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1.2.1充要条件


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1、命题: 可以判断真假的语句,可写成:若p则q。 2、四种命题及相互关系: 原命题 若 p则 q
互 否 互逆

逆命题 若 q则 p
互 否

互为

逆否

否命题 若 p则 q

互逆

逆否命题 若 q则 p

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判断下列命题是真命题还是假命题?

(1)若x>a2+b2,则x>2ab。

(2)若ab=0,则a=0。
(3)有两角相等的三角形是等腰三角形。

(4)若a2>b2,则a>b。
(1)、(3)为真命题。
(2)、(4)为假命题。

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如果命题“若p则q”为真,则记作p 如果命题“若p则q”为假,则记作p

q(或q q。

p)

定义:如果 p ? q ,则说p是q的充分条件 (sufficient condition), q是p的必要条件(necessary condition).

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例1、 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中的p是q的充分条件? (1) 若 x=1,则x2-4x+3=0; (2) 若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3) 若x为无理数,则x2为无理数 . 例2、 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中的q是p的必要条件? (1) 若 x=y,则x2=y2; (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3) 若a>b,则ac>bc.

思考: 已知p:整数a是6的倍数,
q:整数a是2和3的倍数,

定义: 如果既有p ? q,又有q ? p就记做p ? q
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件 (也可以说成”p与q等价”) p与q互为充要条件

那么p是q的什么条件?

自主探究
1;根据充要条件的定义写出各种条件的可 能情况 2;他们的逻辑关系是什么? 3;分别给各种条件举出一个例子

各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件

2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1)A B且B A,则A是B的
充分非必要条件

2)若A B且B 3)若A 4)A B且B B且B

A,则A是B的
必要非充分条件

A,则A是B的
既不充分也不必要条件

A,则A是B的
充分且必要条件

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练习、1 判断下列命题中前者是后者的什么条件? 后者是前者的什么条件? (1)若a>b,c>d,则a+c>b+d。 (2)ax2+ax+1>0的解集为R,则0<a<4。 (3)若a2>b2,则a>b。 (4)若ab=0,则a=0。 (5)若 x=y,则x2=y2 ( 6) 若x2>1,则x<-1或x>1 2 关于x的方程ax2+2x+1=0有根的充要条件是?

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定 义:

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如果已知p

q,则说p是q的充分条件,

q是p的必要条件。 判别步骤: ① 认清条件和结论。 ② 考察p 判别技巧: ① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 q和q p的真假。

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1、课本P 12 练习3、4。

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补:
2、写出生活中有充要条件,充分不必要

必要不充分,既不充分也不必要的名言名句。


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