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北京市海淀区2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


2016-2017 学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷
一.选择题(每小题 4 分,共 32 分,每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的) 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,5},P={2,4},则下列结论正确 的是( )

A.1∈?U(M∪P) B.2∈?U(M∪P) C.3∈?U(M∪P) D.6??U(M∪P) 2.下列函数在区间(﹣∞,0)上是增函数的是( A.f(x)=x2﹣4x )

B.g(x)=3x+1 C.h(x)=3﹣x D.t(x)=tanx )

3.已知向量 =(1,3) , =(3,t) ,若 ∥ ,则实数 t 的值为( A.﹣9 B.﹣1 C.1 D.9

4.下列函数中,对于任意的 x∈R,满足条件 f(x)+f(﹣x)=0 的函数是( A.f(x)=x 5.代数式 sin( A.﹣1 B.0 B.f(x)=sinx C.f(x)=cosx D.f(x)=log2(x2+1) + C.1 )+cos( D. = , = ,则向量 , ﹣ )的值为( )



6.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,向量 角为( A. ) B. C. D.

的夹

7. =3sin 如果函数 f (x) (2x+φ) 的图象关于点( 那么函数 f(x)图象的一条对称轴是( A.x=﹣ B.x= C.x= D.x= )

0) , 成中心对称 (|φ|<

) ,

8. = 已知函数 f (x)

其中 M∪P=R, 则下列结论中一定正确的是 (



A.函数 f(x)一定存在最大值 B.函数 f(x)一定存在最小值 C.函数 f(x)一定不存在最大值 D.函数 f(x)一定不存在最小值

二.填空题(本大题 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)

9.函数 y=

的定义域为

. . .

10.已知 a=40.5,b=0.54,c=log0.54,则 a,b,c 从小到大的排列为 11.已知角 α 终边上有一点 P(x,1) ,且 cosα=﹣ ,则 tanα= 12.已知△ABC 中,点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(x,1) (i)若∠ACB 是直角,则 x= (ii)若△ABC 是锐角三角形,则 x 的取值范围是 .

13.燕子每年秋天都要从北方到南方过冬,鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速 度 v 与耗氧量 x 之间满足函数关系 v=alog2 . 若两岁燕子耗氧量达到 40 个单位 单

时, 其飞行速度为 v=10m/s, 则两岁燕子飞行速度为 25m/s 时, 耗氧量达到 位. 14.已知函数 f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x (1)当 a= 时,满足不等式 f(x)>1 的 x 的取值范围为 ; .

(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点,则实数 a 的取值范围为

三.解答题(本大题共 4 小题,共 44 分) 15.已知函数 f(x)=x2+bx+c,其对称轴为 y 轴(其中 b,c 为常数) (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)记函数 g(x)=f(x)﹣2,若函数 g(x)有两个不同的零点,求实数 c 的取值范围; (Ⅲ)求证:不等式 f(c2+1)>f(c)对任意 c∈R 成立.

16.已知如表为“五点法”绘制函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图象时的五个关键点的 坐标(其中 A>0,ω>0,|φ|<π) x ﹣

f(x)

0

2

0

﹣2

0

(Ⅰ)请写出函数 f(x)的最小正周期和解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递减区间; (Ⅲ)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围.

17.如图,在平面直角坐标系中,点 A(﹣ ,0) ,B( ,0) ,锐角 α 的终边与 单位圆 O 交于点 P. (Ⅰ)用 α 的三角函数表示点 P 的坐标; (Ⅱ)当 ? =﹣ 时,求 α 的值; |= | |恒成立?若存在,求出点 M

(Ⅲ)在 x 轴上是否存在定点 M,使得| 的横坐标;若不存在,请说明理由.

18.已知函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 T≠0,使得 f(x)=Tf(x+T)对 任意的 x∈R 成立,则称函数 f(x)是 Ω 函数. (Ⅰ)判断函数 f(x)=x,g(x)=sinπx 是否是 Ω 函数; (只需写出结论) (Ⅱ)说明:请在(i) 、 (ii)问中选择一问解答即可,两问都作答的按选择(i) 计分 (i)求证:若函数 f(x)是 Ω 函数,且 f(x)是偶函数,则 f(x)是周期函数; (ii)求证:若函数 f(x)是 Ω 函数,且 f(x)是奇函数,则 f(x)是周期函数; (Ⅲ)求证:当 a>1 时,函数 f(x)=ax 一定是 Ω 函数.

