陕西省宝鸡市石油中学2013届高三5月模拟数学理试题

宝鸡石油中学 2013 年高三数学练考卷 (理科)
宝鸡石油中学高三数学备课组
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1 ． 设全集 U ? R , A ? { x | ? x ? 3 x ? 0 }, B ? { x | lg x ? 0 } ，则图中阴影部分表示的集合为
2

(

) B. { x | 0 ? x ? 3}
2

A. { x | x ? 1}

C. { x | 0 ? x ? 1}

D. ? (第 1 题)

2. 若复数 z ? A．0

x ? ( x ? x )i i

（ x ? R ）为纯虚数，则 x 等于( C.-1 D.0 或 1

)

B.1

3．设 a , b ? R ,则“ a ? 2 且 b ? 1 ”是“ a ? b ? 3 且 a b ? 2 ”的( A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

)

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知四棱锥的俯视图是边长为 2 的正方形及其对角线（如下图），主 视图与左视图都是边长为 2 的正三角形，则其全面积是( ) A. 4
3

B. 4

? 4

3

C.8

D.12

a 5． 各项为正数的等比数列 { a n } 中， 1 a 5 ? 2 a 3 a 6 ? a 1 a 11 ? 16 ， a 3 ? a 6 则

的值为（ A．3

） B．4

C．5

D．6

6. △ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，
a sin A sin B ? b cos
2

A ?

2 a ，则

b a

? （

） D． 2 3

A． 2

B． 2 2
? lo g 2 x , x ? 0 ? ? ?
2

C． 3

7. 若函数 f ( x ) ? ? lo g ( ? x ), x ? 0 ,若 af ( ? a ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是（ 1

）

A. ( ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1) C. ( ? 1, 0 ) ? (1, ? ? )
a x

B. ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? ) D. ( ? ? , ? 1) ? ( 0 , 1)
1 x

8. 已知 m 是二项式 ( x ? 的中间项为（ A. ?
24 x

) （ a 为常数）展开式中有理项的个数，则 (
7

? 2 ) 展开式
m

） B. ?
24 x
2

C.

24 x
2

D.

24 x

9．设点 P 是以 F1、F2 为左、右焦点的双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 左支上一点，且满足

???? ???? ? 2 ，则此双曲线的离心率为 P F1 ? P F 2 ? 0 , ta n ? P F 2 F1 ? 3

（

）

A． 3

B．

13 2

C． 5

D． 1 3
?x ? y ? 2 ? 0 ? 0 ?y ? 0 ?

2 2 10．已知关于 x 的函数 f ( x ) ? x ? 2 b x ? a ，若点 ( a , b ) 是区域 ? x ?

内任意一点,则函数 f ( x ) 在 R 上有零点的概率为（ A．
2 3

） D．
5 12

B．

1 2

C．

7 12

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）． 11． 如图所示， 程序框图 （算法流程图） 的输出结果是
?
?

.
?

12． 已知向量 a ，b ，c 满足 a ? b ? 2 c ? 0 ， a ? c ， a ? 2 ， 且
? ? c ? 1 ，则 b ?

?

?

?

?

?

?

?

．

13．在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点 O 的一条直线与函数
f (x) ? 2 x

的图象交于 P、 两点， Q 则线段 PQ 长的最小值是

________.

14．某工厂有三个车间生产不同的产品，现将 7 名工人全部分配到这三个车间，每个车间至 多分 3 名，则不同的分配方法有 种．（用数字作答）

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评分） A． (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:
?

?

2

? 2 ? cos ? ? 0

,

点 P 的极坐标为 ? 2 , 2 ? ,过点 P 作圆 C 的切线,则两条切线夹角的正切值是 ? ? B.（不等式选做题）若不等式 | x ?
1 x | ? | a ? 2 | ? 1 对于一切非零

? ?

.

实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围为__________ C.(几何证明选做题) 如图圆 O 的直径 A B ? 6 c m ,P 是 AB 的延 长 线 上 一 点 ,过 点 P 作圆 O 的 切 线 , 切点 为 C,连接 AC, 若
? C P A ? 3 0 ,则 P C ?
0

.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.(本小题满分 12 分)
?
?

