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2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升卷-函数与方程及函数的实际应用


2013 届高三理科数学二轮复习专题能力提升卷 函数与方程及函数的实际应用 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2012·山东实验中学一诊)函数 f(x)=-+log2x 的一个零点落在下列哪个区间 ( ). A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.(2012·湖南浏阳)在用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,现在已经将一根

锁 定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 ( ). A.(1.4,2) B.(1.1,4) C. D. 3.(2012·临沂一模)设函数 f(x)=x-ln x,则函数 f(x) ( ). A.在区间,(1,e)内均有零点 B.在区间,(1,e)内均无零点 C.在区间内有零点,在(1,e)内无零点 D.在区间内无零点,在(1,e)内有零点 4.(2012·厦门质检)已知 f(x)=则函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数为 ( ). A.1 B.2 C.3 D.4 5.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓 储时间为天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 储费用之和最小,每批应生产产品 ( ). A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2012·宝鸡二模)已知 0<a<1,函数 f(x)=ax-|logax|的零点个数为________. 7.(2012·郑州二模)已知函数 f(x)=x-log3x,若 x0 是函数 y=f(x)的零点,且 0<x1<x0, 则 f(x1)________0(填“>” 、 “<” 、 “≥” 、 “≤”). 8.设函数 y=x3 与 y=x-2 的图象的交点为(x0,y0),若 x0 所在的区间是(n,n+1)(n∈Z), 则 n=________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均 为时间 t(天)的函数, 且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件), 价格近似满足 f(t)=20-|t-10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 10.(12 分)(2012·广州模拟)已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长度为 12-t. 11.(12 分)设函数 f(x)=x3-x2+6x-a.

(1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 参考答案 训练 2 函数与方程及函数的实际应用 1.B [根据函数的零点存在定理,要验证函数的零点的位置,只要求出函数在区间的两个 端点上的函数值,得到结果,根据函数的零点存在定理得到 f(1)·f(2)<0.故选 B.] 2.D [令 f(x)=x3-2x-1, 则 f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f=-<0. 故下一步可断定该根所在区间为.] 3.D [∵f′(x)=-=,当 x∈时,f′(x)<0, ∴f(x)在上单调. f=-ln=1+>0,f(1)=-ln 1=>0, f(e)=-ln e<0,所以 f(x)在(1,e)内有零点.] 4.B [在同一平面直角坐标系中画出函数 y=f(x)与 y=ex 的图象,结合图形可知,它们有 两个公共点,因此函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数是 2,选 B.] 5.B [若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是,存储费用是,总的费用是+ ≥2=20,当且仅当=时取等号,即 x=80.] 6.解析 分别画出函数 y=ax(0<a<1)与 y=|logax|(0<a<1)的图象,如图所示. 答案 2 7.解析 当 x=x0 时, f(x0)=x0-log3x0=0, 当 0<x1<x0 时, f(x1)=x1-log3x1>0, 如图所示. 答案 > 8.解析 由函数图象知,1<x0<2. 答案 1 9.解 (1)y=g(t)·f(t)=(80-2t)· =(40-t)(40-|t-10|) = (2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1 225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 总之, 第 5 天日销售额 y 取得最大值为 1 225 元; 第 20 天日销售额 y 取得最小值为 600 元. 10.解 (1)∵函数 f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有即∴-20≤q≤12. (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是 x=8. ①当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0,

解得 t=,∴t=; ②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上 f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0, 解得 t=8 或 t=9,∴t=9. 综上可知,存在常数 t=,8,9 满足条件. 11.解 (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2), 因为 x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m, 即 3x2-9x+(6-m)≥0 恒成立, 所以Δ =81-12(6-m)≤0,得 m≤-, 即 m 的最大值为-. (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0; 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=-a; 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a; 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时, 方程 f(x)=0 仅有一个实根. 解得 a<2 或 a>.


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