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2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)(数学理)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓 名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号

、姓名 和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 .......... 3.第Ⅰ 卷共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

一、选择题
(1)复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ?
(A) ? 2i (B) ?i (C) i (D) 2i

【答案】B 【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】 zz ? z ? 1 ? |z| 2 ? z ? 1 ? 2-(1+i)-1= ?i . (2)函数 y ? 2 x ( x ? 0) 的反函数为
y?
(A)

x2 ( x ? R) 4
2

y?
(B)

x2 ( x ? 0) 4
2

(C) y ? 4x ( x ? R)

(D) y ? 4 x ( x ? 0)

【答案】B 【命题意图】本题主要考查反函数的求法.
y2 【解析】由原函数反解得 x ? ,又原函数的值域为 y ? 0 ,所以函数 y ? 2 x ( x ? 0) 4

的反函数为 y ?

x2 ( x ? 0) . 4

(3)下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是
-1-

(A) a>b ? 1

(B) a>b ? 1

2 2 (C) a >b

(D) a >b
3

3

【答案】A 【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质. 【解析】即寻找命题 P ,使 P ? a ? b ,且 a ? b 推不出 P ,逐项验证知可选 A. (4)设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k ?
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5

【答案】D 【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一 (k ? 2)(k ? 1) k (k ? 1) Sk ? 2 ? Sk ? [(k ? 2) ?1 ? ? 2] ? [k ?1 ? ? 2] ? 4k ? 4 ? 24 ,解得 k ? 5 . 2 2 解法二: Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1 ? [1 ? (k ? 1) ? 2] ? (1 ? k ? 2) ? 4k ? 4 ? 24 ,解得 k ? 5 . (5)设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像向右平移 将 的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于
1 (A) 3
(B) 3 (C) 6

? 个单位长度后,所得 3

(D) 9

【答案】C 【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 2? ? ? k ? (k ? Z ) ,解得 ? ? 6k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 ?min ? 6 . 【解析】由题意得 ? 3 (6)已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ? ? , AC ? l , C 为垂足, B ? ? , BD ? l , D 为垂 足.若 AB ? 2, AC ? BD ? 1,则 D 到平面 ABC 的距离等于
2 (A) 3 3 (B) 3 6 (C) 3

(D) 1

【答案】C 【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过 D 作 DE ? BC ,垂足为 E ,因为 ? ? l ? ? 是直二

?

A

l

D B E

面角, AC ? l ,∴AC ? 平面 ? ,
∴AC

C

?

? DE , BC ? DE , AC I BC ? C ,∴DE ? 平面 ABC ,故 DE 的长为点 D 到平面

ABC 的距离.在 Rt ?BCD 中,由等面积法得 DE ?

BD ? CD 1? 2 6 . ? ? BC 3 3

-2-

(7)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友 每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有
(A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种

【答案】B 【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力.
1 【解析】分两类:一是取出 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有 C4 ? 4 种; 2 二是取出 2 本画册,2 本集邮册,此时赠送方法有 C4 ? 6 种.故赠送方法共有 10种.

(8)曲线 y ? e?2 x ? 1在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围 成的三角形的面积为
1 (A) 3 1 (B) 2 2 (C) 3

(D)1

【答案】A 【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 【解析】 y ' ? ?2e?2 x , ∴曲线 y ? e?2 x ? 1在点(0,2)处的切线的斜率 k ? ?2, 故切线方程 是 y ? ?2 x ? 2 ,在直角坐标系中作出示意图得围 成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、
(1,0)、(

2 2 1 2 1 , ),∴ 三角形的面积是 S ? ? 1? ? . 3 3 2 3 3

5 (9)设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) ? 2
1 (A) - 2 1 (B) 4 ? 1 (C) 4 1 (D) 2

【答案】A 【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【 解 析 】 由 f ( x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 利 用 周 期 性 和 奇 偶 性 得 :
5 5 1 1 1 1 1 f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2 ? ? (1 ? ) ? ? . 2 2 2 2 2 2 2

(10)已知抛物线 C: y 2 ? 4x 的焦点为 F ,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A , B 两点.则
cos ?AFB ?

4 (A) 5

3 (B) 5

3 (C) 5 ?

4 (D) 5 ?

【答案】D

-3-

【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.

? y2 ? 4x 【解析】联立 ? 消去 y 得 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 1, x ? 4 ,不妨设 A 点在 x 轴 ? y ? 2x ? 4
的 上 方 , 于 是 A , B 两 点 的 坐 标 分 别 为 (4,4),(1, ?2 ), 又 F (1, 0) , 可 求 得

A B? 3 5 , A F 5 , B F 2 . ? ?



