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陕西省宝鸡市石油中学2013届高三5月模拟数学理试题


宝鸡石油中学 2013 年高三数学练考卷 (理科)
宝鸡石油中学高三数学备课组
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 . 设全集 U ? R , A ? { x | ? x ? 3 x ? 0 }, B ? { x | lg x ? 0 } ,则图中阴影部分表示的集合为
2

(

/>) B. { x | 0 ? x ? 3}
2

A. { x | x ? 1}

C. { x | 0 ? x ? 1}

D. ? (第 1 题)

2. 若复数 z ? A.0

x ? ( x ? x )i i

( x ? R )为纯虚数,则 x 等于( C.-1 D.0 或 1

)

B.1

3.设 a , b ? R ,则“ a ? 2 且 b ? 1 ”是“ a ? b ? 3 且 a b ? 2 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

)

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知四棱锥的俯视图是边长为 2 的正方形及其对角线(如下图),主 视图与左视图都是边长为 2 的正三角形,则其全面积是( ) A. 4
3

B. 4

? 4

3

C.8

D.12

a 5. 各项为正数的等比数列 { a n } 中, 1 a 5 ? 2 a 3 a 6 ? a 1 a 11 ? 16 , a 3 ? a 6 则

的值为( A.3

) B.4

C.5

D.6

6. △ ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,
a sin A sin B ? b cos
2

A ?

2 a ,则

b a

? (

) D. 2 3

A. 2

B. 2 2
? lo g 2 x , x ? 0 ? ? ?
2

C. 3

7. 若函数 f ( x ) ? ? lo g ( ? x ), x ? 0 ,若 af ( ? a ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( 1



A. ( ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1) C. ( ? 1, 0 ) ? (1, ? ? )
a x

B. ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? ) D. ( ? ? , ? 1) ? ( 0 , 1)
1 x

8. 已知 m 是二项式 ( x ? 的中间项为( A. ?
24 x

) ( a 为常数)展开式中有理项的个数,则 (
7

? 2 ) 展开式
m

) B. ?
24 x
2

C.

24 x
2

D.

24 x

9.设点 P 是以 F1、F2 为左、右焦点的双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 左支上一点,且满足

???? ???? ? 2 ,则此双曲线的离心率为 P F1 ? P F 2 ? 0 , ta n ? P F 2 F1 ? 3





A. 3

B.

13 2

C. 5

D. 1 3
?x ? y ? 2 ? 0 ? 0 ?y ? 0 ?

2 2 10.已知关于 x 的函数 f ( x ) ? x ? 2 b x ? a ,若点 ( a , b ) 是区域 ? x ?

内任意一点,则函数 f ( x ) 在 R 上有零点的概率为( A.
2 3

) D.
5 12

B.

1 2

C.

7 12

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分). 11. 如图所示, 程序框图 (算法流程图) 的输出结果是
?
?

.
?

12. 已知向量 a ,b ,c 满足 a ? b ? 2 c ? 0 , a ? c , a ? 2 , 且
? ? c ? 1 ,则 b ?

?

?

?

?

?

?

?



13.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点 O 的一条直线与函数
f (x) ? 2 x

的图象交于 P、 两点, Q 则线段 PQ 长的最小值是

________.

14.某工厂有三个车间生产不同的产品,现将 7 名工人全部分配到这三个车间,每个车间至 多分 3 名,则不同的分配方法有 种.(用数字作答)

15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:
?

?

2

? 2 ? cos ? ? 0

,

点 P 的极坐标为 ? 2 , 2 ? ,过点 P 作圆 C 的切线,则两条切线夹角的正切值是 ? ? B.(不等式选做题)若不等式 | x ?
1 x | ? | a ? 2 | ? 1 对于一切非零

? ?

.

实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围为__________ C.(几何证明选做题) 如图圆 O 的直径 A B ? 6 c m ,P 是 AB 的延 长 线 上 一 点 ,过 点 P 作圆 O 的 切 线 , 切点 为 C,连接 AC, 若
? C P A ? 3 0 ,则 P C ?
0

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分)
?
?

