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第一章集合与常用逻辑用语测试(2)(含答案)


第一章:集合与常用逻辑用语 1.已知命题 p : “ a ? 1 是 x ? 0,x+ 题正确的是( B ) (A)命题“ p ? q ”是真命题 (C)命题“ p ? ? ?q ? ”是真命题
2

a ? 2 ”的充分必要条件”; 命题 q : “存在 x0 ? R , 使得 x02 ? x0 ? 2 ? 0 ”, 下列 命 x
(B)

命题“ ? ?p ? ? q ”是真命题 (D)命题“ ? ?p ? ? ? ?q ? ”是真命题
[来源:Z&xx&k.Com]

2. 命题“ ?x ? R ,使得 x ? 1 ? 0 ”的否定为( D ) A. ?x ? R ,都有 x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R ,都有 x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R ,都有 x ? 1 ? 0
2

D. ?x ? R ,都有 x ? 1 ? 0
2

[来源:学 .科 .网]

3. 已知集合 U ? R, 集合A={x | y ? 1 ? }, 则CU A = A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 0或x ? 1} C. {x | x ? 1}

1 x

( A D. {x | x ? 0} )



4. 已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1} , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 1} ,则 M ? N ? ( C A. {(0,1)} B. {1,?2} C. {1} D. [?1,??)

5. “ m ? ?1 ”是“直线 mx? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充 要

A )条件

D.既不充分也不必要

6.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a x ”在 R 上是增函数”是“函数 g ( x) ? xa 在 (0, ??) 上是增函数”的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

7. 设 ?、? 为两个不同的平面,m 、n 为两条不同的直线, 且 m ? ? , n ? ? ,有两个命题: p : 若 m // n , 则 ? // ? ;

q :若 m ? ? ,则 ? ? ? ;那么( D )
A.“ p 或 q ”是假命题 B. “ p 且 q ”是真命 题
2

C.“非 p 或 q ” 是假命题 A ) D. a≤1 )

D.“非 p 且 q ”是真命题

8. “对任意的实数 x,不等式 x +2x+a>0 均成立”的充要条件是( A. a>1 B. a≥1 C. a<1

9.“a=1”是“函数 f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上单调递增”的( C A.充分必要条件

B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) C.?x∈R,x2-x+1>0 D.?x∈N,lgx=2 C )

10.下列命题中,假命题是( B A.?x∈R,2x 1>0


B.?x∈R,sinx= 2

11. 函数 f ? x ? ? x x ? a ? b 是奇函数的充要条件是--------------------------------------------( (A) ab ? 0 (B) a ? b ? 0 (C) a ? b ? 0
2 2

(D) a ? b

12. 己知全集 U ? R ,集合 A ?

x?2 ? ?x | x ? 1 ? 2, x ? R?, B ? ? ? 0, x ? R? , ?x | ? x ?

则 ?CU A ? ? B

?

( 0 , 1]

.

4x+3y-12≥0 ? ? 13.设 p:?3-x≥0 ,q:x2+y2>r2(x,y∈R,r>0),若 p 是 q 的充分不必要条件,则 r 的取值范围是________. ? ?x+3y≤12 12? [答案] ? ?0, 5 ? 14.下列正确结论的序号是________. ①命题?x∈R,x2+x+1>0 的否定是:?x∈R,x2+x+1<0. ②命题“若 ab=0,则 a=0,或 b=0”的否命题是“若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0”. ^ ③已知线性回归方程是 y =3+2x,则当自变量的值为 2 时,因变量的精确值为 7. 1 π ④若 a,b∈[0,1],则不等式 a2+b2< 成立的概率是 . 4 4 [答案] ②

2 15.已知命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0.命题 q:?x0∈R,使得 x0 +(a-1)x0+1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,

求实数 a 的取值范围. [解析] 由条件知,a≤x2 对?x∈[1,2]成立,∴a≤1; ∵?x0∈R,使 x2 0+(a-1)x0+1<0 成立, ∴不等式 x2+(a-1)x+1<0 有解,∴Δ=(a-1)2-4>0,∴a>3 或 a<-1; ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p 与 q 一真一假. ①p 真 q 假时,-1≤a≤1; ②p 假 q 真时,a>3. ∴实数 a 的取值范围是 a>3 或-1≤a≤1. 16.已知函数 f(x)=x2-2x+5,若存在一个实数 x0,使不等式 f(x0)-m>0 成立,求实数 m 的取值范围. [解析] 不等式 f(x0)-m>0 可化为 m<f(x0),若存在一个实数 x0 使不等式 m<f(x0)成立, 只需 m<f(x)min. 又∵f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4, ∴f(x)min=4,∴m<4. 故所求实数 m 的取值范围是(-∞,4). 17.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点. → → (1)求证:“如果直线 l 过点(3,0),那么OA· OB=3”是真命题. (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解析] (1)设 l:x=ty+3,代入抛物线 y2=2x,消去 x 得 y2-2ty-6=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=2t,y1· y2=-6, → → OA· OB=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2 =t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2 =-6t2+3t· 2t+9-6=3.

→ → ∴OA· OB=3,故为真命题. → → (2)(1)中命题的逆命题是:“若OA· OB=3,则直线 l 过点(3,0)”它是假命题. 设 l:x=ty+b,代入抛物线 y2=2x,消去 x 得 y2-2ty-2b=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2t,y1· y2=-2b. → → ∵OA· OB=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt· 2t+b2-2b=b2-2b, 令 b2-2b=3,得 b=3 或 b=-1, 此时直线 l 过点(3,0)或(-1,0).故逆命题为假命题. 18.设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. [解析] 令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,则 g′(x)=ln(x+1)+1-a, 令 g′(x)=0,解得 x=ea 1-1.


(1)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0. 所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数. 又 g(0)=0,所以对 x≥0,有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. (2)当 a>1 时,对于 0<x<ea 1-1,g′(x)<0,


所以 g(x)在(0,ea 1-1)上是减函数.


又 g(0)=0,所以对 0<x<ea 1-1,有 g(x)<g(0),


即 f(x)<ax. 所以当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立.综上所述 a 的取值范围是(-∞,1].


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