 点 的距离的最小值为 3,求椭圆的方程. 19、在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F (1,0),直线 l : x ? ?1 ,点
P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF

y Q

与 y 轴的交点,

P R -1 o

RQ ? FP, PQ ? l .

F 1

x

(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹的方程; (Ⅱ) 记 Q 的轨迹的方程为 E ,过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的弦 AB 、 CD ,设 AB 、 CD 的中点分别为 M,N .求证:直线 MN 必过定 点 R(3,0) . 20.(本小题满分 13 分)已知点 M(-1,0),N(1,0),动点 P(x,y)满
4 足:|PM|·|PN|= 1 ? cos ?MPN

. ①求 P 的轨迹 C 的方程;②是否存在过点 N(1,0)的直线 L 与曲 线 C 相交于 A、B 两点,并且曲线 C 存在点 Q,使四边形 OAQB 为 平行四边形?若存在,求出直线 L 的方程,若不存在,说明理由。
x2 y2 ? 2 2 21.(本小题满分 14 分)已知双曲线 a b =1(a>0,b>0)的右顶 a2 点为 A,右焦点为 F ,x= c 与 x 轴交于点 B,且与一条渐近线交于

点 C,点 O 为坐标原点,又 OA =2 OB , OA · OC =2,过点 F 的直线 与双曲线右支交于点 M、N,点 P 为点 M 关于 X 轴的对称点。 ①求双曲线的方程; ②证明 B、P、N 三点共线; ③求△BMN 面积的最小值。

参考答案 3、有椭圆上一点到焦点的距离的最值知答案为 D. y2 y2 0 0 2 5、 解析: 设点 Q 的坐标为( 4 , y0), 由|PQ|≥|a|, 得 y0+( 4 -a)2≥a2. 2 2 2 整理得:y0 (y0+16-8a)≥0,∵ y2 y0 +16-8a≥0. 0≥0,∴ 2 2 y0 y0 即 a≤2+ 8 恒成立,而 2+ 8 的最小值为 2,∴ a≤2. 答案:B 6、解析:建立平面直角坐标系,由立体几何知识,可知选 A.

8.考查圆、椭圆和双曲线的相关知识,答案选 C 12、由点到直线的距离公式计算出 m 和 n,答案为 0. y2 13、解析:设 F1,F2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、右焦点. →· → → → → 若点 P 在双曲线上,且PF 1 PF2=0,则|PF1+PF2|=2|PO|=|F1F2| =2 10. 答案:2 10
2

14、答案:. 2 ?
(k ? 1,2,?, n) ,
n n

c c 1 k 由题设 k ? 1 ,则 k ? a k ? ek ,于是 a k ? ( ) , 2 n ?1 2 ak ak 2

1

1 1 ( ? 1) 1 1 k 2 2n ? 2? . ? ? 2ak ? ? 2( ) ? 2 ? n ?1 1 2 2 k ?1 k ?1 ?1 2

16、解:(1)显然 a≠-1,当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两 坐标轴上的截距都为 0,此时 2+a=0,解得 a=-2,此时直线 l 的 方程为-x+y=0,即 x-y=0; 当直线 l 不经过坐标原点,即 a≠-2 时,由直线在两坐标轴上的 2+a 截距相等可得 =2+a,解得 a=0,此时直线 l 的方程为 x+y-2 a +1 =0.所以,直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0. 2+a (2)由直线方程可求得 M( ,0)、N(0,2+a),又因为 a>-1, a+1 2 2 1 2+a 1 + +1] 1 + + + +1 1 故 S△ OMN = 2 × × (2 + a) = 2 × =2× =2 a +1 a+1 a+1 1 1 1 × [(a + 1) + + 2]≥ 2 × [2 +1 + 2] = 2 ,当且仅当 a + 1 = a+1 a+1 1 ,即 a=0 或 a=-2(舍去)时等号成立.此时直线 l 的方程为 x+ a+1 y-2=0. 17、解:

图3 (1)过点 A 的切线存在,即点 A 在圆外或圆上,

∴ 1+a2≥4, ∴ a≥ 3或 a≤- 3. (2)如图 3,设 MN 与 AC 交于点 D. 4 5 2 5 ∵ |MN|= 5 ,∴ |DM|= 5 . 4 4 又|MC|=2,∴ |CD|= 4-5= , 5 4 5 2 2 ∴ cos∠ MCA= 2 = ,∴ |AC|= 2 = 5, 5 5 ∴ |OC|=2,|AM|=1,MN 是以 A 为圆心,半径 AM=1 的圆 A 与圆 C 的公共弦,圆 A 的方程为(x-1)2+y2=1,圆 C 的方程为 x2 +(y-2)2=4 或 x2+(y+2)2=4, ∴ MN 所在直线方程为(x-1)2+y2-1-x2-(y-2)2+4=0,即 x -2y=0 或(x-1)2+y2-1-x2-(y+2)2+4=0,即 x+2y=0, 因此,MN 所在的直线方程为 x-2y=0 或 x+2y=0.

图4 18、解:(1)因为 OP 是圆 A、圆 B 的公共弦,所以 OP⊥ AB,即 3 2 a kAB· kOP=-1,又易得 kOP= 2 ,所以 kAB=- ,又 kAB=-b,所 3 3 c 1 以 b2=4a2,而 a2-c2=b2,∴ e=a=2. 3 2 y2 4x2 2 (2)由(1)知 b =4a ,所以所求椭圆的方程为a2+3a2=1,设 M(x, y), 3 3 1 3 则 |MN|2 = x2 + (y- 1)2 = 4 a2 - 4 y2 + y2 - 2y+ 1 = 4 (y- 4)2 - 3 + 4 a2,其中-a≤y≤a. (ⅰ )当 0<a<4 时,则当 y=a 时,|MN|2 有最小值 a2-2a+1,由 a2 -2a+1=9 得 a=-2 或 a=4(都舍去);

3 3 (ⅱ )当 a≥4 时,则当 y=4 时,|MN|2 有最小值4a2-3,由4a2-3 =9 得 a=± 4(舍去负值). y2 x2 综上所述,a=4 时,所求椭圆的方程为16+12=1.

19.解:(Ⅰ)依题意知,直线 l 的方程为: x ? ?1 .点 R 是线段 FP 的中

点,且 RQ ⊥ FP ,∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线.
P

y Q R

∴ PQ 是点 Q 到直线 l 的距离. ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ PQ ? QF . 故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,其 方程为: y2 ? 4x( x ? 0) . (Ⅱ) 设 A?x A , y A ?, B?xB , y B ? , M ?xM , yM ?,N ?xN , y N ? ,直线 AB 的方程为
y ? k ( x ? 1)
-1 o F 1 x

2 ? (2) ? y B ? 4xB 4 2 (1)—(2)得 y A ? y B ? ,即 y M ? , k k 2 代入方程 y ? k ( x ? 1) ,解得 x M ? 2 ? 1 . k 2 2 所以点M的坐标为 ( 2 ? 1 , ) . k k 同理可得: N 的坐标为 (2k 2 ?1, ? 2k ) . y ? yN k ? 直线 MN 的斜率为 k MN ? M ,方程为 xM ? x N 1 ? k 2 k y ? 2k ? ( x ? 2k 2 ? 1) ,整理得 y(1 ? k 2 ) ? k ( x ? 3) , 2 1? k 显然,不论 k 为何值, (3 , 0) 均满足方程,

则? ?

? y A 2 ? 4x A

(1)

所以直线 MN 恒过定点 R (3 , 0) . 20. (I)设 O 为原点,则 PA ? PB =2 PO , QA ? QB =2 QO 。 而 PA ? PB = ? QA ? QB ,得 PO = ? QO ,于是 O、P、Q 三点共线。 因为 PF ? 3QF ? 所以 PF∥QF/,且 PF ? 3 QF ? ,得

?