选做题(本题满分 10 分) 19.记所有非零向量构成的集合为 V,对于 , ∈V, ≠ ,定义 V( , )=|x ∈V|x? =x? | (1)请你任意写出两个平面向量 , ,并写出集合 V( , )中的三个元素; (2)请根据你在(1)中写出的三个元素,猜想集合 V( , )中元素的关系, 并试着给出证明; =V λ2, (3) 若V ( ,) ( ,) , 其中 ≠ , 求证: 一定存在实数 λ1, 且 λ1+λ2=1, 使得 =λ1 +λ2 .

2016-2017 学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 4 分,共 32 分,每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的) 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,5},P={2,4},则下列结论正确 的是( )

A.1∈?U(M∪P) B.2∈?U(M∪P) C.3∈?U(M∪P) D.6??U(M∪P) 【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】首先计算 M∪P,并求其补集,然后判断元素与集合的关系. 【解答】解:由已知得到 M∪P={1,5,2,4};所以?U(M∪P)={3,6};故 A、 B、D 错误; 故选:C.

2.下列函数在区间(﹣∞,0)上是增函数的是( A.f(x)=x2﹣4x



B.g(x)=3x+1 C.h(x)=3﹣x D.t(x)=tanx

【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】分别判断选项中的函数在区间(﹣∞,0)上的单调性即可. 【解答】解:对于 A,f(x)=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4,在(﹣∞,0)上是单调减 函数,不满足题意; 对于 B,g(x)=3x+1 在(﹣∞,0)上是单调增函数,满足题意; 对于 C,h(x)=3﹣x= 是(﹣∞,0)上的单调减函数,不满足题意;

对于 D,t(x)=tanx 在区间(﹣∞,0)上是周期函数,不是单调函数,不满足 题意. 故选:B.

3.已知向量 =(1,3) , =(3,t) ,若 ∥ ,则实数 t 的值为( A.﹣9 B.﹣1 C.1 D.9



【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】利用向量共线列出方程求解即可. 【解答】解:向量 =(1,3) , =(3,t) ,若 ∥ , 可得 t=9. 故选:D.

4.下列函数中,对于任意的 x∈R,满足条件 f(x)+f(﹣x)=0 的函数是( A.f(x)=x B.f(x)=sinx C.f(x)=cosx D.f(x)=log2(x2+1)



【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】对于任意的 x∈R,满足条件 f(x)+f(﹣x)=0 的函数是奇函数,分析 选项,即可得出结论. 【解答】解:对于任意的 x∈R,满足条件 f(x)+f(﹣x)=0 的函数是奇函数. A,非奇非偶函数;B 奇函数,C,D 是偶函数, 故选 B.

5.代数式 sin( A.﹣1 B.0

+ C.1

)+cos( D.



)的值为(



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】原式利用诱导公式化简,再利用特殊角的三角函数值计算即可得答案. 【解答】解:sin( 故选:C. + )+cos( ﹣ )= .

6.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,向量 角为( A. ) B. C. D.

=



=

,则向量



的夹

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,以 AD 为 x 轴,建立直角坐标系,根

据向量的夹角的公式计算即可 【解答】解:设向量 , 的夹角为 θ,

以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,以 AD 为 x 轴,建立直角坐标系, ∴A(0,0) ,B(1.0) ,C(1,1) ,D(0,1) , ∵向量 = , = ,

∴E( ,1) ,F(1, ) , ∴ ∴| =( ,1) , |= , = =(1, ) , , ? = + = ,

∴cosθ=

=

=



∴θ=



故选:B

7. =3sin 如果函数 f (x) (2x+φ) 的图象关于点( 那么函数 f(x)图象的一条对称轴是( A.x=﹣ B.x= C.x= D.x= )

