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100测评网中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学科(理科)试卷


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中山市高三级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试

数学科试卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题
注意事项:

共 40 分)

1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分。每小题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求) 1.函数 y ? 2sin(2 x ?

?
2

)是
B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为 2? 的偶函数
2

A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 2? 的奇函数 2.已知物体的运动方程为 s ? t ? 度为 A.

3 (t 是时间,s 是位移) ,则物体在时刻 t=2 时的速 t 15 4
7

19 4
7

B.

17 4
2

C.

D.

13 4

3.已知 (1 ? 2x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? ? ? a7 x ,那么 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? A.-2 B .2 C.-12 D.12

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4 .已知在等差数列{ an }中, a1 ? 120 , d ? ?4, 若 S n ? an (n ? 2) ,则 n 的最小值为 A.60 B.62 C.70 D.72

5. ?ABC 中,若 a ? 4, b ? 3, c ? 2 ,则 ?ABC 的外接圆半径为

A.

8 15 15

B.

16 15 15

C.

6 13 13

D.

12 13 13

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ? 6.若实数 x, y 满足条件 ? , 目标函数 z ? 2 x ? y ,则 x ? 0 ? ? ?y ? 1 5 A. z max ? B. z max ? ?1 2
C. z max ? 2 D. z min ? 0
' ' ' '

? A B C D 中 , AB ? 4, AD ? 3, AA' ? 5 , 7.底面是矩形的四棱柱 ABCD
?BAD ? 90? , ?BAA' ? ?DAA' ? 60? ,则 AC ' ?
A. 95 B. 59 C. 85 D. 58

8.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一 行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( A.24 B.28 C.36 D.48 ) 种。

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第 II 卷(非选择题共 110 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.若数据 x1 , x2 , x3 ,

, xn 的平均数 x =5,方差 ? 2 ? 2 ,则数据 (2 分) ,方差为 3x1 ?1, 3x2 ?1, 3x3 ?1, , 3xn ?1 的平均数为
2

(3 分) 。 .

10.直线 y ? 2 x 与抛物线 y ? x ? 3 所围成图形的面积为 sin ? ? cos ? 11.若 tan ? ? 2 ,则 . ? cos 2 ? = sin ? ? cos ? 12.已知函数 f ( x) 满足, f ( x) ? ?

? f ( x ? 2) x ? 0 ,则 f (?7.5) = x x?0 ? 2

.

13.以下有四种说法: (1)若 p ? q 为真, p ? q 为假,则 p 与 q 必为一真一假; (2)若数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? n ? 1, n ? N * ,则 an ? 2n, n ? N * ; (3)若 f ' ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x) 在 x ? x0 处取得极值; (4)由变量 x 和 y 的数据得到其回归直线方程 l : y ? bx ? a , 则 l 一定经过点 P( x, y) . 以上四种说法,其中正确说法的序号为 .

14.为迎接校庆,学校准备投入 a 元建造一个花圃(如图) .已 知矩形 ABCD 的造价为 40 元/ m , 其余的两个半圆及两个圆的 造价为 20 元/ m .两圆的直径分别为矩形的长和宽,由于矩形 ABCD 要种名贵花卉,故建造时要求矩形 ABCD 的面积越大越 好.那么,当矩形 ABCD 的面积达到最大时,
2
2

AD ? AB

三、解答题(共 80 分.解答题应写出推理、演算步骤) 15. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) , | a ? b |?

?

?

?

?

2 5 . 5

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(Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

16. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已知数列 {an } 是首项为 a1 ?
4

1 1 ,公比 q ? 的等比数列,设 4 4 bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn .
(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn.

17. (本小题满分 14 分)已知 10 件产品中有 3 件是次品. (I)任意取出 3 件产品作检验,求其中至少有 1 件是次品的概率; (II) 为了保证使 3 件次品全部检验出的概率超过 0.6, 最少应抽取几件产品作检验?

18. (本题满分 14 分)如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2. (I)求证: AO ? 平面 BCD;
(II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离.

A

D O B E C

19. (本题满分 14 分)已知 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? cx ? 4 , g ( x) ? e x ? e 2? x ? f ( x) , 3

(1)若 f(x)在 x ? 1 ? 2 处取得极值,试求 c 的 值和 f(x)的单调增区间; (2) 如右图所示, 若函数 y ? f ( x) 的图象在 [ a, b] 连续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在

c ? (a, b), 使得 f ' (c) ? ?(用含有 a,b,f(a),f(b)的表达
式直接回答) (3)利用(2)证明:函数 y=g(x)图象上任意两点 的连线斜率不小于 2e-4.

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20. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ,g ? x ? ? x ? 1 . (1)若 ?x ? R 使 f ? x ? ? b ? g ? x ? ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F ? x ? ? f ? x? ? mg ? x? ? 1 ? m ? m2 ,且 F ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,求实数 m 的 取值范围.