?

??

OP OQ

?

PF QF ?

?

OF OF ?

? 3,
2 6 . 双曲线的离心率为 . 2 2

a2 ? b2 ∴ 2 2 ? 3, a ?b

因此椭圆的离心率为

(II)设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,
x12 y12 ? ? 1 则 x12 ? 2b 2 ? 2 y12 . 2 2 2 2 2b b 2b b y1 y1 2 x1 y1 x1 所以 k1 ? k 2 ? ① ? ? ? 。 x1 ? a x1 ? a x12 ? 2b 2 y1

点 P 在双曲线

x2

?

y2

? 1 的上,有

2 2 。 ? ? 1 上,有 x2 ? 2b 2 ? ?2 y2 2b 2 b 2 x 同理可得 k3 ? k 4 ? ? 2 ② y2 x x ∵O、P、Q 三点共线。∴ 1 ? 2 。由①、②得 k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0 。 y1 y2

又由点 Q 在椭圆

x2

y2

21、 (1)由 c=1 知 B(0,1) ,?OH ? (3 ? 2 3)HB
? x H ? 0, y H ? 3 1 3 3 即 H (0, ) , 点 C 在单位圆上, ?C ? ( , ) 2 2 2 2 4?2 3 2 2 x y 设双曲线 E 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). a b ? 2 3 ?a 2 ? b 2 ? 1 ?a ? 1 ? ? 2 由点 C 在双曲线 E 上,半焦距 c=1 有: ? 解得? ? 1 3 ? 2 ? 2 ?1 ?b 2 ? 3 4b ? 4a ? 2 ? ? 3? 2 3

所以双曲线 E 的方程为:

x2 3 1? 2

?

y2 3 2

?1

(2)证明:? A1 (?c,0), B(0, c),由OH ? (3 ? 2 3)HB
3 1 3 c), C ( c, c); 2 2 2 x2 y2 设双曲线 E 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). a b 2 2 2 ?a ? b ? c ① ? 2 ?? c2 3c ? 2 ? 2 ?1 ② 4b ? 4a ①代入②,化简整理得 3a 4 ? 6a 2 b 2 ? b 4 ? 0 c2 b b b b ? ( ) 4 ? 6( ) 2 ? 3 ? 0 解得 ( ) 2 ? 3 ? 2 3 又 e 2 ? 2 ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? 2 3. a a a a a

得: H (0,

? e ? 4 ? 2 3 ? 3 ? 1 ,即双曲线

E 的离心率是与 c 无关的常数.
c 2 3c ) 2

(3)假设存在实数 ? ,使 A1 F ? ? FC 恒成立, A1 (?c,0), C ( ,
c 3 ?? ?? 2 ,y ? 2 有 xF ? F 1? ? 1? c(? ? 2) 3c? 点F ?( ), , 点 C、F 都在双曲线 E 上,故有 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) ?c?

? c2 3c 2 ? ?1 ③ ? 2 4b 2 ? 4a ? 2 2 2 2 ? c (? ? 2) ? 3c ? ?1 2 2 ④ ? 4b 2 (1 ? ? ) 2 ? 4a (1 ? ? ) 3c 2 c2 e2 ? 4 2 由③得 e ? 2 ? 4 ? 2 ? ⑤ 3 b b e 2 (? ? 2) 2 ?2 2 ⑤代入④得 ? ( e ? 4 ) ? ? 1化简整理得 ? ?e 2 ? e 2 ? 2? ? 1 4(1 ? ? ) 2 4(1 ? ? ) 2
e2 ?1 3 ? 2 3 1? 3 , 利用 (2)小题的结论得: ? ? ? 2 e ?2 4 6?2 3 1? 3 故存在实数 ? ? ,使 A1 F ? ? FC 恒成立. 4

即? ?


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