?
4 8?
中学数 学研 究
2 0 1 3年 第 9期
+
=
+
+
≥
m ∑㈦
—
—
( 1 + 1 +… +1 ) ’
— — — — — — — — — — — —
证 明
一 0 :+口 ; +… +口 : + ) 号) .
一
( =1 时取等 ( f 口 : ) 了
I ,
儿
( 口 2+口 2+6 2 ) 寺 ( 9 c ) 虿 1 当且仅 当 = 1
,
=
=
c
0 b
+
≥
, L
.
口
。
即 口= 6=
时取 等号.
=
l
≥
借 助 上述方 法 , 该 试题 可推广 为 设口 ( i =1 , 2 , …, m, m ≥2 ) 为正 实数 ,
2
口f
蔓 ≥ ( n : ) 7
凡 。 ) + ÷
1 上
=
上
巩
n i a =P 。 c 。 ( s ≥2 , s∈Ⅳ) P , ≥1 , n ∈ N , 满足∑ ≥ .
( p c ) 譬 c ( ’ . 。 p > 0 ) .
- 2
c ≥ i = l 矾 至毒
i=1
2
、,
即
=
n
≥ 成立.
为
当 且 仅 当 吉
∑Ⅲ
=
正
= r ( ≠ )时取等号.
当, n =2 , s=2 , 见 1=2 , 2=1时 , 令口 1 =口 ,
实
n
P, n i≥ 1, n i ∈ Ⅳ.
数
口 :=6 , 即 为原题.
参考 文献
由权 方和不 等 式可得
.
+
≥
[ 1 ] 侯典峰 , 郝明泉. 一道 2 0 1 1 年2 0 1 1 年爱沙尼亚 国家队选
拔 考试 题的三个 简证. 数学通讯 , 2 0 1 2 , 1 1 , 封三.
个 ∑㈦
( a ; ) - 7
∑㈦
两 道 不 等 式 竞 赛 试 题 的 多 种 解 法
山 东省 东营市胜利第一 中学 ( 2 5 7 0 2 7 ) 李加 军
/L
∑
2 0 1 3年浙江 省 以及 2 0 1 2年 甘 肃 省= 数学 竞赛 的 ∑ ㈨ ∑ 不 等式证 明虽然 不难 , 但 因其 证 明过程 中涉及 的代 一 口 数式变形 以及方法的灵活性和 多样性, 对 同学们 的 丁 r 口
、
●
+
+
≥
1 2
1 2
,
垡 牮 ≥ : 3 , , ( 1+1+1 ) 2 3 2
+b 3+C ≥ 3
所以0 +b +c +口 3 ( 6 2+c 2 )+b 3 ( c 2
学 习有极 大 的帮 助 , 故提 供 几种 解法 , 以飨读 I l 者. 题目1 ( 2 0 1 3年 浙 江 省 高 中 数 学 竞赛 试 题 )
设 口 , 6 , c∈R , a b+6 c+c a≥ 3 , 证明: 8 +6 +c
一
+0 2 )+c 。 ( 口 +b 2 )=( 口 +b +c ) ( a +b +c )
≥ 9 .
+口 ( 6 +c )+6 ( c 2+口 )+c 。 ( a +6 )≥ 9 。
证法三: 由均值不 等 式得 a 3 b +a 2 b +1+1+1
≥ 5 ab. 6 。 c + 6 c + l+ 1+ 1≥ 5 b c
,
证法一: n , 6 , c∈ R , 由均值 不 等 式, 得0 +b 。
+ 1≥ 3 a b, b +c + 1≥ 3 b c , c + 口 。+ 1 ≥ 3 c a
,
3 2 口。+ C 口2 + c
1
所
+1+1≥5 c a , 所以 3 b +a 2 b +b 3 c +b 2 c 。+c 口 +c 2 口 。 ≥5 ( 口 6+6 c+c )一9≥ 6 , 即口 。 ( b 2+c 2 )+
b ( c +口 )+c ( 口 +6 2 )≥ 6 .