中山市高三级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试

数学科试卷(理科)答案
一.选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 B 5 A 6 C 7 C 8 D

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 16 (2 分) ,18 (3 分) 10. 12.

32 3

11.

16 5

2

13. (1) (4)

14.

2

三、解答题(共 80 分.解答题应写出推理、演算步骤) 15. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) , | a ? b |? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ? 解: (Ⅰ)

?

?

?

?

2 5 . 5

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ? b ? ? cos? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? . ……………2 分
a ?b ?


2 5 , ? 5

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , ………3 分 5

2 ? 2 c o?? s ????

4 , ………5 分 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . ……………6 分 5

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(Ⅱ)

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , ……………7 分 2 2 3 5 4 12 cos ?? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? , cos ? ? ……………9 分 5 13 5 13 , ?
? s ? ??? ?in co ?s? ? c o ?s ?? ? s ?i ?n ? ?分 ??? 11

0 ?? ?

?

?

?s i n ? ? s i? n? ? ? ? ? ?? ?? ?

4 1 2 3? 5 ? ? ? ? ?? ? ? ? 5 1 3 5? 1 ?3

33 . ……………12 分 65
1 1 ,公比 q ? 的等比数列, , 4 4

16. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 是首项为 a1 ?

设 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn .
4

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn. 解(1)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *) ,……………2 分

1 n 4 又 bn ? 3log 1 an ? 2 ,
4

故 bn ? 3n ? 2(n ? N *) ……………4 分 (2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) ……………6 分 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , ……7 分 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4
…………………………9 分 两式相减,得

3 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 4 4 4 4 4 4 2 4
…………………………12 分

? Sn ?

2 3n ? 2 1 n ? ? ( ) (n ? N *) ……………12 分 3 3 4

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17. (本小题满分 14 分)已知 10 件产品中有 3 件是次品. (I)任意取出 3 件产品作检验,求其中至少有 1 件是次品的概率; (II)为了保证使 3 件次品全部检验出的概率超过 0.6,最少应抽取几件产品作检验?
3 3 解: (1)任意取出 3 件产品作检验,全部是正品的概率为 C7 / C10 ? 7 / 24 …………3 分

故至少有一件是次品的概率为 1-7/24=17/24……………………6 分 (2)设抽取 n 件产品作检验,则 3 件次品全部检验出的概率为 C3 Cn7 . ………8 分
C10
3 n ?3

由 C7 n ? 0.6, 即
C10

n ?3

7! 6 10! ? ? , ……………9 分 (n ? 3)!(10 ? n)! 10 n !(10 ? n)!

整理得: n(n ? 1)(n ? 2) ? 9 ? 8 ? 6 ,……………………11 分
n ? N , n ? 10,

∴当 n=9 或 n=10 时上式成立.…………13 分

答:任意取出 3 件产品作检验,其中至少有 1 件是次品的概率为 17/24,为了保证使 3 件 次品全部检验出的概率超过 0.6,最少应抽取 9 件产品作检验.………………14 分 18. (本题满分 14 分)如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2. (I)求证: AO ? 平面 BCD;
(II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离. 解:方法一: (I)证明:连结 OC

A

D O B E C

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ………1 分 BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.

在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC. ……………3 分
又 AO ? BD,BD

OC ? O,

? AO ? 平面 BCD ……………5 分
(II) 解: 取 AC 的中点 M, 连结 OM、 ME、 OE, 由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角。……………6 分 在 ?OME 中,
EM ? 1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, ……………7 分 2 2 2

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OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线, 1 ? OM ? AC ? 1, ……………8 分 2

? cos ?OEM ?

1 ? 1/ 2 ? 1 2 ? , 4 2 ?1? 2 / 2

? 异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余弦为 2 / 4 ;……………9 分
(III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S?ACD ? . AO.S?CDE . 3 3
……………11 分

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,
1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2

……………12 分

1 3 2 3 而 AO ? 1, S?CDE ? ? ?2 ? , ……………13 分 2 4 2

3 AO.S ?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S ?ACD 7 7 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离为

21 . ……………14 分 7

方法二: (I)同方法一.……………5 分 (II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 B(1,0,0), D(?1,0,0), C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( ,

1 3 , 0), ………………6 分 2 2
z A

BA ? (?1,0,1), CD ? (?1, ? 3,0). …………7 分

D O x B C y

E

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? cos ? BA, CD ?? BA.CD BA CD ? 2 , ………9 分 4

? 异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余弦为 2 / 4 ;……………10 分
(III)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ……………11 分 ? n . AC ? ( x , y , z ).(0, 3, ? 1) ? 0, ? ?
? ? x ? z ? 0, ?? ? ? 3 y ? z ? 0.
令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量.……………12 分 又 EC ? (? ,

1 3 , 0), ? 点 E 到平面 ACD 的距离 2 2

h?