V ABF



,











AF 2 ? BF 2 ? AB 2 4 cos ?AFB ? ?? . 2 ? AF ? BF 5

(11)已知平面 α 截一球面得圆 M ,过圆心 M 且与 α 成 60 0 二面角的平面 β 截该球 面得圆 N .若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为
(A)7 ? (B)9 ? (C)11 ? (D)13 ?

【答案】D 【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质. 【解析】 如图所示,由圆 M 的面积为 4 ? 知球心 O 到圆 M 的距 离

OM ? 2 3

, 在

Rt ?OMN

中 ,

?OMN ? 30?

,

∴ON ?

1 OM ? 3 , 故圆 N 的半径 r ? R2 ? ON 2 ? 13 ,∴圆 2

N 的面积为 S ? ? r 2 ? 13? .

r r r r r r r r r r r r 1 (12)设向量 a , b , c 满足| a |?| b |? 1 , agb ? ? , ? a ? c, b ? c ?? 60? ,则 | c | 的最 2 大值等于
B (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1

【答案】A 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四 点共圆的条件及数形结合的思想. uur r uuu r uuu r u r r 【解析】如图,设 AB ? a, AD ? b, AC ? c ,则 ?BAD ? 120 ?, ? BCD ?60 ? ,
C A

r ?BAD ? ?BCD ? 180? ,∴ A, B, C , D 四点共圆,当 AC 为圆的直径时, | c | 最大,最
大值为 2. 绝密★ 启用前

D

2011 年普通高等学校招生全国统一考试
-4-

理科数学(必修+选修 II) 第Ⅱ 卷
注意事项: 1 答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科 目。 2 第Ⅱ 卷共 2 页, 请用直径 0. 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内 5 作答,在试题卷上作答无效。 3 第Ⅱ 卷共 l0 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上(注 意:在试卷上作答无效) ........ (13) (1 ? x )20 的二项展开式中, x 的系数与 x9 的系数之差为 【答案】0 【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.
r r 2 2 18 【 解 析 】 由 Tr ?1 ? Cr 0( ? x)r ? ( ?1) C2 0 x 得 x 的 系 数 为 C20 , x9 的 系 数 为 C20 , 而 2 r

.

18 2 C20 = C20 ,所以 x 的系数与 x9 的系数之差为 0.

? 5 (14)已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? ,则 tan 2? ? 2 5
【答案】 ?
4 3

.

【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式.

? sin ? 1 2 5 5 ?? , 【解析】由 ? ? ( , ? ) , sin ? ? 得 cos ? ? ? ,故 tan ? ? 2 cos ? 2 5 5
∴tan 2? ?

2 tan ? 4 ?? . 2 1 ? tan ? 3

(15)已知 F1 、 F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐 9 27
.

标为(2,0), AM 为 ?F1 AF2 的平分线.则 | AF2 |? 【答案】6

【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质.
| AF2 | | MF2 | 4 1 【解析】 Q AM 为 ?F1 AF2 的平分线,∴ ∴| AF |? 2 | AF2 | ? ? ? 1 | AF1 | | MF1 | 8 2
-5-

又点 A ? C ,由双曲线的第一定义得 | AF1 | ? | AF2 |? 2 | AF2 | ? | AF2 |?| AF2 |? 2a ? 6 . (16) 己 知 点 E 、 F 分 别 在 正 方 体 A B C D ?
1

的 A1 B 1C 1D 棱 BB1 、 CC1 上 , 且 .

B1E ? 2EB, CF ? 2FC1 ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于
【答案】
2 3

【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法. 【解析】延长 FE 交 CB 的延长线于 G ,连结 AG ,则 AG 为面 AEF 与面 ABC 的交线, 由 B1E ? 2EB, CF ? 2FC1 得 CF ? 2 BE ,∴ B 为 GC 中 点 . 设 正 方 体 的 棱 长 为 1, 则

AG ? AC ? 2 , 又 GC ? 2 ,∴ AC 2 ? AG 2 ? GC 2 ∴ ?CAG ? 90? Q FC ? 平 面
ABC ,∴FA ? AG ∴?CAF 是面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角,在 RtV ACF

2 CF 2 ? 3 ? 中, tan ?CAF ? ,故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 AC 3 2

2 . 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.

(17)(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
V ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知 A ? C ? 90? , ,求 C .

