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两道不等式竞赛试题的多种解法


?

4 8?  

中学数 学研 究 

2 0 1 3年 第 9期 

+  

=  

+  

+  

≥ 

m   ∑㈦  




>(   1   +   1   +… +1   )   ’  
— — — — — — — — — — — —  

证  明 

一   0 :+口 ; +… +口 : + )   号) .  

一 

(   =1 时取等   (  f 口 : ) 了  
I  ,

儿 

( 口 2+口 2+6 2 ) 寺   (   9   c   ) 虿 1   当且仅 当   =  1


= 

= 

c  

0   b  

+ 

≥ 
, L
. 

口 
 

。  

即 口= 6=  

时取 等号.  

=  
l  

≥ 

借 助 上述方 法 , 该 试题 可推广 为  设口   ( i =1 , 2 , …, m, m ≥2 )   为正 实数 ,  

2  

口f  

蔓 ≥   (  n : ) 7  

凡 。 )   + ÷  

1  上 


上 

巩  

n i a  =P 。 c 。 ( s ≥2 , s∈Ⅳ)   P ,  ≥1 , n   ∈ N , 满足∑  ≥  .

( p   c   )  譬 c   ( ’ . 。 p > 0 ) .  
- 2

c   ≥   i = l   矾 至毒
i=1

2  
、,

 

即  
=  

n 

≥   成立.  

为  

当 且 仅 当 吉  

∑Ⅲ  
= 

正 

= r (  ≠   )时取等号.  
当, n =2 , s=2 , 见 1=2 ,   2=1时 , 令口 1   =口 ,  

实 

n  

P, n i≥ 1, n i ∈ Ⅳ.  

数 

口 :=6 , 即 为原题.  
参考 文献 

由权 方和不 等 式可得 


+  

≥ 

[ 1 ] 侯典峰 , 郝明泉. 一道 2 0 1 1 年2 0 1 1 年爱沙尼亚 国家队选 
拔 考试 题的三个 简证. 数学通讯 , 2 0 1 2 , 1 1 , 封三.  

个  ∑㈦  

( a ; ) - 7  

∑㈦  

两 道 不 等 式 竞 赛 试 题 的 多 种 解 法 
山 东省 东营市胜利第一 中学  ( 2 5 7 0 2 7 )   李加 军  
/L  

∑ 

2 0 1 3年浙江 省 以及 2 0 1 2年 甘 肃 省= 数学 竞赛 的     ∑ ㈨   ∑  不 等式证 明虽然 不难 , 但 因其 证 明过程 中涉及 的代  一   口  数式变形 以及方法的灵活性和 多样性, 对 同学们 的   丁 r   口 
、 


+  

+  



1   2  

1   2  


垡  牮 ≥  : 3 ,  ,   ( 1+1+1 ) 2   3   2  

+b 3+C  ≥ 3

所以0  +b  +c   +口 3 ( 6 2+c 2 )+b 3 ( c 2  

学 习有极 大 的帮 助 , 故提 供 几种 解法 , 以飨读 I   l 者.   题目1  ( 2 0 1 3年 浙 江 省 高 中 数 学 竞赛 试 题 )  
设 口 , 6 , c∈R  , a b+6 c+c a≥ 3 , 证明: 8  +6  +c  

一  

+0 2 )+c 。 ( 口  +b 2 )=( 口  +b  +c   ) ( a  +b  +c   )  
≥ 9 .  

+口   ( 6  +c   )+6   ( c 2+口   )+c 。 ( a  +6   )≥ 9 。  

证法三: 由均值不 等 式得 a 3 b  +a 2 b  +1+1+1  
≥ 5 ab. 6 。 c  + 6   c  + l+ 1+ 1≥ 5 b c


证法一: n , 6 , c∈ R  , 由均值 不 等 式, 得0  +b 。  
+ 1≥ 3 a b, b  +c  + 1≥ 3 b c , c  + 口 。+ 1 ≥ 3 c a


3 2 口。+ C 口2 + c

1  

所 

+1+1≥5 c a , 所以  3 b  +a 2 b  +b 3 c  +b 2 c 。+c   口   +c 2 口 。 ≥5 ( 口 6+6 c+c   )一9≥ 6 , 即口 。 ( b 2+c 2 )+  
b   ( c  +口   )+c   ( 口  +6 2 )≥ 6 .  