EC.n n

?

3 21 ? . ……………14 分 7 7
2 3 x ? 2 x 2 ? cx ? 4 , g ( x) ? e x ? e 2? x ? f ( x) , 3

19. (本题满分 14 分)已知 f ( x) ?

(1)若 f(x)在 x ? 1 ? 2 处取得极值,试求 c 的值和 f(x)的单调增区间; (2) 如右图所示, 若函数 y ? f ( x) 的图象在 [ a, b] 连 续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在

c ? (a, b), 使得 f ' (c) ? ? (用含有 a,b,f(a),f(b)的表达
式直接回答) (3)利用(2)证明:函数 y=g(x)图象上任意两点的 连线斜率不小于 2e-4. 解: (1) f ( x) ? 2 x ? 4 x ? c ,………1 分
' 2

依题意,有 f ' (1 ? 2 ) ? 0 ,即

c ? ?2(1 ? 2 ) 2 ? 4(1 ? 2 ) ? ?2 .……………2 分

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? f ( x) ? 2 3 x ? 2 x 2 ? 2 x ? 4 , f ' ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 2 . 3

令 f ' ( x) ? 0, 得 x ? 1 ? 2或x ? 1 ? 2 ,……………4 分 从而 f(x)的单调增区间为: (??,1 ? 2 ]及[1 ? 2 ,??) ;……………5 分 (2) f (c) ?
'

f (b) ? f (a) ;……………8 分 b?a
x 2? x

(3) g ( x) ? e ? e

? f ( x) ? ? e x ? e 2? x ?

2 3 x ? 2 x 2 ? 2 x ? 4 ,…………9 分 3

g ' ( x) ? e x ? e 2? x ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ……………10 分
? ex ?
2 e2 2 x e ? 2( x ? 1) ? 4 ? 2 e ? ? 2 ? 0 ? 4 ? 2e ? 4. ………12 分 ex ex

由(2)知,对于函数 y=g(x)图象上任意两点 A、B,在 A、B 之间一定存在一点

C(c, g ' (c)) , 使 得 g ' (c) ? K AB , 又 g ' ( x) ? 2e ? 4 , 故 有 K AB ? g ' (c) ? 2e ? 4 , 证
毕.………14 分 20. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ,g ? x ? ? x ? 1 . (1)若 ?x ? R 使 f ? x ? ? b ? g ? x ? ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F ? x ? ? f ? x? ? mg ? x? ? 1 ? m ? m2 ,且 F ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,求实数 m 的取值 范围. 解: (1)由 ?x ? R , 所以, ?

f ? x ? ? bg ? x ? ,得 ?x ? R , x2 ? bx ? b ? 0 ,……………1 分
2

? ? ?b ? ? 4b ? 0 ……………3 分

解得b ? 0或b ? 4 ;……………4 分
(2)由题设得 F

? x ? ? x 2 ? mx ? 1 ? m 2 ,……………5 分
m 2 2 2 , ? ? m ? 4 1 ? m ? 5m ? 4 。……………7 分 2

对称轴方程为 x ?

?

?

由于 F ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,则有

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(Ⅰ)当 ? ? 0 即 ?

2 5 2 5 时,有 ?m? 5 5

m ? ? 2 ?0 ? 2 5 2 5 ? ? ? 5 ? m? 5
(Ⅱ)当 ? ? 0 即 m ? ? 设方程 F ① 若m

解得 ?

2 5 ? m ? 0 。……………9 分 5

2 5 2 5 时, 或m ? 5 5

? x ? ? 0 的根为 x1 ,x2 ? x1 ? x2 ? ,
? 2 5 m 5 ? ,则 5 2 5
,有 ?

?m / 2 ? 1,
2 ? x1 ? 0 ? F (0) ? 1 ? m ? 0.

解得 m ? 2 ;……………11 分 ②若 m ?

?

2 5 m 5 ?? ,即 ,有 x1 ? 0,x2 ? 0 ; 5 2 5

? ?x ? x ? 0 ? m ? 0 1 2 ? ? ? ? x1 x2?0 ? 1 ? m2 ? 0 ? ?1 ? m ? 1 ? ?m ? ? 2 5 ? 5 ?
解得 ? 1 ? m ? ? 2 5 。……………13 分 5
2 5 或m ? 2 。 5

由①②得 ?1 ? m ? ? 综合(Ⅰ), (Ⅱ)有

.……………14 分 ?1 ? m ? 0 或m ? 2

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=================================================================== == 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教 版新版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳 麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三, 小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学, 在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试, 教育,在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线 练习,在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资 料,辅导资料,课外辅导资料 ,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线 试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科 网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料,中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷, 考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 =================================================================== == 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升. =========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教 版新版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳 麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三, 小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学, 在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,

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