已 知 平 面 向 量 a ? (cos ? , sin ? ) ， b ? (cos x , sin x ) ， c ? (sin ? , ? cos ? ) ， 其 中
? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ，且函数 f ( x ) ? ( a ? b ) c o s x ? ( b ? c ) s in x 的图象过点 ( ,1 ) ． 6

?

（1）求 ? 的值； (2) 将函数 y ? f ( x ) 图象上各点的横坐标变为原来的的 2 倍，纵坐标不变，得到函数
y ? g ( x ) 的图象，求函数 y ? g ( x ) 在 [ 0 ,

?
2

] 上的最大值和最小值．

17．(本小题满分 12 分）已知数列 ? lo g 2 ( a n ? 1)? , n ? N * 为等差数列，且 a 1 ? 3 , a 3 ? 9 . (1)求数列 { a n } 的通项公式； (2)证明：
1 a 2 ? a1 ? 1 a3 ? a2 ?? ? 1 a n ?1 ? a n ? 1.

18． （本小题共 12） 如图， 在直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中，A B ? A C ? 5 ，D ，E 分别为 B C ，
B B 1 的中点，四边形 B 1 B C C 1 是边长为 6 的正方形．

（1）求证： C E ? 平面 A C 1 D ； (2)求二面角 C ? A C 1 ? D 的余弦值．

19.(本小题满分 12 分)某高校在 2011 年自主 招生考试成绩 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成 绩分组： 1 组[75， 第 80)， 2 组[80， 第 85)， 第 3 组[85，90)，第 4 组[90，95)，第 5 组[95， 100]得到的频率分布直方图如图所 示．

频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

(1)分别求第 3，4，5 组的频率； (2) 若该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 试， (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 的概率； (ⅱ) 学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试， 设第 4 组中有 ? 名 学生被考官 D 面试，求 ? 的分布列和数学期望.

20. （本小题满分 13 分） 如图， 已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点为 F 1、 F 2 ，

其上顶点为 A .已知 ? F 1 AF 2 是边长为 2 的正三角形. （1）求椭圆 C 的方程； (2) 过点 Q ( ? 4 , 0 ) 任作一直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两 点，记 MQ ? ? ? QN . 若在线段 MN 上取一点 R , 使得 MR ? ? ? ? RN ，试判断当直线 l 运 动时，点 R 是否在某一定直线上运动？若在,请求出该定直线的方程，若不在,请说明理 由.

21．（本小题满分 14 分）已知函数 f ? x ? ? x e （1）求函数 f ? x ? 的单调区间和极值；

?x

?x? R?．

（2） 已知函数 y ? g ? x ? 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称． 证明当 x ? 1 时， f ? x ? ? g ? x ? ; (3）如果 x 1 ? x 2 ，且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ，证明 x 1 ? x 2 ? 2 ．

参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题， 每小题 5 分，共 50 分） ＣＢＡＤＢ，ＡＡＤＤＣ 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分． 11. 15; 12.
2 2 ;

13. 4 ; 14. 1050 ; 15. (1)

4 3

(2) 1 ? a ? 3

(3) 3 3

? ? b ? c o s? c o s x ? s i n? s i n x ) ? c o s ? ? x ) ( ……………………1 分 ? ? c ? cos x sin ? ? sin x cos ? ) ? sin( ? ? x ) ……………………………2 分 ? ? ? ? ? f ( x ) ? ( a ? b ) c o s x ? ( b ? c ) s in x ? a ? b
? cos( ? ? x ) cos x ? sin( ? ? x ) sin x
? cos( ? ? x ? x )

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共 6 小题，共 75 分） 16(本小题满分 12 分).解：（1）

? cos( 2 x ? ? )

……………………………4 分

∴ f ( ) ? cos(
6

?

?
3

??)?1

而， 0 ? ? ? ? ∴? ?
?
3

……………………………6 分
?
3 )，

（2）由（1）得， f ( x ) ? c o s ( 2 x ? 于是 g ( x ) ? c o s ( 2 ( 即 g ( x ) ? cos( x ? 当 x ? [0, 所以
1 2
1 2 x) ?

?
3

)，

?
3

)．

……………………………9 分
?
3 ?

?
2

] 时， ?

?
3

? x?

?
6

， ……………………………11 分

? cos( x ?