以2 ( 口  +b  +c   )+ 3≥ 3 ( n 6+6 c+C a )≥ 9 , 所以  
0  +b  +c  ≥ 3 .  

又 由排序不等式得 口  +b  +c  ≥a b +b c +c 口   ≥3 , 所 以口  +b  +c   ≥3 , 所 以口  +6  +c  +口   ( b   +c 2 )+b 。 ( c  +口 2 )+c 。 ( 口  +b 2 )  = ( 口 。+b  +  
) ( 2+6  +c   )≥ 9 .   c’

又 由均值不等式得 0   + 6   +1 +1 + 1 ≥5 a b , 6  
+c  +1+1+1≥ 5 b c 。 c  +口  +1+1+1≥ 5 c a 。 所 

以2 ( 口  +b  +c   )≥5 ( 口 6+6 c+c 口 )一9≥ 6 , 即口   +b  +c  ≥ 3, 口  +b  +c  +口   ( b 2+c 2 )+b   ( c 2+  


证 法二 : 因为 口 , b , c   E   R   , 由排序 不等 式得 口  +  

2 )+c   ( 口  +6 2 )≥ 9 .  

6   + c   ≥ 口 6 + 6 c + C a , ≥   3 , 由 权 方 和 不 等 式 得  三  
1  

证法四: 因为 口 , b , c   E   R   , 由排 序不 等 式得 口  +  

b  +c   ≥a b+6 c +c 口≥3 , 再 由幂平均不等式, 得 

2 0 1 3年 第 9期 
≥(   +   ≥ 

中学数 学研 究 

? 4 9?  
- ?—

?

b    —

C + 口 

≥(   ) ÷=l所以n  


+c 3 ≥ 

+—  

≥  由排序 不等 式得 口   +b   口+b   2 ( a b+b c+c a ) ’  

3 , 所以 口 5+6 5+c 5+口   ( 6 2+c 2 )+6 3 ( c 2+8 2 )+  


3 ( 口 2+6 2 )= ( 口 3+b 3+C 3 ) (   +b 2+c 2 )≥ 9 .   证 法五 : 由柯 西不 等 式得 ( 口  +6  +c   ) ( 1+1+  

+C 2≥ 口 6+6 c+c n, 所 以( 口  

) (  
≥ 

+  
=  

+  

≥ 

1 )≥ ( 口+6+c )  , 所 以口  +b  +C 2 ≥  
、,  


一 2 

3  

l   2。  

即 

≥  



再 由柯 西 不 等 式 

证 法三 : 由排序 不 等式得 口  +b  +c  ≥ a b+6 c  
+c a,而 口 6 +6 c+c 口  
!  


得( 口  +b  +c 。 ) ( 口+b+c )≥ ( 口  +b  +c 2 )  , 即a 3  
+6 ,+C 3≥ 
口 +b + c  


+  

所以口 s +6 s +C s +口 , ( 6  

所 以 由 口+6+c= l及 柯 西 不 等 式得 

+c 2 )+矿( c 2+口 2 )+c 3 ( 口 2+b 2 )  = ( 口  +b 3+  
c’  

等  ≥  
研 ≥  

【  

+  

+   ?  
?  

】 (   +   +   +   】   =  
+   +   )≥  

( 口   + b   + c 2 )  :  

曼   、   口 + 6 ,   ≥【  
+ 

?  



≥  

=9 .  

=   ,

题 目2 ( 2 o 1 2年甘 肃 省 数 学 竞赛 试 题 )设 口 ,  

6 , c是 正 实 数 , 且 n+b+c= 1 , 求 证 :( 口  +b  +  

所 

) (  

州  

+  

+  

)≥r. 1  

l   2‘  

证 法一 : 由均值 不等 式得 


证 法 四 :由 口 + 6+c : l及 均 值 不 等 式 得 
1 —  1
+ 


+ 

一 1

≤ 




, 所 以 口  
—   3  
C + 口 

≥  
+ 
.  