0) , 成中心对称 (|φ|<

) ,

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由正弦函数的对称性可得 2× +φ=kπ,k∈Z,结合范围|φ|< ,可

求 φ,令 2x+

=kπ+

,k∈Z,可求函数的对称轴方程,对比选项即可得解. ,0)成中心对称,

【解答】解:∵函数 f(x)=3sin(2x+φ)的图象关于点( ∴2× ∵|φ|< ∴φ= +φ=kπ,k∈Z,解得:φ=kπ﹣ , ) , + . ,k∈Z, ,k∈Z,

,可得:f(x)=3sin(2x+ =kπ+

∴令 2x+

,k∈Z,可得:x=

∴当 k=0 时,可得函数的对称轴为 x= 故选:B.

8. = 已知函数 f (x)

其中 M∪P=R, 则下列结论中一定正确的是 (



A.函数 f(x)一定存在最大值 B.函数 f(x)一定存在最小值 C.函数 f(x)一定不存在最大值 D.函数 f(x)一定不存在最小值

【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】分别根据指数函数和二次函数的图象和性质,结合条件 M∪P=R,讨论 M,P,即可得到结论. 【解答】解:由函数 y=2x 的值域为(0,+∞) , y=x2 的值域为[0,+∞) , 且 M∪P=R, 若 M=(0,+∞) ,P=(﹣∞,0], 则 f(x)的最小值为 0,故 D 错; 若 M=(﹣∞,2) ,P=[2,+∞) , 则 f(x)无最小值为,故 B 错; 由 M∪P=R,可得图象无限上升, 则 f(x)无最大值. 故选:C.

二.填空题(本大题 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.函数 y= 的定义域为 [2,+∞) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0,然后求解指数不等式. 【解答】解:由 2x﹣4≥0,得 2x≥4,则 x≥2. ∴函数 y= 的定义域为[2,+∞) .

故答案为:[2,+∞) .

10.已知 a=40.5,b=0.54,c=log0.54,则 a,b,c 从小到大的排列为 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解. 【解答】解:∵a=40.5>40=1, 0<b=0.54<0.50=1, c=log0.54<log0.51=0, ∴a,b,c 从小到大的排列为 c<b<a. 故答案为:c<b<a.

c<b<a



11.已知角 α 终边上有一点 P(x,1) ,且 cosα=﹣ ,则 tanα= 【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】利用任意角的三角函数的定义,求得 tanα 的值. 【解答】解:∵角 α 终边上有一点 P(x,1) ,且 cosα=﹣ = ∴tanα= =﹣ 故答案为:﹣ , .





,∴x=﹣



12.已知△ABC 中,点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(x,1) (i)若∠ACB 是直角,则 x= (ii) 若△ABC 是锐角三角形, 则 x 的取值范围是 (﹣2, ﹣ ) ∪ (2, +∞) .

【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】 (i)求出 =(﹣2﹣x,﹣1) , =(2﹣x,﹣1) ,由∠ACB 是直角,则

=0,由此能求出 x. (ii) 分别求出 , , , , , , 由△ABC 是锐角三角形, 得 ,

由此能求出 x 的取值范围. 【解答】解: (i)∵△ABC 中,点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(x,1) , ∴ =(﹣2﹣x,﹣1) , =(2﹣x,﹣1) ,

∵∠ACB 是直角, ∴ 解得 x= =(﹣2﹣x) (2﹣x)+(﹣1) (﹣1)=x2﹣3=0, .

(ii)∵△ABC 中,点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(x,1) , ∴ =(﹣2﹣x,﹣1) , =(2﹣x,﹣1) , =(x+2,1) , = ( 4 ,0 ) , =

(x﹣2,1) ,

=(﹣4,0) ,

∵△ABC 是锐角三角形, ∴ ,解得﹣2<x<﹣ 或 x>2.

∴x 的取值范围是(﹣2,﹣ 故答案为: , (﹣2,﹣

)∪(2,+∞) . )∪(2,+∞) .