?
3

) ? 1，
1 2

即当 x ? 0 时， g ( x ) 取得最小值 当x ?
?
3

， ……………………12 分
( a n ? 1 )} 的公差为 d.

时， g ( x ) 取得最大值 1 ．

17．(本小题满分 12 分)（1）解：设等差数列 {log

2

由 a 1 ? 3, a 3 ? 9 得 lo g 2 2 ? 2 d ? lo g 2 8 , 即 d=1.
n 所以 lo g 2 ( a n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n , 即 a n ? 2 ? 1 .

………………………6 分

（2）证明： ?

1 a n ?1 ? a n

? 2

1
n ?1

? 2

n

?

1 2
n

，

?

1 a 2 ? a1

?

1 a3 ? a2

?? ?

1 a n ?1 ? a n

?

1 2
1

?

1 2
2

?

1 2
3

?? ?

1 2
n

1 ? 2

? 1?

1 2
n

?

1 2 ?1? 1 2
n

1 2

? 1.

………………………12 分

（18）. (本小题满分 12 分)

（1）证明：在直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中，
B B 1 ? 平面 A B C ，又 A D ? 平面 A B C ，

所以 B B 1 ? A D ．

因为 A B ? A C ， D 为 B C 中点， 所以 A D ? B C ．又 B C ? B B 1 ? B ， 所以 A D ? 平面 B 1 B C C 1 ． 又 C E ? 平面 B 1 B C C 1 ，所以 A D ? C E ． 因为四边形 B 1 B C C 1 为正方形， D ， E 分别为 B C ， B B 1 的中点， 所以 R t △ C B E ≌ R t △ C 1 C D ， ? C C 1 D ? ? B C E ．
? 所以 ? B C E ? ? C 1 D C ? 9 0 ．

所以 C 1 D ? C E ．

又 A D ? C1D ? D ， ……………………6 则

所以 C E ? 平面 A C 1 D ．

（ 2 ） 解 ： 如 图 ， 以 B1C 1 的 中 点 G 为 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ．
A ( 0 , 6 , 4 ), E (3, 3, 0 ), C ( ? 3, 6 , 0 ), C 1 ( ? 3, 0 , 0 ) ．

由（Ⅱ）知 C E ? 平面 A C 1 D ，所以 C E ? ( 6 , ? 3 , 0 ) 为平面 A C 1 D 的一个法向量． 设 n ? ( x , y , z ) 为平面 A C C 1 的一个法向量，
???? A C ? ( ? 3, 0 , ? 4 )

??? ?

???? ? ， C C 1 ? (0 , ? 6 , 0 ) ．

z A1 A

???? ? n ? A C ? 0, ? ?3 x ? 4 z ? 0, ? 由 ? ???? 可得 ? ? ??6 y ? 0. ? n ? C C1 ? 0. ?

令 x ? 1 ，则 y ? 0 , z ? ?

3 4

．
B1 x

C1 G E B D

C y

所以 n ? (1, 0 , ?

3 4

??? ? ) ．从而 c o s ? C E , n ? ?

??? ? CE ?n 8 ??? ? ? 25 | CE |?| n |

5 ．

因为二面角 C ? A C 1 ? D 为锐角，
8 5 25

所以二面角 C ? A C 1 ? D 的余弦值为

．……………………12

19. (本小题满分 12 分)解：(1) 第三组的频率为 0.06 ? 5=0.3； 第四组的频率为 0.04 ? 5=0.2； 第五组的频率为 0.02 ? 5=0.1. ……………………3 分 (2)(ⅰ)设 M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 P(M)=
i

C

1 28 3

=

1 145

…………—————6 分

C 30

(ⅱ) P ( ? ? i ) ?

C 2C 4 C6
2

2?i

( i ? 0 、、 ) 1 2

s%5￥u

?

0
2

1
8 15

2
1 15

P

5 8 15 2 15 2 3

——————10 分
E? ? ? ?

——————12 分

20. (本小题满分 13 分) 解（1） ? F 1 AF 2 是边长为 2 的正三角形，则 c
故椭圆 C 的方程为
x
2

? 1, a ? 2 ，……………………2 分

?

y

2

? 1.