【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公 式,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得

s i n ? s iC? A n

2 sin B

…………………………………3 分

又由 A ? C ? 90? , B ? 180 ? ( A ? C ) ,故

cos C ? sin C ? 2 sin( A ? C)
= 2 sin(90? ? 2C) = 2 cos 2C …………………………………7 分

-6-

2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2

cos(45? ? C) ? cos 2C
因为 所以
? 0? ? C ? 9 0,

2C ? 4 ? ? C , 5
C ? 15?

…………………………………10 分

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题 中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以 后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运 用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.

(18)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
根据以往统计资料, 某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不 购买甲 种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立. (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的期望. ) 【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率 及二项分布的数学期望,考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记 A 表示事件: 该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件: 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲 种保险; C 表示事件: 该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种; D 表示事件: 该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (I) P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.3 , C ? A ? B
P(C ) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.8

……………………………3 分 ……………………………6 分

(Ⅱ D ? C , P( D) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 )
X : B(100, 0.2) ,即 X 服从二项分布, ……………………………10 分

所以期望

EX ? 1 0 0 0 ?2 .2 0 ? .

……………………………12 分

【点评】概率与统计是每年的必考题,一般安排在解答题的前 3 题.本题属于已知 概率求概率类型. 考查保险背景下的概率问题,要求考生熟练掌握独立事件的概率、 对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望.

(19)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB / /CD , BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角形,
-7-

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.

(Ⅰ )证明: SD ? 平面 SAB ; (Ⅱ AB 与平面 SBC 所成角的大小. )求 【命题意图】以四棱锥为载体考查线 面垂直证明和线面角的计算,注重与 平面几何的综合. 解法一:(Ⅰ AB 中点 E ,连结 DE , )取 E 则 四 边 形 B C D为 矩 形 ,
D E ? C 2, ? B 连结 SE , S ?B 则E A

, ? 3. SE

又 SD ? 1 ,故 ED2 ? SE 2 ? SD2 ,所以 ?DSE 为直 角. ………………3 分

由 AB ? DE , AB ? SE , DE I SE ? E ,得 AB ? 平面 SDE ,所以 AB ? SD . SD 与两条相交直线 AB 、 SE 都垂直. 所以 SD ? 平面 SAB .

………………6 分
2

另解:由已知易求得 SD ? 1, AD ? 5, SA ? 2 ,于是 SA2 ? SD2 ? AD .可知 SD ? SA ,同 理可得 SD ? SB ,又 SA I SB ? S .所以 SD ? 平面 SAB . (Ⅱ AB ? 平面 SDE 知,平面 ABCD ? 平面 SDE . )由 作 SF ? DE ,垂足为 F ,则 SF ? 平面 ABCD, SF ? 作 FG ? BC ,垂足为 G ,则 FG ? DC ? 1 . 连结 SG .则 SG ? BC . 又 BC ? FG, SG I FG ? G ,故 BC ? 平面 SFG ,平面 SBC ? 平面 SFG .……9 分 作 FH ? SG , H 为垂足,则 FH ? 平面 SBC .
SD ? SE 3 . ? DE 2

………………6 分

FH ?

21 SF ? FG 3 ,即 F 到平面 SBC 的距离为 . ? 7 SG 7 21 . 7

由于 ED / / BC ,所以 ED / / 平面 SBC , E 到平面 SBC 的距离 d 也为 设 AB 与 平 面 S B C所 成 的 角 为 ? , 则
sin ? ? d 21 21 ? , ? ? arcsin .……12 分 EB 7 7

解法二:以 C 为原点,射线 CD 为 x 轴的正半轴,建

-8-

立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz . 设 D(1, 0, 0) ,则 A(2, 2,0) 、 B(0, 2, 0) . 又设 S ( x, y, z ) ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0 .

uur uu r uur u (Ⅰ AS ? ( x ? 2, y ? 2, z), BS ? ( x, y ? 2, z), DS ? ( x ?1, y, z) , ) uur uu r 由 | AS |?| BS | 得
( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ,

故 x ?1. uur u 由 | DS |? 1 得 y 2 ? z 2 ? 1,

uu r 又由 | BS |? 2 得 x2 ? ( y ? 2)2 ? z 2 ? 4 ,
1 3 即 y 2 ? z 2 ? 4 y ? 1 ? 0 ,故 y ? , z ? . 2 2