已 知 平 面 向 量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos x , sin x ) , c ? (sin ? , ? cos ? ) , 其 中
? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,且函数 f ( x ) ? ( a ? b ) c o s x ? ( b ? c ) s in x 的图象过点 ( ,1 ) . 6

?

(1)求 ? 的值; (2) 将函数 y ? f ( x ) 图象上各点的横坐标变为原来的的 2 倍,纵坐标不变,得到函数
y ? g ( x ) 的图象,求函数 y ? g ( x ) 在 [ 0 ,

?
2

] 上的最大值和最小值.

17.(本小题满分 12 分)已知数列 ? lo g 2 ( a n ? 1)? , n ? N * 为等差数列,且 a 1 ? 3 , a 3 ? 9 . (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)证明:
1 a 2 ? a1 ? 1 a3 ? a2 ?? ? 1 a n ?1 ? a n ? 1.

18. (本小题共 12) 如图, 在直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中,A B ? A C ? 5 ,D ,E 分别为 B C ,
B B 1 的中点,四边形 B 1 B C C 1 是边长为 6 的正方形.

(1)求证: C E ? 平面 A C 1 D ; (2)求二面角 C ? A C 1 ? D 的余弦值.

19.(本小题满分 12 分)某高校在 2011 年自主 招生考试成绩 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成 绩分组: 1 组[75, 第 80), 2 组[80, 第 85), 第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95, 100]得到的频率分布直方图如图所 示.

频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

(1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2) 若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 试, (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 的概率; (ⅱ) 学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试, 设第 4 组中有 ? 名 学生被考官 D 面试,求 ? 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 13 分) 如图, 已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点为 F 1、 F 2 ,

其上顶点为 A .已知 ? F 1 AF 2 是边长为 2 的正三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过点 Q ( ? 4 , 0 ) 任作一直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两 点,记 MQ ? ? ? QN . 若在线段 MN 上取一点 R , 使得 MR ? ? ? ? RN ,试判断当直线 l 运 动时,点 R 是否在某一定直线上运动?若在,请求出该定直线的方程,若不在,请说明理 由.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x e (1)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值;

?x

?x? R?.

(2) 已知函数 y ? g ? x ? 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称. 证明当 x ? 1 时, f ? x ? ? g ? x ? ; (3)如果 x 1 ? x 2 ,且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ,证明 x 1 ? x 2 ? 2 .

参考答案
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分) CBADB,AADDC 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. 15; 12.
2 2 ;

13. 4 ; 14. 1050 ; 15. (1)

4 3

(2) 1 ? a ? 3

(3) 3 3

? ? b ? c o s? c o s x ? s i n? s i n x ) ? c o s ? ? x ) ( ……………………1 分 ? ? c ? cos x sin ? ? sin x cos ? ) ? sin( ? ? x ) ……………………………2 分 ? ? ? ? ? f ( x ) ? ( a ? b ) c o s x ? ( b ? c ) s in x ? a ? b
? cos( ? ? x ) cos x ? sin( ? ? x ) sin x
? cos( ? ? x ? x )

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 6 小题,共 75 分) 16(本小题满分 12 分).解:(1)

? cos( 2 x ? ? )

……………………………4 分

∴ f ( ) ? cos(
6

?

?
3

??)?1

而, 0 ? ? ? ? ∴? ?
?
3

……………………………6 分
?
3 ),

(2)由(1)得, f ( x ) ? c o s ( 2 x ? 于是 g ( x ) ? c o s ( 2 ( 即 g ( x ) ? cos( x ? 当 x ? [0, 所以
1 2
1 2 x) ?

?
3

),

?
3

).

……………………………9 分
?
3 ?

?
2

] 时, ?

?
3

? x?

?
6

, ……………………………11 分

? cos( x ?

?
3

) ? 1,
1 2

即当 x ? 0 时, g ( x ) 取得最小值 当x ?
?
3

, ……………………12 分
( a n ? 1 )} 的公差为 d.

