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甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-1同步练习 1章整合课时(新人教A版选修2-1)]


1 章整合
(考试时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.给出下列语句:①二次函数是偶函数吗?②2>2;③sin 是命题的有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个 π 2 =1;④x -4x+4=0.其中 2

/>解析: 只有②和③是命题,语句①是疑问句,语句④含有变量 x,不能判断真假. 答案: B 2.与命题:“若 a∈P,则 b?P”等价的命题是( A.若 a?P,则 b?P C.若 a?P,则 b∈P 答案: D 3.对命题 p:1∈{1},命题 q:1??,下列说法正确的是( A.p 且 q 为假命题 C.非 p 为真命题 B.p 或 q 为假命题 D.非 q 为假命题 ) )

B.若 b?P,则 a∈P D.若 b∈P,则 a?P

解析: ∵p、q 都是真命题,∴綈 q 为假命题. 答案: D 4.下列四个命题中真命题的个数为( )

①若 x=1,则 x-1=0;②“若 ab=0,则 b=0”的逆否命题;③“等边三角形的三边 相等”的逆命题;④“全等三角形的面积相等”的逆否命题. A.1 C.3 B.2 D.4

解析: ①是真命题;②逆否命题为“若 b≠0,则 ab≠0”,是假命题;③“等边三角 形的三边相等”改为“若 p,则 q”的形式为“若一个三角形为等边三角形,则这个三角形的 三边相等”,其逆命题为“若一个三角形的三边相等,则这个三角形为等边三角形”,是真 命题;④“全等三角形的面积相等”改为“若 p,则 q”的形式为“若两个三角形为全等三角 形,则这两个三角形的面积相等”,其逆否命题为“若两个三角形的面积不相等,则这两个 三角形不是全等三角形”,是真命题. 答案: C 1 1 5.已知命题①若 a>b,则 < ,②若-2≤x≤0,则(x+2)(x-3)≤0,则下列说法正确的

a b

是(

) A.①的逆命题为真 C.①的逆否命题为真 B.②的逆命题为真 D.②的逆否命题为真

1 1 解析: 命题①是假命题,其逆命题为 < ,则 a>b,是假命题.故 A、C 错误.命题②是

a b

真命题,其逆命题为假命题,逆否命题为真命题.故选 D. 答案: D 6.已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项 的命题中为假命题的是( ) B.? x∈R,f(x)≥f(x0) D.? x∈R,f(x)≥f(x0)
2 2

A.? x∈R,f(x)≤f(x0) C.? x∈R,f(x)≤f(x0)

b ?2 4ac-b ? 2 解析: 函数 f(x)=ax +bx+c=a?x+ ? + (a>0), 2 a? 4a ?
∵2ax0+b=0,∴x0=- . 2a 当 x=x0 时,函数 f(x)取得最小值. ∴? x∈R,f(x)≥f(x0),故选 C. 答案: C 7.“x<-1”是“x -1>0”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 解析: x -1>0? x>1 或 x<-1, 故 x<-1? x -1>0,但 x -1>0? / x<-1, ∴“x<-1”是“x -1>0”的充分而不必要条件. 答案: A 8.已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
2 2 2 2 2

b

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析: 由 a>0 且 b>0 可得 a+b>0,ab>0, 由 a+b>0 有 a,b 至少一个为正,ab>0 可得 a、b 同号, 两者同时成立,则必有 a>0,b>0.故选 C. 答案: C 9.命题“对任意的 x∈R,x -x +1≤0”的否定是( A.不存在 x0∈R,x0-x0+1≤0 C.存在 x0∈R,使 x0-x0+1≤0
3 2 3 2 3 2

)
3 2

B.存在 x0∈R,使 x0-x0+1>0 D.对任意的 x∈R,x -x +1>0
3 2

解析:

由于已知命题是全称命题,其否定应为特称命题,并且对原命题的结论进行否

定,由此可知 B 正确. 答案: B 10.对? x∈R,kx -kx-1<0 是真命题,则 k 的取值范围是( A.-4≤k≤0 C.-4<k≤0 解析: 依题意,有 k=0 或? 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11. “若 x =y , 则 x=-y”的逆命题是________命题, 否命题是________命题. (填“真” 或“假”) 解析: 若 x =y ,则 x=-y 的逆命题为:若 x=-y,则 x =y ,是真命题;否命题为: 若 x ≠y ,则 x≠-y,是真命题. 答案: 真 真 12.对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的________条件. 解析: 由 a+b=0 得 a=-b,即 a∥b,但 a∥b 不一定有 a=-b,所以“a+b=0”是 “a∥b”的充分不必要条件. 答案: 充分不必要 13.下列命题: ①? x∈R,不等式 x +2x>4x-3 成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; ③命题“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题; ④若命题 p:? x∈R,x +1≥1.命题 q:? x0∈R,x0-2x0-1≤0,则命题 p∧綈 q 是真命 题. 其中真命题有________.(填序号) 解析: ①中不等式 x +2x>4x-3?x -2x+3>0?x∈R. ∴对? x∈R,x +2x>4x-3 成立.①是真命题. ②中 log2x+logx2≥2? 题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.-4≤k<0 D.-4<k<0
? ?k<0, ?k +4k<0. ?
2