………………3 分

r 1 3 uur 3 3 uur 3 3 uuu 1 3 于是 S (1, , ), AS ? (?1, ? , ), BS ? (1, ? , ), DS ? (0, , ) , 2 2 2 2 2 2 2 2

uur uur u uur uu u r DS ? AS ? 0, DS ? BS ? 0 .
故 DS ? AS , DS ? BS ,又 AS I BS ? S , 所以 SD ? 平面 SAB . ………………6 分

r (Ⅱ )设平面 SBC 的法向量 a ? (m, n, p) , r uu r uur r uu r r r uur 则 a ? BS, a ? CB, a ? BS ? 0, a ? CB ? 0 .
uur 3 3 uur 又 BS ? (1, ? , ), CB ? (0, 2, 0) , 2 2

? 3 3 p ? 0, ?m ? n ? 故? 2 2 ? 2n ? 0 ?

………………9 分

r uur u 取 p ? 2 得 a ? (? 3,0, 2) ,又 AB ? (?2,0,0),
uur r u uur r u AB ? a 21 cos ? AB, a ?? uur r ? u . 7 | AB | ? | a |

-9-

故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsin

21 . 7

………………12 分

【点评】立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要 能建立直角坐标系,基本上可以处理立体几何绝大多数的问题;为之而忧就是对 于不规则的图形来讲建系的难度较大,问题不能得到很好的解决.今年的立几问题 建系就存在这样的问题,很多考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好.

(20)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ bn ? )设
1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1 .
k ?1

n

【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式 的证明,考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】(Ⅰ )由题设
1 1 ? ? 1, 1 ? a n ?1 1 ? a n

1 即 是公差为 1 的等差数列. { } 1? a n



1 1 =1 ,故 =n . 1? a n 1? a1
1 n

所以 an ? 1 ? (Ⅱ 由(Ⅰ ) )得

……………………………5 分#

bn ?
?

1 ? an?1 n
n ?1 ? n n ? 1g n
1 1 ? , n n ?1
n

?
n

Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1 …………………………12 分 k k ?1 n ?1

【点评】2011 年高考数学全国卷将数列题由去年的第 18 题后移,一改往年的将数

- 10 -

列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教 材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意 识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基 本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等, 这种考查方式还要持续.

(21)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x 2 ?
y2 ? 1在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且 2

斜率为 ? 2 的直线 l 与 C 交与 A 、 B 两点,点 P 满 足

uur uur uur r u u OA ? OB ? OP ? 0 .
(I)证明:点 P 在 C 上; (II)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ,证明: A 、 P 、 B 、Q 四点在同一圆上. 【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、 点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。 【解析】(I) F (0,1) , l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 ,代入 x 2 ?
y2 ? 1并化简得 2

4 x2 ? 2 2 x ?1 ? 0 .
设 A( x1, y1 ), B( x 2 , y2 ), P( x3 , y3 ) , 则 x1 ?
2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4 2 , y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 2

…………………………2 分

x1 ? x2 ?

由题意得 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ?

2 , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ? ?1, 2

所以点 P 的坐标为 (?

2 , ?1) . 2

y2 2 2 ? 1,故点 P 在椭圆 C 上 …6 分 , ?1) 满足方程 x ? 经验证点 P 的坐标 (? 2 2

(II)证法一:由 P (?

2 2 , ?1) 和题设知, Q ( ,1) , PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 2 2
- 11 -

y??

2 x. 2


2 1 , ) , AB 的垂直平分线 l2 的方程为 4 2

设 AB 的中点为 M ,则 M (
2 1 x? . 2 4

y?


2 1 , ). 8 8

由① 、② l1 、 l2 的交点为 N (? 得

…………………………9 分

| NP |? (?

2 2 2 1 3 11 , ? ) ? (?1 ? )2 ? 2 8 8 8
3 2 , 2

| AB |? 1 ? (? 2) 2 g x2 ? x1 |? | 3 2 , 4

| AM |?

| MN |? (

2 2 2 1 1 2 3 3 , ? ) ?( ? ) ? 4 8 2 8 8
3 11 , 8

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ?

故 又 所以

| N P? | N A| | , | N P ? | N Q | | NA |?| NB | , | , | N A ? | N P | | N? | | N Q | | ? B ,

由此知 A 、 P 、 B 、 Q 四点在以 N 为圆心, NA 为半径的圆上. ……………12 分
? 2 ? 2 (Ⅱ) 语法二: Q 的坐标为 Q ? 点 ? 2 ,1? , ? 线段 PQ 的垂直平分线方程为 y ? ? 2 x , ? ?