以2 ( 口 +b +c )+ 3≥ 3 ( n 6+6 c+C a )≥ 9 , 所以
0 +b +c ≥ 3 .
又 由排序不等式得 口 +b +c ≥a b +b c +c 口 ≥3 , 所 以口 +b +c ≥3 , 所 以口 +6 +c +口 ( b +c 2 )+b 。 ( c +口 2 )+c 。 ( 口 +b 2 ) = ( 口 。+b +
) ( 2+6 +c )≥ 9 . c’
又 由均值不等式得 0 + 6 +1 +1 + 1 ≥5 a b , 6
+c +1+1+1≥ 5 b c 。 c +口 +1+1+1≥ 5 c a 。 所
以2 ( 口 +b +c )≥5 ( 口 6+6 c+c 口 )一9≥ 6 , 即口 +b +c ≥ 3, 口 +b +c +口 ( b 2+c 2 )+b ( c 2+
口
证 法二 : 因为 口 , b , c E R , 由排序 不等 式得 口 +
2 )+c ( 口 +6 2 )≥ 9 .
6 + c ≥ 口 6 + 6 c + C a , ≥ 3 , 由 权 方 和 不 等 式 得 三
1
证法四: 因为 口 , b , c E R , 由排 序不 等 式得 口 +
b +c ≥a b+6 c +c 口≥3 , 再 由幂平均不等式, 得
2 0 1 3年 第 9期
≥( + ≥
中学数 学研 究
? 4 9?
- ?—
?
b —
C + 口
≥( ) ÷=l所以n
,
+c 3 ≥
+—
≥ 由排序 不等 式得 口 +b 口+b 2 ( a b+b c+c a ) ’
3 , 所以 口 5+6 5+c 5+口 ( 6 2+c 2 )+6 3 ( c 2+8 2 )+
c
3 ( 口 2+6 2 )= ( 口 3+b 3+C 3 ) ( +b 2+c 2 )≥ 9 . 证 法五 : 由柯 西不 等 式得 ( 口 +6 +c ) ( 1+1+
+C 2≥ 口 6+6 c+c n, 所 以( 口
) (
≥
+
=
+
≥
1 )≥ ( 口+6+c ) , 所 以口 +b +C 2 ≥
、,
●
一 2
3
l 2。
即
≥
,
再 由柯 西 不 等 式
证 法三 : 由排序 不 等式得 口 +b +c ≥ a b+6 c
+c a,而 口 6 +6 c+c 口
!
,
得( 口 +b +c 。 ) ( 口+b+c )≥ ( 口 +b +c 2 ) , 即a 3
+6 ,+C 3≥
口 +b + c
,
+
所以口 s +6 s +C s +口 , ( 6
所 以 由 口+6+c= l及 柯 西 不 等 式得
+c 2 )+矿( c 2+口 2 )+c 3 ( 口 2+b 2 ) = ( 口 +b 3+
c’
等 ≥
研 ≥
【
+
+ ?
?
】 ( + + + 】 =
+ + )≥
( 口 + b + c 2 ) :
曼 、 口 + 6 , ≥【
+
?
丽
≥
=9 .
1
= ,
题 目2 ( 2 o 1 2年甘 肃 省 数 学 竞赛 试 题 )设 口 ,
6 , c是 正 实 数 , 且 n+b+c= 1 , 求 证 :( 口 +b +
所
) (
州
+
+
)≥r. 1
l 2‘
证 法一 : 由均值 不等 式得
一
证 法 四 :由 口 + 6+c : l及 均 值 不 等 式 得
1 — 1
+
一
+
一 1
≤
≥
半
, 所 以 口
— 3
C + 口
≥
+
.
