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2016高考数列专题 绝对值分组求和分奇偶求和


题型四:几种比较特殊的求 an 以及求 Sn 方法(整体退位求 an ,绝对值分组求和 以及分奇偶求和) (一)整体退位求 an :整体退位求 an 还是采用之前讲过的退位法求通项,但是此
种类型题目里往往不会出现 S n 或 Tn 的求和形式,而是一串东西加起来等于某数列, 例如: a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? ? ? 2
3 n ?1

/>
an ?1 ? 22 an ? 2n ? 1 。

☆切记:要把一串东西加起来看成某个数列求和,令其为 S n ,再采用退位法求 an .

典型例题讲解:
例 1:已知在等比数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ? ? nbn ? an ( n ? N ) ,求 {bn } 的通项公式 bn 。
*

(2014 届浙江省五校联盟高三下学期第一次联考文)

例 2:等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1, d ? 0, 且 a2 , a5 , a14 分别是等比数列 ?bn ? 的 b2 , b3 , b4 . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2) 数列 ?cn ? 对 n ? N 均有
?

c c1 c2 求 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? ? ? c2015 的值。 ? ? ? ? n ? an ?1 成立, b1 b2 bn

(2015 届丽水某校高三一调)

例 3:已知等差数列 {a n } 的公差不为零,且 a 3 ? 5 , a1 , a 2 , a 5 成等比数列. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? 2b2 ? 2 b3 ? L ? 2
2 n ?1

bn ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(2012 届浙江省名校新高考研究联盟第一次联考文)

例 4:已知数列 {a n } 满足: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

? ??? ?

?

an

n ?1

. ? n 2 ? 2n (其中常数 ? ? 0, n ? N ? )

设 Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和,试求出数列 {a n } 的通项公式和 Sn 的表达式。 (2014 届浙江省高考 6 月份押题密卷文)

例 4:已知正项数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,且满足 S n ? a n ? 1 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设 c n ?

1 n ?1 ,则是否存在数列 ?bn ? ,满足 b1c1 ? b2 c 2 ? ? ? bn c n ? ( 2n ? 1) 2 ? 2 an

对一切正整数 n 都成立?若存在,求出 ?bn ? 的通项公式;若不存在,请说明理由。 (2012 届浙江省宁波市鄞州区高三高考适应性考试 3 月数学文)

例 5:已知数列 ?an ? 的每项均为正数,首项 a1 ? 1. 记数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,满足

a13 ? a23 ? ??? ? an 3 ? S n 2 .
(1)求 a2 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

1 11 ,记数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . an ? an ?3 18

(鄞州区 2013 届 5 月适应性考试文)

五年真题链接:
1. (2009 湖北文) 已知 ?a n ? 是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6 ? 55 , a2 ? a7 ? 16 . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式: (2)若数列 ?a n ? 和数列 ?bn ? 满足等式: an =

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列 2 2 2 2n

?bn ?的前 n 项和 Sn

2.(2013 山东文)设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4 S2 , a2 n ? 2an ? 1 . (1) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 1 ? ? ? ? ? ? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

(二)绝对值分组求和以及分奇偶求和:绝对值求和首先要去绝对值,去绝对值要分
类讨论正负。 分奇偶求和顾名思义就是要讨论奇数和偶数, 一般情况下式子中会出现

?? 1?n 或者 cos?n? ? 。分奇偶求和还有一种题型就是一个新数列分奇偶两种情况分别
由两个已知数 列构成。例如: Cn ?

?

3n 2n

n为奇数 n为偶数 。此时要注意:

a1 代 1 还是代 2 ;

d ? 2d , q ? q 2 。
典型例题讲解:
例 1:已知单调递减的等差数列 ?an ?满足 a1 ? 10 ,公差 d 为方程 x ? x ? 6 ? 0 的根。求数
2

列 an 的前 n 项和 Sn 。

? ?

例 2:知函数 f ( x) =

7x ? 5 ,数列 ?an ? 中, 2an ?1 ? 2an ? an ?1an ? 0, a1 ? 1 且 an ? 0 , 数列 x ?1

?bn ?中, bn ? f ?an ? 1?
(1)求证:数列 ?

(2)求数列 ?bn ?的通项公式;

?1? ? 是等差数列; ? an ?

(3)求数列 bn 的前 n 项和 Sn 。 (2013 届杭二中高三上检测试卷理)

? ?

例 3:已知公差不为零的等差数列 {an } 的前 10 项和 S10 ? 55 ,且 a2,a4,a8 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列 {bn } 满足 bn ? ( ?1) an ? 2 , 求 {bn } 的前 n 项和 Tn . (2013 届丽水高三一模文)
n n

例 4:已知等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,且 a2 =17, S10 =100. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? an cos( n? ) ? 2 ( n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和
n *

(2012 届台州市四校高三上学期第一次联考文)

例 5:在数列 ?an ? 中,已知

an ?1 n ? 2, a1 ? 2, 数列 bn ? 1 ? 4 log a 2 . an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式,并证明 ?bn ? 是等差数列; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? ?

?an (an ? bn ) , 求 ?cn ? 的前 n 项和 S n . ?bn (bn ? an )

(2014 届宁波二模文理改编)

例 6:已知等差数列 ?an ?满足 a3 ? 10, a5 ? 2a2 ? 6 。 (2013 届金丽衢十二校第一次联考文) (1)求 an ;

?2n ?1 ( n为奇数) ? (2)数列 ?bn ?满足 bn ? ? 1 , Tn 为数列 ?bn ?的前 n 项和,求 T2 n 。 an ? ( 1 n为偶数) ? ?2

例 7:已知等差数列 ?a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 8, S 4 ? 40 .数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn , 且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,n ? N ? .(2015 届浙江省宁波市高三一轮复习阶段性考试数学文) (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 c n ? ?

