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正弦、余弦定理、解斜三角形练习及答案


正弦定理、余弦定理和解斜三角形练习题及答案
【注】实战练对应本讲全部内容, (A)和(B)同学们可根据自己的学习情况选定一组(或 由老师指定) ,其中(B)组题对解题能力要求高于(A)组 一、填空题(3 ? 10=30 分) 1.在 ΔABC 中,已知 a ? 3 , b ? 1, B ?
π ,则 c ? ___________ 6

2.已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为 4 : 3 ,则它的顶角的正切值是__________ 3.在 ΔABC 中,若 sin A sinB ? sin Acos B ? cos A sinB ? cos A sinB ? cos Acos B ? 2 ,那么三角 形的形状为_______________ 4.在 ΔABC 中, ?cot A ? 1??cot B ? 1? ? 2 ,则 log2 sinC ? _______________ 5.在 ΔABC 中, A ?
π a?b?c , b ? 1, S ? 3 ,则 ? 3 sin A ? sin B ? sinC

6.在锐角 ΔABC 中,若 tan A ? t ? 1, tan B ? t ? 1 ,则 t 的取值范围是__________ 7.在 ΔABC 中,若
sin2 B ? sin2 C ? sin2 A ? 1 ,则 A ? ________________ sin B sinC

8. 在 ΔABC 中, 已知 a ? 2, A ?

π , 若此三角形有两解, 则 b 的取值范围是__________________ 4

9.(A)在 ΔABC 中, A ? C ? 2B, b 2 ? ac ,则三角形的形状为________________ (B) 已知 A ? B ? C ? ? ,且 sin A ? cos B ? cos C ,则在 cot B ? cot C、 tan B ? tan C、s i nB + s i nC 及 cos B ? cos C 中必为常数的有_________ 10.(A)在 ΔABC 中, c ? 1, a ? 2 ,则 C 的取值范围是__________________ (B)已知三角形的三边长分别是 2a ? 3, a ? 3a ? 3, a ? 2a ? a ? 0? , 则三角形的最大角
2 2

等于______________ 二、 选择题 (3 ? 4=12 分) 11.在 ΔABC 中, sin A ? sinB ? cos A ? cos B 是 C ?
π 2





A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 12.在 ΔABC 中,若 sin A : sinB : sinC ? 3 : 4 : 5 则此三角形是 ( A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 13. 在 ΔABC 中, 若 a cos2 A. a ? b ? 2c B.
C A 3b , 那么其三边关系式为 ? c cos2 ? 2 2 2
a ? c ? 2b







C. b ? c ? 2a

D. 2a ? 2c ? 3b

14.(A)在 ΔABC 中, a , b , c 为三角形三条边,且方程 x 2 ? 2cx ? a 2 ? b 2 ? 0 有两个相等的实数 根, 则该三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形
2

( C.钝角三角形 D.等腰三角形



(B)已知关于 x 的方程 x ? x ? cos A cos B ? 1 ? cos C ? 0 的两根之和等于两根之积的 一半,则 ΔABC 是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形
第1页

( ) D.等腰直角三角形

三、解答题 (10+10+12+12+14=58 分) 15.在 ΔABC 中,若 sin B sinC ? cos2
A ,试判断三角形的形状 2

16.在 ΔABC 中,若 ?a ? b ? c ??a ? b ? c ? ? ac ,求 B 。

17.在 ΔABC 中,若 4 sin2 值。

B?C 7 (1)求 A ; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 b , c 的 ? cos 2 A ? 。 2 2

18.(A)已知 A 码头在 B 码头的南偏西 75 处,两码头相距 200 千米,甲、乙两船同时分别 由 A 码头和 B 码头出发,乙船朝着西北方向航行,乙船的航行速度为 40 海里/小时, 如果两船出发后 5 小时相遇,求甲船的速度。 (1 海里=1.852 千米) (精确到 0.1 海里) (B)甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60? 的 B 点处, 测的乙船以每小时 a 海里的速度向正北 行使。已知甲船速度是每小时 3a 海里,问:甲船如何行驶才能最快与乙船相遇?

?

19、(A)在 ΔABC 中,若 sin A ?

sin B ? sinC , (1)判断三角形的形状; (2)如果三角形面积 cos B ? cos C

为 4 ,求三角形周长的最小值。 (B)三条线段长分别为 sin ? ,sin ? 和 sin ?? ? ? ? ,其中 ?、? ? ? 0, ? ,是否能以此

? ?

??
2?

三条线段构成三角形?并说明理由。

第2页

正弦定理、余弦定理和解斜三角形答案
一、填空题 1. 2 或 1 2.

48 55
1 2

3. 等腰直角三角形 4. ? 5.

2 39 3
( 2, ??)

6. 7.

? 3

8. 2,2 2

?

?
? ?

9. (A)等边三角形,(B) tan B ? tan C 10. (A) ? ? 0, 二、选择题 11. C 三、解答题 15. 由 sin B sinC ? cos2 12. B 13. B 14.(A) A (B) A

??

?, 6?

(B) 120

?