3
=
2 所 以 1
3。
” b + c + ’
( ±垒±1 2 ( ±垒±1 2一 ±垒±! 可 —
3
b
— —
’ 八 6+c
+
≥
号 ,
C
+
C + 口
口 +6
=
口 +n ( b+c ) +
b+0
+ + 一 c c + a
垒 ? - : — — — ± — — ( — — — - — ! - — — ± — — !+ — - — L J
由柯 西 不等 式得 ( 口 +6 2+ c 2 ) ( 1+l+1 )≥ ( 8
1 : ± 曼 【 ± 垒 ) b =: - — + 一
口+ 6
+ +— — +1 . 所以 宙羽 F
口 + 6 ’ 。’…
+ 6 + c ) , 所 以 + 6 2 ≥ 争 =
口
序 不 等式 知
2+6 2
(
+
+
口 2+
( 口
口+ 6+C
“) ( + b + 南 ) ≥
c ) ( + + _ 3 ) ≥ ÷ ( 号 - 3 ) =
l
5 - "
证 法 二 :由 柯 西 不 等 式 得 ( b+ L
c
) ( + + 南 ) = ) ( + + 南 2+ 1 ) =
) ( + + c 2 )+
1 r 【 (
=
+
_+ 6
3
口 +
南 ) [ 口 ( 6 + c ) + 6 ( c + 8 ) + c ( 口 + 6 ) ] ≥ [
6 ) + ( 6 + c ) + ( c + 训( 2+ + 南 2 ) +
9 9 9 0 8 X
?
5 0?
中学数学研究
2 0 1 3
,
.
0 0 9竺 兰 !
?
÷= 吉
证 法五 : 由均 值不 等式得
n ÷: ÷ .
c 。 ) (
+
+
)≥ _. 1
证法 六 : 由排序 不等 式得 口 +b +C ≥ a b+b e
+c a , a +b +c ≥ a b+b c+c a , 相 加得 2 ( a +b
垒±竺 )±【 !± )±【 ±垒 ≥ 3
+c )≥ [ a ( b+ c )+6 ( c +a )+c ( a+ b ) ] .
由柯西不等式得‘ 而 a + D十 C C + a
+ —
a + D
) [ 口 ( 6+
口 )≤ , 所以
a
可
面
≥ , 即
( 而 + 6 ) ( 6 + c ) ( c + 口 ) ≥ 2 , ’ b 4 - c + 。 士 c + 口 + 。 √ ? 厢 + √ 南? 丽 { ≥ 3 ≥ 9所 以 ( 口+6+c ) =1 , 所 以2 ( 口 +6 +c ) (
+
c ) + 6 ( c + 口 ) + c ( 口 + 6 ) ] ≥ [ √ 。 俪
] =
+
+ +
C 十 a
+ 士 +
+
: 士 + 上 + 士 一≥ 一 3 ≥
+ ~ c
a
, 所以( 口 +6 + b )≥ 1
D 十 c
2 — 3 = 寻 , 再 由 幂 平 均 不 等 式 , 得 2  ̄ 2 C 2 . ≥ 半 = 了 1 , 即 口 埘4 -  ̄ 2 ≥ 了 1 , 所 以 ( 口 +
)≥_. 1
一
《 中学数 学研 究》 是 由江西师范大 学主 办面向 中学数 学教 学的普及性 学术 类月刊. 国 内统 刊号: C N 3 6— 1 1 0 0 / 0 1 , 国际标 准刊 号 : I S S N 1 6 7 3— 6 5 5 9 . 杂志创 刊 于 1 9 8 0年 , 一直 以来深受
广大 中学师生 、 数 学教研 员及数 学爱好 者的厚爱.
《 中学数 学研 究》 常设栏 目有 : 教 学纵横 、 教例探微 、 专题研 究、 解题 方法与解题技 巧 、 正误 辨析 、 竞赛之 窗及试题 选登 等. 期刊 内容 融数 学教 育教 学理论 、 中学数 学学科探 究及 数 学解题 实践 于一体 , 具有科学性 、 研 究性及 实用性 等特点. 广大作者及读者对本刊的好 评是 我们 办刊的 宗 旨, 也是我们 编辑 工作 的动 力 , 更是我们 大 家一直 以来的共 同愿望. 本刊竭诚 为你们展 示教研成 果与构建共 同学 习搭 建一 个 良好的发展 平 台. 欢迎广大作者不吝赐稿 , 来稿 可将 文稿 寄至本刊 编辑部 ( 地址: 江 西省 南 昌市北京 西路
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