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高考数学专题八解析几何第练抛物线练习(新)-课件


【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题八 解析几何 第 68 练 抛物线练习
训练目标 训练题型 解题策略 熟练掌握抛物线的定义及几何性质,能利用定义、几何性质解决有关问题. (1)求抛物线方程;(2)利用定义、几何性质求最值、参数范围、弦长等. (1)利用定义进行转化;(2)掌握关于弦长、焦半径的重要结论;(3)恰当运用函 数与方程思想、数形结合思想.

一、选择题 1.(2015?江西九校联考(一))若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点

P 的轨迹为(
A.圆 C.双曲线

) B.椭圆 D.抛物线

2.(2015?宁夏银川九中第四次月考)已知抛物线的方程为标准方程,焦点在 x 轴上,其上点

P(-3,m)到焦点的距离为 5,则抛物线方程为(
A.y =8x C.y =4x
2 2

)

B.y =-8x D.y =-4x
2 2

2

3. (2015?山西大学附中第一学期月考)若抛物线 y=ax 的焦点坐标是(0,1), 则 a 等于( 1 A.1 B. 2 1 C.2 D. 4
2

)

4. (2015?长春一模)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 120°的直线 l 与抛物线在 |AF| 第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 的值等于( |BF| A. 1 2 B. 3 3 3 C. 4 4 D. 3 )

5.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=- ,若抛物线 C:y =2px(p>0)上的点到直线 2

p

2

l1 和 l2 的距离之和的最小值为 2,则抛物线 C 的方程为(
A.y =8x C.y = 2
2 2 2

)

B.y =4x D.y = 3 )
2

2

x

x

6.圆心在抛物线 y =4x 上,与直线 3x+4y-3=0 相切于抛物线的焦点的圆的方程为( A.(x-1) +(y-2) =4 B.(x-1) +(y-2) =4 或(x-4) +(y-4) =25 C.(x-4) +(y-4) =25
2 2 2 2 2 2 2 2

1

1 2 25 2 2 2 D.(x- ) +(y+1) = 或(x-4) +(y-4) =25 4 16 7.(2015?九江第一次模拟)过抛物线 y =8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,交抛物
2

→ → 线的准线于 C,若|AF|=6,B C =λ FB,则 λ 的值为(
A. 3 3 B. 4 2 C. 3 D.3
2

)

8.(2015?河北普通高中 1 月教学质量检测)已知抛物线 y =8x 的焦点为 F,直线 y=k(x+ 2)与抛物线交于 A,B 两点,则直线 FA 与直线 FB 的斜率之和为( A.0 B.2 C.-4 D.4 二、填空题 9.已知抛物线 y =2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,若点 A(3,2),则|PA|+|PF|取 最小值为________. 10.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半 径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是________________. 11.(2015?潍坊 4 月模拟)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,O 为坐标原点,M 为抛物线上一 点,且|MF|=4|OF|,△MFO 的面积为 4 3,则抛物线方程为________. 12.(2015?江西横峰中学第一次联考)如图所示,点 F 是抛物线 y = 8x 的焦点,点 A,B 分别在抛物线 y =8x 及圆(x-2) +y =16 的实线 部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴,则△FAB 的周长的取值范围是 ________________.
2 2 2 2 2 2 2

)

2

答案解析 1.D [依题意知,点 P 到直线 x=-2 的距离等于它到点(2,0)的距离, 故点 P 的轨迹是抛物线,故选 D.] 2.B [依题意设抛物线方程为 y =-2px(p>0), 则 -(-3)=5, 2 ∴p=4,∴抛物线方程为 y =-8x.] 1 2 3.D [因为抛物线的标准方程为 x = y,
2 2

p

a

1 所以其焦点坐标为(0, ), 4a 1 1 则有 =1,a= ,故选 D.] 4a 4 4.A [设抛物线的准线为 l:x=- ,设|FB|=m,|FA|=n, 2 过 A,B 两点向准线 l 作垂线 AC,BD, 由抛物线定义知:|AC|=|FA|=n,|BD|=|FB|=m, 过 B 作 BE⊥AC,E 为垂足, |AE|=|CE|-|AC|=|BD|-|AC|=m-n, |AB|=|FA|+|FB|=n+m. ∠BAE=60°,在 Rt△ABE 中, |AE| m-n 1 cos 60°= = = , |AB| m+n 2 即 m=3n.

