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浙江省杭州二中2007年高三数学理科第八次月考试卷


备战 08 高考总复习资料——数学之高考模拟试题

编者: 昔阳中学 272 班

李肇庆

2007 年浙江省杭州二中高三第八次月考试卷 数学(理)
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.

r />
i (1 ? i ) ? 1? i A. i

( B. ? i C.1 D.-1



2.若角 ? 的终边落在直线 y ? ? x 上,则 A.0 B.2

sin ? 1 ? sin 2 ?
C.-2

?

1 ? cos 2 ? 的值等于 cos ?
D. 2 tan ?





3.若不等式 ax ? 2 ? 6 的解集为 (?1, 2) ,则实数 a 等于 A.8 B.2 C.-4 4.如图所示,在两个圆盘中,指针在本圆盘每个数所在 区域的机会均为 区域的概率是 A. D.-8 1 2 3 4 7 5 7 9





1 ,那么两个指针同时落在奇数所在 6
( ) C.



3 1



4 9

B.

2 9

2 3

D.

1 3
( )

5.直线 y ? x ? 1 上的点到圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 上的点的最近距离是 A. 2 2 B. 2 ? 1 C. 2 2 ?1 D. 1

6.已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) ,则使 f ( x ) 为减函数的区间是 A. (3, 6) B. (?1, 0) C. (1, 2) D. (?3, ?1)





7.数列 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a6 ? b7 ,则有 A. a3 ? a9 ? b4 ? b10 C. a3 ? a9 ? b4 ? b10 B. a3 ? a9 ? b4 ? b10 D. a3 ? a9与b4 ? b10 的大小不确定





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备战 08 高考总复习资料——数学之高考模拟试题

编者: 昔阳中学 272 班

李肇庆

8.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离等于大圆周长的 为 4? ,则球的体积为 A. 256 3? B. 32 3? C. 32?

1 ,经过这三点的小圆周长 6
( D. 4 3? )

9.如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成,我 们称这样的图案为 L 形(每次旋转 90? 仍为 L 形图案) , 那么在由 4 ? 5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同 位置的 L 形图案的个数是( ) A.16 B.32 C.48 D.64 10.在 ?OAB 中, OA ? a, OB ? b, OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 ? 的值为

??? ?

? ??? ?

?

????

??? ?

? ? ? a ? a ? b) ( A. ? ? a ?b

? ? ? a? b ? a) ( B. ? ? a ?b

? ? ? a? b ? a) ( C. ? ? 2 a ?b

?2 ? ? a ? a ? b) ,( D. ? ? 2 4a ? b
, 6





第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.命题:若 a , b 都是偶数,则 a ? b 是偶数,其逆否命题是__________________. 12. ( x ? 2 y)10 的展开式中 x y 项的系数是
6 4

.

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ??? ? ? 13.设 O 为坐标原点, A? 2,0? , P ? x, y ? 坐标满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则 OP cos ?AOP 的最 ?x ? 1 ? 0 ?
小值为________. 14.已知随机变量 ? 的分布列为 P (? ? k ) ?

1 , k ? 1, 2,3 ,则 D(3? ? 5) = 3

.

y2 15.过双曲线 M : x ? 2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近 b
2

线分别相交于点 B, C ,且 AB ? BC ,则双曲线 M 的离心率是
2 16.设 I ? [?1, k ] ,若 { y y ? x ? 1, x ? I } ? { y y ? x , x ? I } ,则 k ?

. .
?

17.?ABC1 和 ?ABC2 是两个腰长均为 1 的等腰直角三角形,当二面角 C1 ? AB ? C2 为 60
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李肇庆

时,点 C1 和 C2 之间的距离等于 三、解答题 18. (本小题满分 14 分)

.(请写出所有可能的值)

2 , 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 64 ,公比 q ? 1, a2 , a3 , a4 又分别是某等差数列的第 7 项, 4 , 第 3 项,第 1 项. 6 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log2 an , Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,问:从第几项起 Sn ? 0 ?

19. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)已知函数 f ( A, C) ? cos2 A ? sin 2 C ,求 f ( A, C ) 的最大值. 20. (本小题满分 14 分) 在各棱长均相等的平行六面体 AC1 中,底面 ABCD 为正方形,对角线 AC、BD 相交于 点 O ,且 ?C1CB ? ?C1CD ? 60? . (Ⅰ)证明: C1O ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)设 E、F 分别为棱 BB1 , CD 的中点,
D A1 D1 B1 C1

E F O A B C

求直线 D1F 与平面 ADE 所成角的大小. 21. (本小题满分 14 分)

如图,已知圆 A 过定点 B(0, 2) ,圆心 A 在抛物线 C : x ? 4 y 上运动, MN 为圆 A 在 x
2

轴上所截得的弦. (Ⅰ)证明:当 A 点运动时, MN 为定值. (Ⅱ) OB 是 OM 与 ON 的等差中项时, 当 试判断抛物线 C 的准线与圆 A 的位置关系, 并说明理由.
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李肇庆

y

B A O M N

x

22. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1), g ( x) ?
2

1 ?a x ?1
2

(Ⅰ)求 y ? f '( x) 的值域; (Ⅱ)设 m 为方程 f ( x) ? x 的根,求证:当 x ? m 时, f ( x) ? x ; (Ⅲ)若方程 f ( x) ? g ( x) 有 4 个不同的实根,求 a 的取值范围.

数学答案(理)
1)C 2)A 3)C 4)A 5)C 6)D 7)B 8)B 12)840 9)C 13)1 10)D 14)6 11)若 a ? b 不是偶数,则 a , b 不都是偶数. 2 15) 10 , 5 ?1 2 16)0 或 17) 2,1, 4 2 2 , 18)解: (1)设公比为 q ,由题意知, a2 ? a1 ? 3(a3 ? a4 ) ,? 2a4 ? 3a3 ? a2 ? 0 , 6 即 2a1q ? 3a1q ? a1q ? 0 ,即 2a1q ? 3a1q ? a1q ? 0 ,? a1 ? 0 ,
3 2 3 2

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李肇庆

? 2q2 ? 3q ? 1 ? 0 .? q ? 1,? q ?

1 1 n ?1 7?n ,? an ? 64( ) ? 2 . 2 2 n(6 ? 7 ? n) n(13 ? n) ? ? 0, (2) bn ? log2 an ? 7 ? n ,? S n ? 2 2
即 n ? 13 时, Sn ? 0 .? 从第 14 项起, Sn ? 0 .

19)解: (1)由 (2a ? c) cos B ? b cos C 得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ,

? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ,? 0 ? A ? ? ,? sin A ? 0 ,? cos B ?
? 0 ? B ? ? ,? B ?
(2) ? B ?

?
3

1 , 2

.

?
3

,? A ? C ?

2? , 3 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ? 2 2

? f ( A, C ) ? cos 2 A ? sin 2 C ?

1 4 1 1 3 ? 1 ? [cos 2 A ? cos( ? ? 2 A)] ? 1 ? [cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A] 2 3 2 2 2

1 3 3 ? 1 ? ( cos 2 A ? sin 2 A) 2 2 2 ? 1? 3 3 1 3 ? ( cos 2 A ? sin 2 A) ? 1 ? sin(2 A ? ) 2 2 2 2 3
2? ? ? 5? ? ? ,? ? 2 A ? ? ,?当 2 A ? ? , 3 3 3 3 3 2 ,C ? 7? 3 时, f ( A, C )max ? 1 ? . 12 2

?0 ? A ?
即A?

?
12

20) (1)证明:设 C1 在底面的射影为 H ,

?cos ?C1CH ? ?BCH ? cos ?C1CB,cos ?C1CH ? ?DCH ? cos ?C1CD, cos cos ??C1CB ? ?C1CD ? 60?,??BCH ? ?DCH , 即 H 点 在 对 角 线 AC
上.??BCH ? 45? ,

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李肇庆

? cos ?C1CH ?

2 2 2 ,??C1CH ? 45? ,?CH ? CC1 ? BC ? OC , 2 2 2

? H 点即为 O 点,即 C1O ? 平面 ABCD .
(2)分别以 OB, OC, OC1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,设边长为 2 , 则 B (1, 0, 0), B1 (1, ?1,1),? E (1, ? 而 F (?

