两道不等式竞赛试题的多种解法

?

４ ８? 　

中学数 学研 究　

２ ０ １ ３年 第 ９期　

＋ 　

＝ 　

＋ 　

＋ 　

≥　

ｍ 　 ∑㈦ 　
—

—

>（ 　 １ 　 ＋ 　 １ 　 ＋… ＋１ 　 ） 　 ’ 　
— — — — — — — — — — — — 　

证　 明　

一 　 ０ ：＋口 ； ＋… ＋口 ： ＋ ） 　 号） ． 　

一　

（ 　 ＝１ 时取等 　 （ 　ｆ 口 ： ） 了 　
Ｉ 　，

儿　

（ 口 ２＋口 ２＋６ ２ ） 寺 　 （ 　 ９ 　 ｃ 　 ） 虿 １ 　 当且仅 当 　 ＝ 　１
，

＝　

＝　

ｃ 　

０ 　 ｂ 　

＋　

≥　
， Ｌ
．　

口　
　

。 　

即 口＝ ６＝ 　

时取 等号． 　

＝ 　
ｌ 　

≥　

借 助 上述方 法 ， 该 试题 可推广 为　 设口 　 （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｍ， ｍ ≥２ ） 　 为正 实数 ， 　

２ 　

口ｆ 　

蔓 ≥ 　 （ 　ｎ ： ） ７ 　

凡 。 ） 　 ＋ ÷ 　

１ 　上　
＝

上　

巩 　

ｎ ｉ ａ 　＝Ｐ 。 ｃ 。 （ ｓ ≥２ ， ｓ∈Ⅳ） 　 Ｐ ， 　≥１ ， ｎ 　 ∈ Ｎ ， 满足∑　 ≥　 ．

（ ｐ 　 ｃ 　 ） 　譬 ｃ 　 （ ’ ． 。 ｐ ＞ ０ ） ． 　
－ ２

ｃ 　 ≥ 　 ｉ ＝ ｌ 　 矾 至毒
ｉ＝１

２ 　
、，

　

即 　
＝ 　

ｎ　

≥ 　 成立． 　

为 　

当 且 仅 当 吉 　

∑Ⅲ 　
＝　

正　

＝ ｒ （ 　≠ 　 ）时取等号． 　
当， ｎ ＝２ ， ｓ＝２ ， 见 １＝２ ， 　 ２＝１时 ， 令口 １ 　 ＝口 ， 　

实　

ｎ 　

Ｐ， ｎ ｉ≥ １， ｎ ｉ ∈ Ⅳ． 　

数　

口 ：＝６ ， 即 为原题． 　
参考 文献　

由权 方和不 等 式可得　
．

＋ 　

≥　

［ １ ］ 侯典峰 ， 郝明泉． 一道 ２ ０ １ １ 年２ ０ １ １ 年爱沙尼亚 国家队选　
拔 考试 题的三个 简证． 数学通讯 ， ２ ０ １ ２ ， １ １ ， 封三． 　

个　 ∑㈦ 　

（ ａ ； ） － ７ 　

∑㈦ 　

两 道 不 等 式 竞 赛 试 题 的 多 种 解 法　
山 东省 东营市胜利第一 中学 　（ ２ ５ ７ ０ ２ ７ ） 　 李加 军 　
／Ｌ 　

∑　

２ ０ １ ３年浙江 省 以及 ２ ０ １ ２年 甘 肃 省＝ 数学 竞赛 的 　 　 ∑ ㈨ 　 ∑　 不 等式证 明虽然 不难 ， 但 因其 证 明过程 中涉及 的代　 一 　 口　 数式变形 以及方法的灵活性和 多样性， 对 同学们 的 　 丁 ｒ 　 口　
、　
●