3  

=  

2 所 以  1
3。  

”  b   + c +  ’  

(  ±垒±1 2 (   ±垒±1 2一   ±垒±! 可 —  
3  
b  
— —

’ 八 6+c  

+ 



号 ,  

C 

+ 

C + 口 

口 +6  
=  

口  +n ( b+c )   +
b+0  
+  + 一 c   c +  a

垒 ? - : — — — ± — —  ( — — — -   — ! - — — ± — —  !+ — - — L   J  

由柯 西 不等 式得 ( 口  +6 2+ c 2 ) ( 1+l+1 )≥ ( 8  

1 : ± 曼 【  ± 垒 )   b =: - — + 一
口+ 6  

+ +—  —   +1 . 所以   宙羽 F  
口 + 6   ’   。’… 

+ 6 + c )   , 所 以  + 6 2  ≥   争  =  


序 不 等式 知 

2+6 2  

(  

+  

+  

口 2+  

( 口  
口+ 6+C  

“) (   +  b + 南 ) ≥  

c   ) (   +   +   _ 3 ) ≥ ÷ ( 号 - 3 ) =  
l  

5 - "  
证 法 二 :由 柯 西 不 等 式 得 (   b+ L


) (   +   + 南 ) =   ) (   +   + 南 2+ 1 ) =  
) (   +   +  c 2 )+  
1   r 【   (
=  

+ 

_+ 6  

3  

口 + 

南 ) [ 口 ( 6 + c ) + 6 ( c + 8 ) + c ( 口 + 6 ) ] ≥ [  

6 ) + ( 6 + c ) + ( c + 训(  2+   + 南 2 ) +  

9 9 9 0 8 X  
?

5 0?  

中学数学研究 

2 0 1 3


.  

0 0 9竺  兰  !  

? 

÷= 吉  
证 法五 : 由均 值不 等式得 

n ÷: ÷ .  

c 。 ) (  

+  

+  

)≥ _. 1  

证法 六 : 由排序 不等 式得 口  +b  +C  ≥ a b+b e  
+c a , a  +b  +c  ≥ a b+b c+c a , 相 加得 2 ( a  +b  

垒±竺 )±【 !±  )±【   ±垒  ≥  3  

+c   )≥ [ a ( b+ c )+6 ( c +a )+c ( a+ b ) ] .  

由柯西不等式得‘ 而 a  +   D十 C   C +  a

+ —

a  + D 

) [ 口 ( 6+  

口 )≤   , 所以  


可  



≥   , 即  

(   而  + 6 ) ( 6 + c ) ( c + 口 )   ≥   2 , ’   b   4 - c + 。 士 c + 口 + 。     √  ? 厢 + √ 南? 丽 {   ≥ 3   ≥   9所 以  ( 口+6+c )  =1 , 所 以2 ( 口  +6  +c   ) (  


c ) + 6 ( c + 口 ) + c ( 口 + 6 ) ] ≥ [ √   。 俪 

]   =  
+  
+  + 
C 十  a

+   士 +  


: 士 +   上 +   士 一≥ 一 3 ≥  

+ ~ c  
a 

, 所以( 口  +6  +   b )≥ 1

D 十 c

2 — 3 = 寻 , 再 由 幂 平 均 不 等 式 , 得  2    ̄ 2   C 2 . ≥   半 = 了 1 , 即 口   埘4 -  ̄ 2 ≥ 了 1 , 所 以 ( 口   +  

)≥_. 1  



《 中学数 学研 究》 是 由江西师范大 学主 办面向 中学数 学教 学的普及性 学术 类月刊. 国 内统  刊号: C N 3 6— 1 1 0 0 / 0 1 , 国际标 准刊 号 : I S S N 1 6 7 3— 6 5 5 9 . 杂志创 刊 于 1 9 8 0年 , 一直 以来深受 

广大 中学师生 、 数 学教研 员及数 学爱好 者的厚爱.  

《 中学数 学研 究》 常设栏 目有 : 教 学纵横 、 教例探微 、 专题研 究、 解题 方法与解题技 巧 、 正误  辨析 、 竞赛之 窗及试题 选登 等. 期刊 内容 融数 学教 育教 学理论 、 中学数 学学科探 究及 数 学解题  实践 于一体 , 具有科学性 、 研 究性及 实用性 等特点.   广大作者及读者对本刊的好 评是 我们 办刊的 宗 旨, 也是我们 编辑 工作 的动 力 , 更是我们 大  家一直 以来的共 同愿望. 本刊竭诚 为你们展 示教研成 果与构建共 同学 习搭 建一 个 良好的发展  平 台. 欢迎广大作者不吝赐稿 , 来稿 可将 文稿 寄至本刊 编辑部 ( 地址: 江 西省 南 昌市北京 西路 

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