1 1 , ), 2 2

1 1 , , 0), D1 (?1, ?1,1), A(0, ?1, 0), D(?1, 0, 0) , 2 2 ???? ? 1 3 ???? ??? ? 1 1 ? D1 F ? ( , , ?1), AD ? (?1,1, 0), AE ? (1, , ) ,设平面 ADE 的法向量为 2 2 2 2 ? ? n, n ? ( x, y, z) ,则

? ???? ? n?AD ? ? x ? y ? 0 ? ? ,? n 可取为 (1,1, ?3) ,设 D1F 与平面 ADE 所成角为 ? , ? ? ? ??? 1 1 ?n?AE ? x ? y ? z ? 0 ? 2 2
则 sin ? ? cos ? D1 F , n ? ?

???? ? ?

5 154 5 154 ,? D1F 与平面 ADE 所成角为 arcsin . 77 77
2 x0 ? ( y0 ? 2)2 ,则圆 A 的方程

2 21)解: (1)设 A( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 4 y0 ,则圆 A 的半径 AB ? 2 为 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x0 ? ( y0 ? 2)2 , 令

2 y ? 0 , 并 将 x0 ? 4 y0 代 入 得

2 x2 ? 2x0 x ? x0 ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? x0 ? 2, x2 ? x0 ? 2 ,? MN ? x1 ? x2 ? 4 为定值.

(2)不妨设 M ( x0 ? 2,0), N ( x0 ? 2,0) ,由 2 OB ? OM ? ON 知,

x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? 4 , ??2 ? x0 ? 2,? A 到 抛 物 线 准 线 y ? ?1 的 距 离
d ? y0 ? 1 ?
2 x0 ? 4 , 4

又圆 A 的半径 r ?

2 2 x0 ? ( y0 ? 2) 2 = x0 ? (

2 x0 1 4 ? 2)2 ? x0 ? 64 , 4 4

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李肇庆

4 2 2 2 4 2 ? x0 ? 64 ? ( x0 ? 4)2 ? 48 ? 8x0 ,? x0 ? 4 ? 6. ? x0 ? 64 ? ( x0 ? 4)2 ,?r ? d ,

即圆 A 与抛物线的准线总相交. 22)解: (1)? f ( x) ? ln( x ? 1),? f ( x) ?
2 '

2x 2x 2 |? 1 ,由 x ? 1 ? 2 | x |?| 2 x ?1 x ?1
2

? f ' ( x) 的值域为[-1,1]
(2)∵m 为方程 f(x)=x 的根,∴f(m)-m=0. 令 F ( x) ? f ( x) ? x, 则F ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ? 0 ∴ F ( x ) 为 单 调 减 函 数 , ∴ 当 x> m 时 , F (x) <F (m ) , 即 当 x>m 时 ,

f ( x) ? x ? f (m) ? m ? 0
2

∴当 x>m 时,f(x)<x.

(3)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ?

1 ?a, x ?1
2

h ' ( x) ?

2x ? 2x 1 1 ? 2 ? 2 x[ 2 ? 2 ], 2 x ? 1 ( x ? 1) x ? 1 ( x ? 1) 2
2

当 x ? [0,1) ? (1,??)时h ' ( x) ? 0,当x ? (??,?1) ? (?1,0]时,h ' ( x) ? 0

? h( x) ? ln( x 2 ? 1) ?

1 ? a在(?? ,?1)单调减,在 (?1,0) 单调递减; x ?1
2

在(0,1)和(1,+∞)单调递增 ∴当 x∈(-1,1)时, h( x) min ? h(0) ? ln 1 ?

1 ? a ? 1? a 0 ?1

x→-1-时, h( x) ? ??; x ? ?1? 时, h( x) ? ??; x ? ??时, h( x) ? ??
由 h(x)为偶函数得,x→-1 时,h(x)→∞,x→1 ,时,f(x)→-∞,
- +

1 x→+∞时,h(x)→+∞? f ( x) ? g ( x)有四个不同的根时 ? a ? 0 ? a ? 1
(若考虑到 h(x)是偶函数,题意等价转化为 h(x)在 x ? [0,1) ? (1,??) 上有 2 实根的问题,因而只需研究 h(x)在 x ? [0,1) ? (1,??) 上单调性与 h(0)的值以 及 h(x)在 x→1 ,x→1 ,x→+∞的极限值,则可参照赋分,若仅从图象直观说明, 则酌情扣分)
+ -

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