＋ 　

＋ 　

≥

１ 　 ２ 　

１ 　 ２ 　
，

垡　 牮 ≥ 　： ３ ， 　， 　 （ １＋１＋１ ） ２ 　 ３ 　 ２ 　

＋ｂ ３＋Ｃ 　≥ ３

所以０ 　＋ｂ 　＋ｃ 　 ＋口 ３ （ ６ ２＋ｃ ２ ）＋ｂ ３ （ ｃ ２ 　

学 习有极 大 的帮 助 ， 故提 供 几种 解法 ， 以飨读 Ｉ 　 ｌ 者． 　 题目１ 　（ ２ ０ １ ３年 浙 江 省 高 中 数 学 竞赛 试 题 ） 　
设 口 ， ６ ， ｃ∈Ｒ 　， ａ ｂ＋６ ｃ＋ｃ ａ≥ ３ ， 证明： ８ 　＋６ 　＋ｃ 　

一 　

＋０ ２ ）＋ｃ 。 （ 口 　＋ｂ ２ ）＝（ 口 　＋ｂ 　＋ｃ 　 ） （ ａ 　＋ｂ 　＋ｃ 　 ） 　
≥ ９ ． 　

＋口 　 （ ６ 　＋ｃ 　 ）＋６ 　 （ ｃ ２＋口 　 ）＋ｃ 。 （ ａ 　＋６ 　 ）≥ ９ 。 　

证法三： 由均值不 等 式得 ａ ３ ｂ 　＋ａ ２ ｂ 　＋１＋１＋１ 　
≥ ５ ａｂ． ６ 。 ｃ 　＋ ６ 　 ｃ 　＋ ｌ＋ １＋ １≥ ５ ｂ ｃ
，

证法一： ｎ ， ６ ， ｃ∈ Ｒ 　， 由均值 不 等 式， 得０ 　＋ｂ 。 　
＋ １≥ ３ ａ ｂ， ｂ 　＋ｃ 　＋ １≥ ３ ｂ ｃ ， ｃ 　＋ 口 。＋ １ ≥ ３ ｃ ａ
，

３ ２ 口。＋ Ｃ 口２ ＋ ｃ

１ 　

所　

＋１＋１≥５ ｃ ａ ， 所以 　３ ｂ 　＋ａ ２ ｂ 　＋ｂ ３ ｃ 　＋ｂ ２ ｃ 。＋ｃ 　 口 　 ＋ｃ ２ 口 。 ≥５ （ 口 ６＋６ ｃ＋ｃ 　 ）一９≥ ６ ， 即口 。 （ ｂ ２＋ｃ ２ ）＋ 　
ｂ 　 （ ｃ 　＋口 　 ）＋ｃ 　 （ 口 　＋６ ２ ）≥ ６ ． 　

以２ （ 口 　＋ｂ 　＋ｃ 　 ）＋ ３≥ ３ （ ｎ ６＋６ ｃ＋Ｃ ａ ）≥ ９ ， 所以 　
０ 　＋ｂ 　＋ｃ 　≥ ３ ． 　

又 由排序不等式得 口 　＋ｂ 　＋ｃ 　≥ａ ｂ ＋ｂ ｃ ＋ｃ 口 　 ≥３ ， 所 以口 　＋ｂ 　＋ｃ 　 ≥３ ， 所 以口 　＋６ 　＋ｃ 　＋口 　 （ ｂ 　 ＋ｃ ２ ）＋ｂ 。 （ ｃ 　＋口 ２ ）＋ｃ 。 （ 口 　＋ｂ ２ ） 　＝ （ 口 。＋ｂ 　＋ 　
） （ ２＋６ 　＋ｃ 　 ）≥ ９ ． 　 ｃ’

又 由均值不等式得 ０ 　 ＋ ６ 　 ＋１ ＋１ ＋ １ ≥５ ａ ｂ ， ６ 　
＋ｃ 　＋１＋１＋１≥ ５ ｂ ｃ 。 ｃ 　＋口 　＋１＋１＋１≥ ５ ｃ ａ 。 所　

以２ （ 口 　＋ｂ 　＋ｃ 　 ）≥５ （ 口 ６＋６ ｃ＋ｃ 口 ）一９≥ ６ ， 即口 　 ＋ｂ 　＋ｃ 　≥ ３， 口 　＋ｂ 　＋ｃ 　＋口 　 （ ｂ ２＋ｃ ２ ）＋ｂ 　 （ ｃ ２＋ 　
口