时, g ( x ) 取得最大值 1 .

17.(本小题满分 12 分)(1)解:设等差数列 {log

2

由 a 1 ? 3, a 3 ? 9 得 lo g 2 2 ? 2 d ? lo g 2 8 , 即 d=1.
n 所以 lo g 2 ( a n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n , 即 a n ? 2 ? 1 .

………………………6 分

(2)证明: ?

1 a n ?1 ? a n

? 2

1
n ?1

? 2

n

?

1 2
n



?

1 a 2 ? a1

?

1 a3 ? a2

?? ?

1 a n ?1 ? a n

?

1 2
1

?

1 2
2

?

1 2
3

?? ?

1 2
n

1 ? 2

? 1?

1 2
n

?

1 2 ?1? 1 2
n

1 2

? 1.

………………………12 分

(18). (本小题满分 12 分)

(1)证明:在直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中,
B B 1 ? 平面 A B C ,又 A D ? 平面 A B C ,

所以 B B 1 ? A D .

因为 A B ? A C , D 为 B C 中点, 所以 A D ? B C .又 B C ? B B 1 ? B , 所以 A D ? 平面 B 1 B C C 1 . 又 C E ? 平面 B 1 B C C 1 ,所以 A D ? C E . 因为四边形 B 1 B C C 1 为正方形, D , E 分别为 B C , B B 1 的中点, 所以 R t △ C B E ≌ R t △ C 1 C D , ? C C 1 D ? ? B C E .
? 所以 ? B C E ? ? C 1 D C ? 9 0 .

所以 C 1 D ? C E .

又 A D ? C1D ? D , ……………………6 则

所以 C E ? 平面 A C 1 D .

( 2 ) 解 : 如 图 , 以 B1C 1 的 中 点 G 为 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
A ( 0 , 6 , 4 ), E (3, 3, 0 ), C ( ? 3, 6 , 0 ), C 1 ( ? 3, 0 , 0 ) .

由(Ⅱ)知 C E ? 平面 A C 1 D ,所以 C E ? ( 6 , ? 3 , 0 ) 为平面 A C 1 D 的一个法向量. 设 n ? ( x , y , z ) 为平面 A C C 1 的一个法向量,
???? A C ? ( ? 3, 0 , ? 4 )

??? ?

???? ? , C C 1 ? (0 , ? 6 , 0 ) .

z A1 A

???? ? n ? A C ? 0, ? ?3 x ? 4 z ? 0, ? 由 ? ???? 可得 ? ? ??6 y ? 0. ? n ? C C1 ? 0. ?

令 x ? 1 ,则 y ? 0 , z ? ?

3 4


B1 x

C1 G E B D

C y

所以 n ? (1, 0 , ?

3 4

??? ? ) .从而 c o s ? C E , n ? ?

??? ? CE ?n 8 ??? ? ? 25 | CE |?| n |

5 .

因为二面角 C ? A C 1 ? D 为锐角,
8 5 25

所以二面角 C ? A C 1 ? D 的余弦值为

.……………………12

19. (本小题满分 12 分)解:(1) 第三组的频率为 0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为 0.04 ? 5=0.2; 第五组的频率为 0.02 ? 5=0.1. ……………………3 分 (2)(ⅰ)设 M:学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 P(M)=
i

C

1 28 3

=

1 145

…………—————6 分

C 30

(ⅱ) P ( ? ? i ) ?

C 2C 4 C6
2

2?i

( i ? 0 、、 ) 1 2

s%5¥u

?

0
2

1
8 15

2
1 15

P

5 8 15 2 15 2 3

——————10 分
E? ? ? ?

——————12 分

20. (本小题满分 13 分) 解(1) ? F 1 AF 2 是边长为 2 的正三角形,则 c
故椭圆 C 的方程为
x
2

? 1, a ? 2 ,……………………2 分

?

y

2

? 1.