A ,得 2 sin B sinC ? 1 ? cos A ? 1 ? cos?B ? C ? ,化简得 co s?B ? C ? ? 1 , 2

??? ? B ? C ? ? ,? B ? C ,即 ?ABC 是等腰三角形。
2 2 2 16. ? ?a ? b ? c ??a ? b ? c ? ? ac , ? b ? a ? c ? ac ,

? cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? ac 1 ? ? ? ,? B ? 120? 2ac 2ac 2

?

?

17. ( 1 ) 由 题 设 得 2?1 ? c o s ?B ? C ?? ? 2 c o s2 A ? 1 ?

7 7 2 , 即 2?1 ? c o sA? ? 2 c o s A ?1 ? , 解 得 2 2

c o sA ?

b2 ? c2 ? a2 1 1 1 ? ? ,即 ?b ? c ?2 ? a 2 ? 3bc ,将 ,故 A ? 60 ; ( 2 ) ? cos A ? , ? 2bc 2 2 2

a ? 3 , b ? c ? 3 代入,得 bc ? 2 ,解得 b ? 2, c ? 1 或 b ? 1, c ? 2 。
18. (A) 如 右 图 , 设 两 船 在

C

处 相 遇 , 由 题 意 ,

?ABC ? 60? , AB ? 200, BC ? 200 ? 1.852 ? 370.4 (单位:
千米) 。 所以 AC
2

? 2002 ? 370.42 ? 2 ? 200 ? 370.4 ? 0.5 ? 103116.16

即 AC

? 321.1170503 千米,所以甲船的速度为
第3页

321.1170503 ? 34.7 海里/小时。 5 ? 1.852

(B) 设两船的相遇处为点 C , 如图: , 可知, 在 ?ABC 中,B ? 120 ,

?

AB 为定值, AC , BC 分别是甲船与乙船在相同时间里的行程。由
已知条件显然有 AC : BC ? 3a : a ? 3 : 1 ,由正弦定 理可得

sin A ?

BC 1 sin B ? ,再由 0 ? A ? 60? ,得 A ? 30? ,即甲船 AC 2
?

航行的方向为北偏东 30 。 19. (A)(1)由正弦定理、余弦定理得 a?

? a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ? ? 2ac 2ab ?

? ? ? b?c, ? ?

? 2bc?b ? c ? ? a 2 ?b ? c ? ? b 2 ? c 2 ?c ? b? ,?b ? c ? 0 ,两边同除以 b ? c ,得 ? 2bc ? a 2 ? ?b ? c ??c ? b? ,化简得 b 2 ? c 2 ? a 2 ,? A ? 90? , ?ABC 为直角三角形。
(2) ? A ? 90 , ? S ? ?
?

?

?

1 bc ? 4, ?bc ? 8 。所以周长 2

C ? a ? b ? c ? b 2 ? c 2 ? b ? c ? 2bc ? 2 bc ? 4 2 ? 1 ; ,当且仅当 b ? c 时等号成立。
因此三角形周长的最小值为 4 2 ? 1 ,此时 b ? c ? 2 2 .

?

?

?

?

(B)由于 ?、?

? ?? ? ? 0, ? , ? 2?


sin ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? ? 0
即 sin ? ? sin ?

? sin ?? ? ? ? 。

sin ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ?? 1 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? cos ?? ? ? ? ? ? 0
即 sin ? ? sin

?? ? ? ? ? sin ? 。同理可证 sin ? ? sin ?? ? ? ? ? sin? 。

所以可构成三角形。

一、选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 1.在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c= A.5 2 B.10 2 10 6 C. 3 D.5 6 ( )

解析:由正弦定理得:

第4页

10 c = , sin 60° sin 45° 2 10× 2 10 6 ∴c= = . 3 3 2

答案:C

2.(2010· 茂名调研)已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab, 则角 C 的大小为 A.60° B.90° C.120° D.150° ( )

解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab 得(a+b)2-c2=ab.c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C. 1 ∴cos C=- ,C=120° . 2 答案:C 3.在△ABC 中,已知 sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是 A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.正三角形 ( )

解析:利用正弦定理、余弦定理把已知转化为三边关系,可得 b2+c2=a2,因此 A=90° . 答案:A 4.△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积等于 A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D. 3 3 或 2 4 ( )

解析:

1 3 3 = ,∴sin C= . sin 30° sin C 2

∵0° <C<180° ,∴C=60° 或 120° . (1)当 C=60° 时,A=90° ,∴BC=2,此时,S△ABC= (2)当 C=120° 时,A=30° , 1 3 S△ABC= × 3×1×sin 30° = . 2 4 答案:D 5. (2010· 上海卷)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 解析:∵sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c
第5页

3 ; 2

)