证 法二 ： 因为 口 ， ｂ ， ｃ 　 Ｅ 　 Ｒ 　 ， 由排序 不等 式得 口 　＋ 　

２ ）＋ｃ 　 （ 口 　＋６ ２ ）≥ ９ ． 　

６ 　 ＋ ｃ 　 ≥ 口 ６ ＋ ６ ｃ ＋ Ｃ ａ ， ≥ 　 ３ ， 由 权 方 和 不 等 式 得 　三 　
１ 　

证法四： 因为 口 ， ｂ ， ｃ 　 Ｅ 　 Ｒ 　 ， 由排 序不 等 式得 口 　＋ 　

ｂ 　＋ｃ 　 ≥ａ ｂ＋６ ｃ ＋ｃ 口≥３ ， 再 由幂平均不等式， 得　

２ ０ １ ３年 第 ９期　
≥（ 　 ＋ 　 ≥　

中学数 学研 究　

? ４ ９? 　
－ ?—

?

ｂ 　　 —

Ｃ ＋ 口　

≥（ 　 ） ÷＝ｌ所以ｎ 　
，

＋ｃ ３ ≥　

＋— 　

≥　 由排序 不等 式得 口 　 ＋ｂ 　 口＋ｂ 　 ２ （ ａ ｂ＋ｂ ｃ＋ｃ ａ ） ’ 　

３ ， 所以 口 ５＋６ ５＋ｃ ５＋口 　 （ ６ ２＋ｃ ２ ）＋６ ３ （ ｃ ２＋８ ２ ）＋ 　
ｃ

３ （ 口 ２＋６ ２ ）＝ （ 口 ３＋ｂ ３＋Ｃ ３ ） （ 　 ＋ｂ ２＋ｃ ２ ）≥ ９ ． 　 证 法五 ： 由柯 西不 等 式得 （ 口 　＋６ 　＋ｃ 　 ） （ １＋１＋ 　

＋Ｃ ２≥ 口 ６＋６ ｃ＋ｃ ｎ， 所 以（ 口 　

） （ 　
≥　

＋ 　
＝ 　

＋ 　

≥　

１ ）≥ （ 口＋６＋ｃ ） 　， 所 以口 　＋ｂ 　＋Ｃ ２ ≥ 　
、， 　
●

一 ２　

３ 　

ｌ 　 ２。 　

即　

≥ 　

，

再 由柯 西 不 等 式　

证 法三 ： 由排序 不 等式得 口 　＋ｂ 　＋ｃ 　≥ ａ ｂ＋６ ｃ 　
＋ｃ ａ，而 口 ６ ＋６ ｃ＋ｃ 口 　
！ 　
，

得（ 口 　＋ｂ 　＋ｃ 。 ） （ 口＋ｂ＋ｃ ）≥ （ 口 　＋ｂ 　＋ｃ ２ ） 　， 即ａ ３ 　
＋６ ，＋Ｃ ３≥　
口 ＋ｂ ＋ ｃ 　
，

＋ 　

所以口 ｓ ＋６ ｓ ＋Ｃ ｓ ＋口 ， （ ６ 　

所 以 由 口＋６＋ｃ＝ ｌ及 柯 西 不 等 式得　

＋ｃ ２ ）＋矿（ ｃ ２＋口 ２ ）＋ｃ ３ （ 口 ２＋ｂ ２ ） 　＝ （ 口 　＋ｂ ３＋ 　
ｃ’ 　

等　 ≥ 　
研 ≥ 　

【 　

＋ 　

＋ 　 ? 　
? 　

】 （ 　 ＋ 　 ＋ 　 ＋ 　 】 　 ＝ 　
＋ 　 ＋ 　 ）≥ 　

（ 口 　 ＋ ｂ 　 ＋ ｃ ２ ） 　： 　

曼 　 、 　 口 ＋ ６ ， 　 ≥【 　
＋　

? 　