?a n n为奇数 , 求数列 ?c n ? 的前 2n ? 1 项和 P2 n ?1 . ?bn n为偶数

例 8:已知直线 ln : y ? x ? 2n 与圆 Cn : x ? y ? 2an ? n 交于不同的两点 An、Bn ,
2 2

n ? N ? ,数列 ?an ?满足: a1 ? 1, an ?1 ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? ?

1 2 An Bn 。 4

?2n ? 1( n为奇数) ( n n为偶数) ?a

,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .(2015 届安徽江南十校联理)

五年真题链接:
1. (2011 山东卷理)等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? ( - 1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2 n .
n

2.(2012 湖北文理)已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (1)求等差数列 {an } 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

3.(2013 浙江文理)在公差为 d 的等差数列 {an } 中, a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列。 (1)求 d , an . (1)若 d ? 0 ,求| a1 |+| a2 |+| a3 |+…+| an |.

4.(2014 山东文)在等差数列 {an } 中,已知公差 d ? 2 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? an(n?1) ,记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?… ?(?1)n bn ,求 Tn .
2

5.(2014 山东理)已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? (?1)n?1 4n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

6.(2014 湖南文)已知数列 ?an? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n , n? N ? .

2

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? 2
an

? ( ?1) n an ,求数列 ?bn? 的前 2n 项和.

题型课后狂练:
1.已知数列 {an } 的前三项与数列 {bn } 的前三项对应相同, 且 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n ?1 an ? 8n 对任意的 n ? N*都成立,数列 {bn ?1 ? bn } 是等差数列。求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式。

2.已知:数列 {a n } 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ? ? 3n ?1 an ? (1)求数列 {a n } 的通项; (2)设 bn ?

n ,a? N? . 3

n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 。 an

2 3.已知数列 ?an ? , ?bn ? 分别满足 a1a2 ??? an ? n( n ? 1) ??? 2 ?1, b1 ? b2 ? ??? ? bn ? an 。

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?

? 1 ? 2 ? 的前 n 项和为 S n , 若对任意 x ? R, an S n ? ? x ? 2 x ? 9 恒成立,求 b b ? n n ?1 ?

自然数 n 的最小值.(2015 届浙江建人高复高三上第三次月考文)

4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ?

3 2 205 n ? n ,求数列 ? an ? 的前 n 项和 Tn . 2 2

5.在等差数列 ?an ? 中, S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, (1)若 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? p, an ?9 ? an ?8 ? ? ? an ? q ? n ? 10 ? ,求 S n ; (2)若 S 2 ? 16, S 4 ? 24 ,求 a1 ? a2 ? ? ? an .

6.在等差数列 {a n } 中, a16 ? a17 ? a18 ? a9 ? ?36, 其前 n 项和为 S n . (1)求 S n 的最小值,并求出 S n 的最小值时 n 的值; (2)求 Tn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n .

7.设数列 {a n } 满足 a1 ? ?5, a n ?1 ? 2a n ? 3n ? 1 ,已知存在常数 p, q 使数列 {a n ? pn ? q} 为等比数列. (1)求常数 p, q 及 {a n } 的通项公式. (2)解方程 a n ? 0 . (3)求 a1 ? a 2 ? ? ? a n .

8. 已知 ?an ? 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 是等比数列, 首项 b1 =1,且 a2b2 ? 12 , S3 ? b2 ? 20 。 (1)求 ?an ? 和 {bn } 的通项公式。 (2)数列 ?cn ?满足 cn ? ( ?1) an ? bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn 。
n

9.在 等 差 数 列 ?an ? 和等比数列 {bn } 中, a1 ? 1, b1 ? 2, bn ? 0( n ? N ) ,且 b1 , a2 , b2 成等
?

差数列, a2 , b2 , a3 ? 2 成等比数列。 (1)求 ?an ? 和 {bn } 的通项公式。 (2)求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? (b3 ? a3 ) ? ? ? ? ? (bn ? ( ?1) an ) 。
n

?

?

10.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 .其前 n 项和为 S n .(2010 山东文理改编) (1)求 an 及 S n (2)令 bn ? cos??n ? 1?? ? ? an ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn

11.已知 ?an ? 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 是等比数 列,首项 b1 =1,且 a2b2 ? 12 , S3 ? b2 ? 20 。 (1)求和 {bn } 的通项公式。 (2)数列 ?Cn ?满足 Cn ? ?

?an n为奇数 ,求数列 ?Cn ?的前 2n ? 1 项和 T2 n ?1 。 b n 为偶数 ? n

12.数列 ?an ? 是首项为 4, 公差为 1 的等差数列, 且 S n ? n ? 2n. S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,
2

(1)求 ?an ? 及 {bn } 的通项公式. (2)若 ?Gn ?满足 Gn ? ?

?an n为奇数 ,求数列 ?Gn ?的前 2n 项和 Q2 n 。 b n 为偶数 n ?

13.设等差数列 {an },{bn } 前 n 项和 S n ,Tn 满足 函数 g ( x) ? (1)求 A; (3)若 d n ? ?

S n An ? 1 a3 a 2 ,且 ? ? 7 ? , S2 ? 6 Tn 2n ? 7 b4 ? b6 b2 ? b8 5

1 ? x ? 1? ,且 cn ? g(cn?1)(n? N, n ?1), c1 ?1. 2
(2)求数列 {a n }及{c n } 的通项公式;

?a n (n为奇数) , 试求d1 ? d 2 ? ? ? d n . ?c n (n为偶数)


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