13.燕子每年秋天都要从北方到南方过冬,鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速 度 v 与耗氧量 x 之间满足函数关系 v=alog2 . 若两岁燕子耗氧量达到 40 个单位 320

时, 其飞行速度为 v=10m/s, 则两岁燕子飞行速度为 25m/s 时, 耗氧量达到 单位. 【考点】对数函数的图象与性质.

【分析】由题意,令 x=4,y=10 代入解析式得到 a;求得解析式,然后将 v=25 代入解析式求 x 【解答】解:由题意,令 x=40,v=10

10=alog24;所以 a=5; v=25 m/s,25=5 log 故答案为:320. ,得到 x=320 单位.

14.已知函数 f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x (1)当 a= 时,满足不等式 f(x)>1 的 x 的取值范围为 (2,+∞) ;

(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点,则实数 a 的取值范围为 【考点】分段函数的应用. 【分析】 (1)化为分段函数,再解不等式即可,

[ ,1) .

(2)①)当 a≥1②当 0<a<1③当 a≤0 三种情况,画出 f(x)=|ax﹣1|与 g(x) =(a﹣1)x 的图象,利用图象确定有无交点. 【解答】解: (1)a= 时,f(x)=| x﹣1|+ x= ∵f(x)>1, ∴ 解得 x>2, 故 x 的取值范围为(2,+∞) , (2)函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点, ①当 a≥1 时,f(x)=|ax﹣1|与 g(x)=(a﹣1)x 的图象: , ,

两函数的图象恒有交点, ②当 0<a<1 时,f(x)=|ax﹣1|与 g(x)=(a﹣1)x 的图象:

要使两个图象无交点,斜率满足:a﹣1≥﹣a, ∴a≥ ,故 ≤≤a<1 ③当 a≤0 时,f(x)=|ax﹣1|与 g(x)=(a﹣1)x 的图象:

两函数的图象恒有交点, 综上①②③知: ≤a<1 故答案为: (2,+∞) ,[ ,1)

三.解答题(本大题共 4 小题,共 44 分) 15.已知函数 f(x)=x2+bx+c,其对称轴为 y 轴(其中 b,c 为常数) (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)记函数 g(x)=f(x)﹣2,若函数 g(x)有两个不同的零点,求实数 c 的取值范围; (Ⅲ)求证:不等式 f(c2+1)>f(c)对任意 c∈R 成立. 【考点】二次函数的性质. 【分析】 (Ⅰ)若函数 f(x)=x2+bx+c,其对称轴为 y 轴,则 =0,解得 b 值;

(Ⅱ)由(I)得 g(x)=f(x)﹣2=x2+c﹣2,若函数 g(x)有两个不同的零点, 则△=﹣4(c﹣2)>0,解得 c 的范围;

(Ⅲ)函数 f(x)=x2+c 的开口朝上,证得|c2+1|2﹣|c|2>0 恒成立,可得不等式 f(c2+1)>f(c)对任意 c∈R 成立. 【解答】解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=x2+bx+c,其对称轴为 y 轴, ∴ =0,

解得:b=0; (Ⅱ)由(I)得:f(x)=x2+c, 则 g(x)=f(x)﹣2=x2+c﹣2, 若函数 g(x)有两个不同的零点, 则△=﹣4(c﹣2)>0, 解得:c<2; (Ⅲ)证明:函数 f(x)=x2+c 的开口朝上, ∵|c2+1|2﹣|c|2=c4+c2+1=(c2+ )2+ >0 恒成立, 故|c2+1|>|c|, 故不等式 f(c2+1)>f(c)对任意 c∈R 成立.

16.已知如表为“五点法”绘制函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图象时的五个关键点的 坐标(其中 A>0,ω>0,|φ|<π) x ﹣

f(x)

0

2

0

﹣2

0

(Ⅰ)请写出函数 f(x)的最小正周期和解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递减区间; (Ⅲ)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 【分析】 (Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图 求出 φ 的值,可得函数 f(x)的解析式,从而求得它的周期. (Ⅱ)利用正弦函数的单调性,求得函数 f(x)的单调递减区间. (Ⅲ)利用正弦函数的定义域和值域,求得函数 f(x)在区间[0, ]上的取值