p

m
故 |AF| n 3 1 = = = .] |BF| m m 3

5.B [由定义知,直线 l2 为抛物线的准线, 抛物线的焦点坐标为 F( ,0). 2 由抛物线定义知, 抛物线上的点到直线 l2 的距离等于其到焦点 F 的距离, 所以抛物线上的点到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为焦点 F 到直线 l1 的距离, |2p+6| 所以 2= ,则 p=2, 5

p

3

所以抛物线方程为 y =4x.] 6.D [由题意知,抛物线的焦点为(1,0), 设圆心为(a,b),则 b =4a, 因为圆与直线 3x+4y-3=0 相切于点(1,0), 所以
2

2

b 4 = , a-1 3
2

b =4a, ? ? 解方程组? b 4 = , ? ?a-1 3

1 ? ?a= , 得? 4 ? ?b=-1,

或?

?a=4, ? ? ?b=4,

1 所以圆心为( ,-1)或(4,4), 4 则圆的半径分别为 r1= 1 5 2 ( -1) +1= , 4 4

r2= (4-1)2+42=5.
1 2 25 2 所以所求圆的方程为(x- ) +(y+1) = 4 16 或(x-4) +(y-4) =25.] 7.D [设 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),C(-2,y3), 则 x1+2=6,解得 x1=4,y1=4 2. 直线 AB 的方程为 y=2 2(x-2), 令 x=-2,得 C(-2,-8 2).
2 2

?y =8x, 联立方程组? ?y=2 2(x-2),

2

解得 B(1,-2 2),

∴|BF|=1+2=3,|BC|=9,∴λ =3,故选 D.] 8.A [设 A(x1,y1),B(x2,y2),
? ?y =8x, 则联立? ?y=k(x+2), ?
2

得 k x +(4k -8)x+4k =0, 所以 x1x2=4, 由 kFA+kFB= = =

2 2

2

2

y1 y2 + x1-2 x2-2

k(x1+2) k(x2+2) + x1-2 x2-2 k(x1+2)(x2-2)+k(x1-2)(x2+2) (x1-2)(x2-2)

4



2k(x1x2-4) , (x1-2)(x2-2)

将 x1x2=4 代入,得 kFA+kFB=0.] 9. 7 2
2

解析 将 x=3 代入抛物线方程 y =2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴点 A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d, 2 则由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 当 PA⊥l 时,|PA|+d 取得最小值, 7 则|PA|+|PF|的最小值为 . 2 10.(2,+∞) 解析 如图,过 M 作抛物线的准线 y=-2 的垂线,垂足为 N, 并设 y 轴与 y=-2 交于点 A, 则由 F(0,2)知 d=|FA|=4,

r=|MF|=|MN|=y0+2,
由题意得,d<r,即 4<y0+2, ∴y0>2. 11.y =8x 解析 设 M(x0,y0),因为|OF|= ,|MF|=4|OF|, 2 所以|MF|=2p,由抛物线的定义得 x0+ =2p, 2 3p 得 x0= ,y0=± 3p, 2 1 1 p 因为 S△MOF= ?|OF|?|y0|= ? ? 3p 2 2 2 =4 3, 所以 p=4,得抛物线方程为 y =8x. 12.(8,12) 解析 易知圆(x-2) +y =16 的圆心坐标为(2,0), 则圆心为抛物线 y =8x 的焦点, 圆(x-2) +y =16 与抛物线 y =8x 在第一象限交于点 C(2,4), 作抛物线 y =8x 的准线 x=-2,
5
2 2 2 2 2 2 2 2 2

p

p

过点 A 作 AD 垂直于直线 x=-2,垂足为点 D, 由抛物线的定义可知|AF|=|AD|, 则|AF|+|AB|=|AD|+|AB|=|BD|, 当点 B 位于圆(x-2) +y =16 与 x 轴的交点(6,0)时, |BD|取最大值 8, 由于点 B 在实线上运动,因此当点 B 与点 C 重合时, |BD|取最小值为 4,此时 A 与 B 重合, 因为 F,A,B 构成三角形, 所以 4<|BD|<8,所以 8<|BF|+|BD|<12, 所以△FAB 的周长的取值范围是(8,12).
2 2

6



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