解得-4<k≤0.

c c a b

x-2log2x+ log2x

≥0?log2x>0 或 log2x=1?x>1.∴②是真命

③中

? a>b>0? < ? a b?? c>c, a b ? c<0 ?
1 1

原命题为真命题,逆否命题为真命题,∴③是真命题. ④中 p 为真命题,q 为真命题,命题 p∧綈 q 是假命题. 答案: ①②③ 14. 令 p(x): ax +2x+1>0, 若对? x∈R, p(x)是真命题, 则实数 a 的取值范围是________. 解析: 对? x∈R,p(x)是真命题, 就是不等式 ax +2x+1>0 对一切 x∈R 恒成立. (1)若 a=0,不等式化为 2x+1>0,不能恒成立;
?a>0, ? (2)若? ?Δ =4-4a<0 ?
2 2



解得 a>1; (3)若 a<0,不等式显然不能恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a>1. 答案: a>1 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分)写出下列命题的“若 p,则 q”形式,并写出它的逆命题、否命 题与逆否命题,并判断它们的真假. (1)全等三角形的对应边相等; (2)四条边相等的四边形是正方形. 解析: (1)“若 p,则 q”的形式:若两个三角形全等,则这两个三角形的对应边相等; 是真命题. 逆命题:若两个三角形的对应边相等,则这两个三角形全等;是真命题. 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形的对应边不全相等;是真命题. 逆否命题:若两个三角形的对应边不全相等,则这两个三角形不全等;是真命题. (2)“若 p,则 q”的形式:若一个四边形的四条边相等,则它是正方形;是假命题. 逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等;是真命题. 否命题:若一个四边形的四条边不全相等,则它不是正方形;是真命题. 逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不全相等;是假命题. 16.(本小题满分 12 分)写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”以及“非 p”形 式的命题,并判断它们的真假: (1)p:3 是质数,q:3 是偶数; (2)p:x=-2 是方程 x +x-2=0 的解,q:x=1 是方程 x +x-2=0 的解. 解析: (1)p 或 q:3 是质数或 3 是偶数;
2 2

p 且 q:3 是质数且 3 是偶数;

非 p:3 不是质数. 因为 p 真,q 假,所以“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,“非 p”为假命题. (2)p 或 q:x=-2 是方程 x +x-2=0 的解或 x=1 是方程 x +x-2=0 的解;
2 2

p 且 q:x=-2 是方程 x2+x-2=0 的解且 x=1 是方程 x2+x-2=0 的解;
非 p:x=-2 不是方程 x +x-2=0 的解. 因为 p 真,q 真,所以“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为真命题,“非 p”为假命题. 17.(本小题满分 12 分)是否存在实数 p,使 4x+p<0 是 x -x-2>0 的充分条件?如果存 在,求出 p 的取值范围;否则,说明理由. 解析: 由 x -x-2>0,解得 x>2 或 x<-1, 令 A={x|x>2 或 x<-1}, 由 4x+p<0,得 B=?x?x<-
? ? ? ?
2 2 2

? ?

p
4

? ? ?, ? ?

当 B? A 时,即- ≤-1,即 p≥4, 4 此时 x<- ≤-1? x -x-2>0, 4 ∴当 p≥4 时,4x+p<0 是 x -x-2>0 的充分条件. 18.(本小题满分 14 分)已知命题 p:函数 y=x +2(a -a)x+a -2a 在[-2,+∞)上单 调递增.q:关于 x 的不等式 ax -ax+1>0 解集为 R.若 p∧q 假,p∨q 真,求实数 a 的取值范 围. 解析: ∵函数 y=x +2(a -a)x+a -2a
2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 4 3 2

p

p

2

=[x+(a -a)] -a ,在[-2,+∞)上单调递增, ∴-(a -a)≤-2, 即 a -a-2≥0,解得 a≤-1 或 a≥2. 即 p:a≤-1 或 a≥2
?a≥0 ? 2 由不等式 ax -ax+1>0 的解集为 R 得? ? ?Δ <0
2 2



即?
? ?

? ?a≥0

-a

2

-4a<0

解得 0≤a<4 ∴q:0≤a<4. ∵p∧q 假,p∨q 真. ∴p 与 q 一真一假. ∴p 真 q 假或 p 假 q 真,

即?

?a≤-1或a≥2 ? ?a<0或a≥4 ?

?-1≤a<2, ? 或? ?0≤a<4. ?

∴a≤-1 或 a≥4 或 0≤a<2. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,2)∪[4,+∞).


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