范围. 【解答】解: (Ⅰ)由表格可得 A=2, 图可得 2? +φ= ,∴φ= , =π. ≤x≤kπ+ ],k∈Z. )∈[﹣ ,1],f , = + ,∴ω=2,结合五点法作

∴f(x)=2sin(2x+ (Ⅱ)令 2kπ﹣

) ,它的最小正周期为 ≤2kπ+

≤2x+

,求得 kπ﹣ ,kπ+

可得函数 f(x)的单调递减区间为[kπ﹣ (Ⅲ)在区间[0, (x)∈[﹣ ,2], ,2]. ]上,2x+ ∈[ ,

],sin(2x+

即函数 f(x)的值域为[﹣

17.如图,在平面直角坐标系中,点 A(﹣ ,0) ,B( ,0) ,锐角 α 的终边与 单位圆 O 交于点 P. (Ⅰ)用 α 的三角函数表示点 P 的坐标; (Ⅱ)当 ? =﹣ 时,求 α 的值; |= | |恒成立?若存在,求出点 M

(Ⅲ)在 x 轴上是否存在定点 M,使得| 的横坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】向量数乘的运算及其几何意义;任意角的三角函数的定义. 【分析】 (Ⅰ)用 α 的三角函数的坐标法定义得到 P 坐标; (Ⅱ)首先写成两个向量的坐标根据 求 α 的值; (Ⅲ)假设存在 M(x,0) ,进行向量的模长运算,得到三角等式,求得成立的 ? =﹣ ,得到关于 α 的三角函数等式,

x 值. 【解答】解:锐角 α 的终边与单位圆 O 交于点 P. (Ⅰ)用 α 的三角函数表示点 P 的坐标为(cosα,sinα) ; (Ⅱ) 即(cos ) (cos , )+sin2α= ,整理得到 cos , ? =﹣ 时,

,所以锐角 α=60°; , ,整理得 2cosα

(Ⅲ)在 x 轴上假设存在定点 M,设 M(x,0) , 则由 | |= | | 恒成立,得到 =

(2+x)=x2﹣4, 所以存在 x=﹣2 时等式恒成立,所以存在 M(﹣2,0) .

18.已知函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 T≠0,使得 f(x)=Tf(x+T)对 任意的 x∈R 成立,则称函数 f(x)是 Ω 函数. (Ⅰ)判断函数 f(x)=x,g(x)=sinπx 是否是 Ω 函数; (只需写出结论) (Ⅱ)说明:请在(i) 、 (ii)问中选择一问解答即可,两问都作答的按选择(i) 计分 (i)求证:若函数 f(x)是 Ω 函数,且 f(x)是偶函数,则 f(x)是周期函数; (ii)求证:若函数 f(x)是 Ω 函数,且 f(x)是奇函数,则 f(x)是周期函数; (Ⅲ)求证:当 a>1 时,函数 f(x)=ax 一定是 Ω 函数. 【考点】函数与方程的综合运用. 【分析】 (I)①利用 Ω 对于即可判断出函数 f(x)=x 不是 Ω 函数.②对于 g(x) =sinπx 是 Ω 函数,令 T=﹣1,对任意 x∈R,有 Tf(x+T)=f(x)成立. (II) (i)函数 f(x)是 Ω 函数,可得存在非零常数 T,Tf(x+T)=f(x) ,Tf(﹣ x+T)=f(﹣x) .又 f(x)是偶函数,可得 Tf(﹣x+T)=Tf(x+T) ,T≠0,化为: f(x+T)=f(﹣x+T) ,通过换元进而得出:f(2T+t)=f(t) ,因此函数 f(x)是 周期为 2T 的周期函数. (ii)同(i)可以证明. (III)当 a>1 时,假设函数 f(x)=ax 是 Ω 函数,则存在非零常数 T,Tf(x+T) =f(x) ,可得 Tax+T=ax,化为:TaT=1,即 aT= ,此方程有非 0 的实数根,即可证