……………………5 分

4

3

(2)直线 MN 的斜率必存在,设其直线方程为 y ? k ( x ? 4 ) ,并设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) .
?x y ? ? ?1 2 2 2 联立方程 ? 4 ,消去 y 得 ( 3 ? 4 k ) x ? 32 k x ? 64 k 3 ? y ? k (x ? 4) ?
2 2

2

? 12 ? 0 ,则

? ? 144 (1 ? 4 k ) ? 0 , x 1 ? x 2 ?
2

? 32 k 3 ? 4k

2 2

, x1 ? x 2 ?

64 k

2

? 12
2

3 ? 4k

………………8 分

由 MQ ? ? ? QN 得 ? 4 ? x 1 ? ? ( x 2 ? 4 ) ,故 ? ? ?

x1 ? 4 x2 ? 4

.

……10 分

设点 R 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,则由 MR ? ? ? ? RN 得 x 0 ? x 1 ? ? ? ( x 2 ? x 0 ) ,解得

x0 ?

x1 ? ? x 2 1? ?

x1 ? ?

x1 ? 4 x2 ? 4

? x2 ?

2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 ) ? 8

1?

x1 ? 4 x2 ? 4
64 k
2

.

…………………11 分

又 2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?
? 32 k 3 ? 4k
2 2

? 12
2

3 ? 4k 24

? 4?

? 32 k 3 ? 4k

2 2

?

? 24 3 ? 4k
2



( x1 ? x 2 ) ? 8 ?

? 8 ?

3 ? 4k

2

,从而 x 0 ?

2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 ) ? 8

? ? 1 ,故点 R 在定

直线 x ? ? 1 上. …………………13 分

21. (本小题满分 14 分)
?x ?x 【解】(1) f ? ? x ? ? ? 1 ? x ? e .令 f ? ? x ? ? ? 1 ? x ? e ? 0 ,则 x ? 1 .

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:
x

? ? ? ,1 ?
?

1
0

? 1, ? ? ?
?

f ?? x?
f

?x?



极大值



所以 f ? x ? 在区间 ? ? ? ,1 ? 内是增函数,在区间 ? 1, ? ? ? 内是减函数. 函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值 f ? 1 ? .且 f ? 1 ? ?
1 e



(4 分)

(2)因为函数 y ? g ? x ? 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称, 所以 g ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,于是 g ? x ? ? ? 2 ? x ? e 记 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,则 F ? x ? ? x e 当 x ? 1 时, 2 x ? 2 ? 0 ,从而 e
2 x?2

x?2


x?2

?x

? ? x ? 2?e
?x

, F ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e 2 x?2 ? 1? e ? x ,

? 1 ? 0 ,又 e

? 0 ,所以 F ? ? x ? ? 0 ,

于是函数 F ? x ? 在区间 ?1, ? ? ? 上是增函数. 因为 F ? 1 ? ? e 分) (3) ① 若 ? x1 ? 1 ? ? x 2 ? 1 ? ? 0 ,由(1)及 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ,得 x 1 ? x 2 ,与 x 1 ? x 2 矛盾; ②若 ? x1 ? 1 ? ? x 2 ? 1 ? ? 0 ,由由(1)及 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ,得 x 1 ? x 2 ,与 x 1 ? x 2 矛盾;
?1

?e

?1

? 0 ,所以,当 x ? 1 时, F

?x? ?

F ? 1 ? ? 0 .因此 f

?x? ?

g ? x ? .(9

根据①,②可得 ? x1 ? 1 ? ? x 2 ? 1 ? ? 0 .不妨设 x 1 ? 1, x 2 ? 1 . 由(2)可知 f ? x 2 ? ? g ? x 2 ? ? f ? 2 ? x 2 ? ,所以 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? g ? x 2 ? ? f ? 2 ? x 2 ? . 因为 x 2 ? 1 ,所以 2 ? x 2 ? 1 ,又 x 1 ? 1 ,由(1), f ? x ? 在区间 ? ? ? ,1 ? 内是增函数, 所以
x 1 ? 2 ? x 2 ,即 x 1 ? x 2 ? 2 . (14 分)


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