线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

2 1 x? . 2 4

设 PQ 垂直平分线与 AB 的垂直平分线的交点为 E ,

- 12 -

? 2 x ?y ? ? ? 2 1? ? 2 解方程组 ? 得 E 的坐标为 E ? ? ? 8 , 8 ?. ? ? ? ?y ? 2 x ? 1 ? ? 2 4
经计算 EQ ? EB ?
3 11 ,所以 A、P、B、Q 四点在同一圆上. 8

【点评】本题涉及到平面微向量,有一定的综合性和计算量,完成有难度. 首先出 题位置和平时模拟几乎没有变化,都保持全卷倒数第二道题的位置,这点考生非 常适应的。相对来讲比较容易,是因为这道题最好特点没有任何的未知参数,我 们看这道题椭圆完全给出,直线过了椭圆焦点,并且斜率也给出,平时做题斜率 不给出,需要通过一定条件求出来,或者根本求不出来,这道题都给了,反而同 学不知道怎么下手,让我求什么不知道,给出马上给向量条件,出了两道证明题, 这个跟平时做的不太一样,证明题结论给大家,需要大家严谨推导出来,可能叙 述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙,非常涉及解析几何本质的内容, 一个证明点在椭圆上的问题,还有一个疑问既然出现四点共圆,这都是平时很少 涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题,让学生掌握解析几何的本质,而不是 把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题,最后方法用代数方法研究 几何的问题,什么是四点共圆?首先在同一个圆上,首先找到圆心,四个点找圆 形不好找,最简单的两个点怎么找?这是平时的知识,怎么找距离相等的点,一 定在中垂线,两个中垂线交点必然是圆心,找到圆心再距离四个点距离相等,这 就是简单的计算问题。方法确定以后计算量其实比往年少.

(22)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
2x ,证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; x?2 (II)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式 连 9 1 续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证 明: p ? ( )19 ? 2 10 e 【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数 证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能 力及分析问题、解决问题的能力.

(I)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

【解析】(I) f ' ( x) ?

x2 ( x ? 1)( x ? 2)2

…………………………2 分

当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 为增函数,又 f (0) ? 0 ,因此当 x ? 0 时,
f ( x) ? 0 .

…………………………5 分

(II) p ?

100 ? 99 ? 98 ? L ? 81 . 10020

- 13 -

又 99 ? 81 ? 902 ,98 ? 82 ? 902 ,L 91? 89 ? 902 ,
9 所以 p ? ( )19 . 10

由(I)知: 当 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? 因此
( 1?

2x x?2

2 ) l n ?x ? ). 2 (1 x 1 10 10 在上式中,令 x ? ,则 19 ln ? 2 ,即 ( )19 ? e 2 . 9 9 9 9 19 1 所以 p ? ( ) ? 2 …………………………12 分 10 e

证法二: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 ? ?1, ?? ? , f ?( x) ? 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在上为增函数. 又因为 f (0) ? 0 ,所以当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ;

1 4 x2 ? ? , 1 ? x ? x ? 2 ?2 ?1 ? x ?? x ? 2 ?2

20 A100 99 ? 98 ? 97 ??? 82 ? 81 (Ⅱ)依题意, p ? ? 20 , 100 10019

由不等式 ab ?

a?b ? a ? 0, b ? 0 ? ,当且仅当 a ? b 时取等号知, 2

99 ? 98? 97 ??? 82 ? 81 ? ?99 ? 81? ? ?98? 82? ??? ?91? 89? ? 90
? 99 ? 81 ? ? 98 ? 82 ? ? 91 ? 89 ? 19 ?? ? ?? ? ??? ? ? ? 90 ? 90 , 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ?
2 2 2

9019 ? 9 ? 所以 p ? ?? ? ; 10019 ? 10 ? 1 ? 10 ? ?9? ? 10 ? 要证 ? ? ? 2 ,只需证 ? ? ? e2 ,只需证 19 ln ? ? ? 2 , e ?9? ? 10 ? ?9?
? 10 ? 2 即 ln ? ? ? . ? 9 ? 19
1 ? 10 ? 2 ? 10 ? 2 由(Ⅰ)知 f ( ) ? 0 ,即 ln ? ? ? ? 0 ,所以 ln ? ? ? . 9 ? 9 ? 19 ? 9 ? 19
19 19

19

9 1 综上, p ? ( )19 ? 2 . 10 e

- 14 -

【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生 牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力 .估计 以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒 成立问题,利用导数证明不等式等,有时还伴随对参数的讨论,这也是难点之所 在.

- 15 -


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