丽

≥ 　

＝９ ． 　
１
＝ 　 ，

题 目２ （ ２ ｏ １ ２年甘 肃 省 数 学 竞赛 试 题 ）设 口 ， 　

６ ， ｃ是 正 实 数 ， 且 ｎ＋ｂ＋ｃ＝ １ ， 求 证 ：（ 口 　＋ｂ 　＋ 　

所　

） （ 　

州 　

＋ 　

＋ 　

）≥ｒ． １ 　

ｌ 　 ２‘ 　

证 法一 ： 由均值 不等 式得　
一

证 法 四 ：由 口 ＋ ６＋ｃ ： ｌ及 均 值 不 等 式 得　
１ —　 １
＋　

一
＋　

一 １

≤　
≥

半

， 所 以 口 　
— 　 ３ 　
Ｃ ＋ 口　

≥ 　
＋　
． 　

３ 　

＝ 　

２ 所 以　 １
３。 　

”　 ｂ 　 ＋ ｃ ＋　 ’ 　

（ 　±垒±１ ２ （ 　 ±垒±１ ２一 　 ±垒±！ 可 — 　
３ 　
ｂ 　
— —

’ 八 ６＋ｃ 　

＋　

≥

号 ， 　

Ｃ　

＋　

Ｃ ＋ 口　

口 ＋６ 　
＝ 　

口 　＋ｎ （ ｂ＋ｃ ） 　 ＋
ｂ＋０ 　
＋　 ＋ 一 ｃ 　 ｃ ＋　 ａ

垒 ? － ： — — — ± — — 　（ — — — － 　 — ！ － — — ± — — 　！＋ — － — Ｌ 　 Ｊ 　

由柯 西 不等 式得 （ 口 　＋６ ２＋ ｃ ２ ） （ １＋ｌ＋１ ）≥ （ ８ 　

１ ： ± 曼 【 　± 垒 ） 　 ｂ ＝： － — ＋ 一
口＋ ６ 　

＋ ＋— 　— 　 ＋１ ． 所以 　 宙羽 Ｆ 　
口 ＋ ６ 　 ’ 　 。’…　

＋ ６ ＋ ｃ ） 　 ， 所 以 　＋ ６ ２ 　≥ 　 争　 ＝ 　
口

序 不 等式 知　

２＋６ ２ 　

（ 　

＋ 　

＋ 　

口 ２＋ 　

（ 口 　
口＋ ６＋Ｃ 　

“） （ 　 ＋ 　ｂ ＋ 南 ） ≥ 　

ｃ 　 ） （ 　 ＋ 　 ＋ 　 ＿ ３ ） ≥ ÷ （ 号 － ３ ） ＝ 　
ｌ 　

５ － ＂ 　
证 法 二 ：由 柯 西 不 等 式 得 （ 　 ｂ＋ Ｌ
ｃ

） （ 　 ＋ 　 ＋ 南 ） ＝ 　 ） （ 　 ＋ 　 ＋ 南 ２＋ １ ） ＝ 　
） （ 　 ＋ 　 ＋ 　ｃ ２ ）＋ 　
１ 　 ｒ 【 　 （
＝ 　

＋　

＿＋ ６ 　

３ 　

口 ＋　

南 ） ［ 口 （ ６ ＋ ｃ ） ＋ ６ （ ｃ ＋ ８ ） ＋ ｃ （ 口 ＋ ６ ） ］ ≥ ［ 　

６ ） ＋ （ ６ ＋ ｃ ） ＋ （ ｃ ＋ 训（ 　２＋ 　 ＋ 南 ２ ） ＋ 　

９ ９ ９ ０ ８ Ｘ 　
?

５ ０? 　

中学数学研究　

２ ０ １ ３
，

． 　

０ ０ ９竺 　兰 　！ 　

?　