明. 【解答】解: (I)①对于函数 f(x)=x 是 Ω 函数,假设存在非零常数 T,Tf(x+T) =f(x) ,则 T(x+T)=x,取 x=0 时,则 T=0,与 T≠0 矛盾,因此假设不成立,即 函数 f(x)=x 不是 Ω 函数. ②对于 g(x)=sinπx 是 Ω 函数,令 T=﹣1,则 sin(πx﹣π)=﹣sin(π﹣πx)=﹣ sinπx.即﹣sin(π(x﹣1) )=sinπx. ∴Tsin(πx+πT)=sinπx 成立,即函数 f(x)=sinπx 对任意 x∈R,有 Tf(x+T)=f (x)成立. (II) (i)证明:∵函数 f(x)是 Ω 函数,∴存在非零常数 T,Tf(x+T)=f(x) , Tf(﹣x+T)=f(﹣x) . 又 f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x) ,∴Tf(﹣x+T)=Tf(x+T) ,T≠0,化为: f(x+T)=f(﹣x+T) , 令 x﹣T=t,则 x=T+t,∴f(2T+t)=f(﹣t)=f(t) ,可得:f(2T+t)=f(t) ,因 此函数 f(x)是周期为 2T 的周期函数. (ii)证明:∵函数 f(x)是 Ω 函数,∴存在非零常数 T,Tf(x+T)=f(x) ,Tf (﹣x+T)=f(﹣x) . 又 f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) ,∴﹣Tf(x+T)=Tf(﹣x+T) ,T≠0,化 为:﹣f(x+T)=f(﹣x+T) , 令 x﹣T=t,则 x=T+t,∴﹣f(2T+t)=f(﹣t)=﹣f(t) ,可得:f(2T+t)=f(t) , 因此函数 f(x)是周期为 2T 的周期函数. (III)证明:当 a>1 时,假设函数 f(x)=ax 是 Ω 函数,则存在非零常数 T,Tf (x+T)=f(x) , ∴Tax+T=ax,化为:TaTax=ax,∵ax>0,∴TaT=1,即 aT= ,此方程有非 0 的实数 根,因此 T≠0 且存在, ∴当 a>1 时,函数 f(x)=ax 一定是 Ω 函数.

选做题(本题满分 10 分) 19.记所有非零向量构成的集合为 V,对于 , ∈V, ≠ ,定义 V( , )=|x ∈V|x? =x? |

(1)请你任意写出两个平面向量 , ,并写出集合 V( , )中的三个元素; (2)请根据你在(1)中写出的三个元素,猜想集合 V( , )中元素的关系, 并试着给出证明; =V λ2, (3) 若V ( ,) ( ,) , 其中 ≠ , 求证: 一定存在实数 λ1, 且 λ1+λ2=1, 使得 =λ1 +λ2 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)比如 =(1,2) , =(3,4) ,设 =(x,y) ,运用数量积的坐标表 示,即可得到所求元素; (2)由(1)可得这些向量共线.理由:设 =(s,t) , =(a,b) , =(c,d) , 运用数量积的坐标表示,以及共线定理即可得到; (3)设 =(s,t) , =(a,b) , =(c,d) , =(u,v) , =(e,f) ,运用新定 义和数量积的坐标表示,解方程可得 a,即可得证. 【解答】解: (1)比如 =(1,2) , =(3,4) ,设 =(x,y) , 由 ? = ? ,可得 x+2y=3x+4y, 即为 x+y=0, 则集合 V( , )中的三个元素为(1,﹣1) , (2,﹣2) , (3,﹣3) ; (2)由(1)可得这些向量共线. 理由:设 =(s,t) , =(a,b) , =(c,d) , 由 ? = ? ,可得 as+bt=cs+dt, 即有 s= 即 =( t, t,t) ,

故集合 V( , )中元素的关系为共线; (3)证明:设 =(s,t) , =(a,b) , =(c,d) , =(u,v) , =(e,f) , 若 V( , )=V( , ) , 即有 as+bt=cs+dt,au+bv=ue+fv, 解得 a= ?c+ ?e+ , ,

可令 d=f,可得 λ1=

λ2=



则一定存在实数 λ1,λ2,且 λ1+λ2=1,使得 =λ1 +λ2 .


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