∴a∶b∶c=5∶11∶13 设 a=5k,b=11k,c=13k, a2+b2-c2 25k2+121k2-169k2 23 则 cos C= = =- <0, 2ab 110 2×5k×11k ∴C 为钝角. 答案:C 二、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 3 6.在△ABC 中,2b=a+c,∠B=30° ,△ABC 的面积为 ,那么 b 等于________. 2 1 1 3 解析:由 2b=a+c,两边平方 a2+c2=4b2-2ac,又 S△ABC= acsin B= ac= , 2 4 2 ∴ac=6,∴a2+c2=4b2-12, ∴b2=a2+c2-2accos B=4b2-12-6 3, ∴b2=4+2 3. ∴b=1+ 3. 答案:1+ 3 7.(2010· 广东卷)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B,则 sin A=________. 解析:在△ABC 中,A+B+C=180° , 又∵A+C=2B, ∴3B=180° 即 B=60° . a b asin B 由正弦定理 = ,所以 sin A= sin A sin B b 1× = 3 2 1 = . 2 3 1 答案: 2

8.(2010· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sin B +cos B= 2,则角 A 的大小为________. 解析:∵sin B+cos B π π B+ ?= 2,∴sin?B+ ?=1, = 2sin? ? 4? ? 4? π a b 解得 B= .由正弦定理 = 4 sin A sin B 1 π 得 sin A= ,即 A= . 2 6

第6页

π 答案: 6 三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 9.(2010· 重庆卷)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3b2+3c2-3a2=4 2 bc. (1)求 sin A 的值; π π A+ ?sin?B+C+ ? 2sin? 4 4? ? ? ? 1-cos 2A

(2)求

的值.

b2+c2-a2 2 2 解:(1)由余弦定理得 cos A= = , 2bc 3 1 又 0<A<π,故 sin A= 1-cos2A= . 3 π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?π-A+4? (2)原式= 1-cos 2A π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?A-4? 2sin2A 2? = = 2 2 2 ?? 2 ? ? 2 sin A+ 2 cos A?? 2 sin A- 2 cos A? 2sin2A



sin2A-cos2A 2sin2A

7 =- . 2

10.已知平面四边形 ABCD 中,△BCD 为正三角形,AB=AD=1,∠BAD= θ,记四边形的面积为 S. (1)将 S 表示为 θ 的函数, (2)求 S 的最大值及此时 θ 的大小. 解:(1)在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=2-2cos θ, 1 1 π 又 S=S△ABD+S△BCD= sin θ+ (2-2cos θ)sin . 2 2 3 π? 3 所以 S=sin? ?θ-3?+ 2 ,θ∈(0,π). π π 2π (2)∵θ∈(0,π),∴- <θ- < . 3 3 3 π π 5π 3 所以 θ- = 时,即 θ= 时,S 取得最大值,最大值为 1+ . 3 2 6 2
第7页

一、选择题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) a 1.(2010· 长春调研)锐角△ABC 中,若 A=2B,则 的取值范围是 b A.(1,2) C.( 2,2) B.(1, 3) D.( 2, 3) ( )

解析:∵△ABC 为锐角三角形,且 A=2B,

?0<2B<2, ∴? π ?0<π-3B<2,
π π ∴ <B< . 6 4 ∵A=2B,∴sin A=sin 2B=2sin Bcos B, a sin A ∴ = =2cos B∈( 2, 3). b sin B 答案:D 2, 并且 B 为锐角, 则△ABC 的形状是( )

π

2. 在△ABC 中, 如果 lg a-lg c=lg sin B=-lg A.等边三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形

D.等腰直角三角形

a 2 π 解析:由已知得 =sin B= ,得 B= ,由余弦定理知:b2=a2+c2-2accos B,∴b2 c 2 4 π =a2+( 2a)2-2· a· 2a· cos =a2,∴a=b,又 c= 2a,∴a2+b2=c2.∴△ABC 为等腰 4 直角三角形. 答案:D

二、填空题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 1 3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S= (a2+b2-c2), 4 则角 C 的度数是________. 1 解析:由 S= (a2+b2-c2) 4 1 1 得 absin C= · 2abcos C. 2 4 ∴tan C=1.又 0<C<π,∴C=45° . 答案:45° 4.已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则此三角形的最大内角为________. 解析:∵a2+b2-c2=- 3ab, a2+b2-c2 3 ∴cos C= =- , 2ab 2
第8页

故 C=150° 为三角形的最大内角. 答案:150° 三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 5.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a2-c2=2b,且 sin Acos C =3cos Asin C,求 b. 解:由余弦定理得:a2-c2=b2-2bc cos A.又 a2-c2=2b,b≠0. 所以 b=2c cos A+2,① 又 sin Acos C=3cos Asin C, ∴sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C, sin(A+C)=4cos Asin C,即 sin B=4cos Asin C. b 由正弦定理得 sin B= sin C,故 b=4c cos A,② c 由①,②解得 b=4. 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,设 a、b、c 满足条件 b2+c2-bc= c 1 a2 和 = + 3,求角 A 和 tan B 的值. b 2 b2+c2-a2 1 解:由 b2+c2-bc=a2,得 = , 2bc 2 1 π 即 cos A= ,又 0<A<π,∴A= . 2 3 c 1 sin C 1 又 = + 3, = + 3, b 2 sin B 2 2π C=π-A-B= -B, 3 2π ? ?1 ? ∴sin? ? 3 -B?=?2+ 3?sin B, 整理得 ∴ 3 1 1 cos B+ sin B= sin B+ 3sin B. 2 2 2

1 1 cos B=sin B,则 tan B= . 2 2

第9页


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