……………………5 分

4

3

(2)直线 MN 的斜率必存在，设其直线方程为 y ? k ( x ? 4 ) ,并设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) .
?x y ? ? ?1 2 2 2 联立方程 ? 4 ，消去 y 得 ( 3 ? 4 k ) x ? 32 k x ? 64 k 3 ? y ? k (x ? 4) ?
2 2

2

? 12 ? 0 ，则

? ? 144 (1 ? 4 k ) ? 0 , x 1 ? x 2 ?
2

? 32 k 3 ? 4k

2 2

, x1 ? x 2 ?

64 k

2

? 12
2

3 ? 4k

………………8 分

由 MQ ? ? ? QN 得 ? 4 ? x 1 ? ? ( x 2 ? 4 ) ，故 ? ? ?

x1 ? 4 x2 ? 4

.

……10 分

设点 R 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ，则由 MR ? ? ? ? RN 得 x 0 ? x 1 ? ? ? ( x 2 ? x 0 ) ，解得

x0 ?

x1 ? ? x 2 1? ?

x1 ? ?

x1 ? 4 x2 ? 4

? x2 ?

2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 ) ? 8

1?

x1 ? 4 x2 ? 4
64 k
2

.

…………………11 分

又 2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?
? 32 k 3 ? 4k
2 2

? 12
2

3 ? 4k 24

? 4?

? 32 k 3 ? 4k

2 2

?

? 24 3 ? 4k
2

，

( x1 ? x 2 ) ? 8 ?

? 8 ?

3 ? 4k

2

，从而 x 0 ?

2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 ) ? 8

? ? 1 ，故点 R 在定

直线 x ? ? 1 上. …………………13 分

21. (本小题满分 14 分)
?x ?x 【解】（1） f ? ? x ? ? ? 1 ? x ? e ．令 f ? ? x ? ? ? 1 ? x ? e ? 0 ，则 x ? 1 ．

当 x 变化时， f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表：
x

? ? ? ,1 ?
?

1
0

? 1, ? ? ?
?

f ?? x?
f

?x?

增

极大值

减

所以 f ? x ? 在区间 ? ? ? ,1 ? 内是增函数，在区间 ? 1, ? ? ? 内是减函数． 函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值 f ? 1 ? ．且 f ? 1 ? ?
1 e

．

(4 分)

（2）因为函数 y ? g ? x ? 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称， 所以 g ? x ? ? f ? 2 ? x ? ，于是 g ? x ? ? ? 2 ? x ? e 记 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ，则 F ? x ? ? x e 当 x ? 1 时， 2 x ? 2 ? 0 ，从而 e
2 x?2

x?2

．
x?2

?x

? ? x ? 2?e
?x

， F ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e 2 x?2 ? 1? e ? x ，

? 1 ? 0 ，又 e

? 0 ，所以 F ? ? x ? ? 0 ，

于是函数 F ? x ? 在区间 ?1, ? ? ? 上是增函数． 因为 F ? 1 ? ? e 分） （3） ① 若 ? x1 ? 1 ? ? x 2 ? 1 ? ? 0 ，由（1）及 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ,得 x 1 ? x 2 ,与 x 1 ? x 2 矛盾； ②若 ? x1 ? 1 ? ? x 2 ? 1 ? ? 0 ，由由（1）及 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ,得 x 1 ? x 2 ,与 x 1 ? x 2 矛盾；
?1

?e

?1

? 0 ，所以，当 x ? 1 时， F

?x? ?

F ? 1 ? ? 0 ．因此 f

?x? ?

g ? x ? ．（9

根据①，②可得 ? x1 ? 1 ? ? x 2 ? 1 ? ? 0 ．不妨设 x 1 ? 1, x 2 ? 1 ． 由（2）可知 f ? x 2 ? ? g ? x 2 ? ? f ? 2 ? x 2 ? ，所以 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? g ? x 2 ? ? f ? 2 ? x 2 ? ． 因为 x 2 ? 1 ，所以 2 ? x 2 ? 1 ，又 x 1 ? 1 ，由（1）， f ? x ? 在区间 ? ? ? ,1 ? 内是增函数， 所以
x 1 ? 2 ? x 2 ，即 x 1 ? x 2 ? 2 ． （14 分）