÷＝ 吉 　
证 法五 ： 由均 值不 等式得　

ｎ ÷： ÷ ． 　

ｃ 。 ） （ 　

＋ 　

＋ 　

）≥ ＿． １ 　

证法 六 ： 由排序 不等 式得 口 　＋ｂ 　＋Ｃ 　≥ ａ ｂ＋ｂ ｅ 　
＋ｃ ａ ， ａ 　＋ｂ 　＋ｃ 　≥ ａ ｂ＋ｂ ｃ＋ｃ ａ ， 相 加得 ２ （ ａ 　＋ｂ 　

垒±竺 ）±【 ！± 　）±【 　 ±垒 　≥　 ３ 　

＋ｃ 　 ）≥ ［ ａ （ ｂ＋ ｃ ）＋６ （ ｃ ＋ａ ）＋ｃ （ ａ＋ ｂ ） ］ ． 　

由柯西不等式得‘ 而 ａ 　＋ 　 Ｄ十 Ｃ 　 Ｃ ＋　 ａ

＋ —

ａ　 ＋ Ｄ　

） ［ 口 （ ６＋ 　

口 ）≤ 　 ， 所以 　
ａ

可 　

面

≥ 　 ， 即 　

（ 　 而　 ＋ ６ ） （ ６ ＋ ｃ ） （ ｃ ＋ 口 ） 　 ≥ 　 ２ ， ’ 　 ｂ 　 ４ － ｃ ＋ 。 士 ｃ ＋ 口 ＋ 。 　 　 √ 　? 厢 ＋ √ 南? 丽 ｛ 　 ≥ ３ 　 ≥ 　 ９所 以 　（ 口＋６＋ｃ ） 　＝１ ， 所 以２ （ 口 　＋６ 　＋ｃ 　 ） （ 　
＋

ｃ ） ＋ ６ （ ｃ ＋ 口 ） ＋ ｃ （ 口 ＋ ６ ） ］ ≥ ［ √ 　 。 俪　

］ 　 ＝ 　
＋ 　
＋　 ＋　
Ｃ 十　 ａ

＋ 　 士 ＋ 　
＋

： 士 ＋ 　 上 ＋ 　 士 一≥ 一 ３ ≥ 　

＋ ～ ｃ 　
ａ　

， 所以（ 口 　＋６ 　＋ 　 ｂ ）≥ １

Ｄ 十　ｃ

２ — ３ ＝ 寻 ， 再 由 幂 平 均 不 等 式 ， 得 　２ 　 ￣ ２ 　 Ｃ ２ ． ≥ 　 半 ＝ 了 １ ， 即 口 　 埘４ － ￣ ２ ≥ 了 １ ， 所 以 （ 口 　 ＋ 　

）≥＿． １ 　

一

《 中学数 学研 究》 是 由江西师范大 学主 办面向 中学数 学教 学的普及性 学术 类月刊． 国 内统　 刊号： Ｃ Ｎ ３ ６— １ １ ０ ０ ／ ０ １ ， 国际标 准刊 号 ： Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ６ ７ ３— ６ ５ ５ ９ ． 杂志创 刊 于 １ ９ ８ ０年 ， 一直 以来深受　

广大 中学师生 、 数 学教研 员及数 学爱好 者的厚爱． 　

《 中学数 学研 究》 常设栏 目有 ： 教 学纵横 、 教例探微 、 专题研 究、 解题 方法与解题技 巧 、 正误　 辨析 、 竞赛之 窗及试题 选登 等． 期刊 内容 融数 学教 育教 学理论 、 中学数 学学科探 究及 数 学解题　 实践 于一体 ， 具有科学性 、 研 究性及 实用性 等特点． 　 广大作者及读者对本刊的好 评是 我们 办刊的 宗 旨， 也是我们 编辑 工作 的动 力 ， 更是我们 大　 家一直 以来的共 同愿望． 本刊竭诚 为你们展 示教研成 果与构建共 同学 习搭 建一 个 良好的发展　 平 台． 欢迎广大作者不吝赐稿 ， 来稿 可将 文稿 寄至本刊 编辑部 （ 地址： 江 西省 南 昌市北京 西路　

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