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第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题参考解答
2007 年 3 月 18 日
1.(满分 14 分) 北京与南京地面距离大约 930km.民航飞机飞行的空中时间大约 90 分钟.飞机升空后,一位乘客从飞机的舷窗俯看地面的景物,他发现地面上的物体大 约要用 1 分钟的时间从舷窗中移过.已知飞机舷窗的宽度为 25cm,乘客看地面时眼睛 与舷窗的视线距离为 30c

m.请你根据这些信息估算出飞机距地面的高度? 解:假设 1 北京至南京的飞行是匀速的, 假设 2 乘客俯瞰地面的视线近似地垂直于地面. 根 据已知数 据,因 为飞 机在 90 分钟内 飞行 930km ( 即 93000000cm ) , 可 算 出 飞 行 的 平 均 速 度 为 1033333cm/ 分 钟 。 (4 分) 再根据假设,可得右图,在△MEF 中,ME=MF,AB//EF, MP 是△MAB 的高,MQ 是△MEF 的高,AB 为舷窗的宽度,于是 MP 为乘客的眼睛与舷窗的距离,EF 为飞机在 1 分钟内飞行的地 面距离. 有 (9 分) AP B (2 分) M

MQ EF MQ 1033333 ? ? ,即 , MP AB 30 25
(14 分) E

得 MQ = 1239999.6cm≈12.4 km.

答:飞机距地面的高度约为 12.4km.

F Q Q 2.(满分14 分) 某工程队共有 600 人,要建造一段 5000 米的高速公路,工程需要

把 600 人分成两组,一组的任务是完成一段 2000 米的软土地带,另一组的任务是完成 剩下的 3000 米的硬土地带,据测算,软、硬土地每米的工程量分别为 50 工和 30 工.问 如何安排两组的人数,才能使全队筑路工期最短? 解:设在软土地带工作的人数为 x,则在硬土地带工作的人数为 600?x,在软土地 带 筑 路 时 间 为 f ( x ) = 5 0 ? 2 0 0 0 ÷x ; 在 硬 土 地 带 筑 路 时 间 为 (2 分) (4 分) g(x) =30?3000÷ (600?x),其中 x 是 1 到 600 之间的整数. 全队筑路所需时间为: t ( x) ? ?

? f ( x), 当f ( x) ? g ( x) ? g ( x), 当g ( x) ? f ( x)

f(x)在(0,600)上是减函数;g(x)在(0,600)上是增函数. 求 f(x) = g(x)的解,即 50?2000÷ x=30?3000÷ (600?x), 解为 x0 ≈315.8.

? 50 ? 2000 , x ? (0, 315.8) ? ? x t ( x) ? ? ? 30 ? 3000, x ? (315.8, 600) ? ? 600 ? x
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(9 分)

t(x) 在(0,x0)上递减, 在 (x0, 600) 上递增;故知 x0 是 t(x)的最小值点. 但 315.8 不是整数,于是计算 t(315) 和 t(316) ,其中较小数为所求.经计算, t(315)=317.46 , t(316)=316.90. 于是可知:当安排 316 人到软土地带工作,284 人到硬土地带工作时,可以使全 队筑路工期最短. (14 分) 3.(满分18 分) 电视台在暑假进行了一次青年人收视电视节目偏好的调查.得到的 数据如下: 他们当中 3 人喜欢在平日(非周末)看早期的电视剧,14 人喜欢在平日看早期的电 视节目,21 人喜欢看早期的电视剧,8 人喜欢在平日看电视剧,31 人喜欢在平日看电视 节目,36 人喜欢看早期的电视节目,40 人喜欢看电视剧,13 人喜欢在周末看近期的电 视节目,但不是电视剧. 请你根据这些信息,判断有多少人不喜欢看电视剧和多少人喜欢在周末看电视节 目. 解法一 设 M 为被调查的青年人的集合, A 为喜欢看电视剧的青年人的集合, B 为喜欢看早期电视节目的青年人的集合, C 为喜欢周末看电视节目的青年人的集合. 用韦恩 (Venn) 图表示上述集合, 将集合 A 涂上阴影 将集合 C 涂上阴影 ,集合 M 涂上 (6 分) , 将集合 B 涂上阴影 ,

.根据题中调查数据得下图.

5 12 14

3 18 13 4

11 (12 分)

根据图得到答案:不喜欢看电视剧的青年人数为 12+13+4+11(人) ,即 40 人;喜 欢在周末看电视节目的青年人数为 14+18+4+13(人) ,即 49 人. 解法二 设 M 为被调查的青年人的集合, A 为喜欢看电视剧的青年人的集合, B 为喜欢看早期电视节目的青年人的集合, C 为喜欢在平日看电视节目的青年人的集合, 并记 n(X)为集合 X 内元素(人数)的个数.则上述调查的结果可以记为 n(A∩B∩C)=3,n(A∩B)=21,n(A∩C)=8,n(B∩C)=14, n(A)=40,n(B)=36,n(C)=31,n((M?A)∩(M?B)∩(M?C))=13。 (12 分) 将所要求的“不喜欢看电视剧的青年人的集合”记为 P, (6 分) (18 分)

第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题

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“喜欢在周末看电视的青年人的集合”记为 Q. 则有 P=M?A,Q=M?C. 由于 M?(A∪B∪C)=(M?A)∩(M?B)∩(M?C),可知 n(M?(A∪B∪C))=13, 又知 n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)?n(A∩B)?n(A∩C)?n(B∩C)+n(A∩B∩C) = 40 +36 +31?14?21?8 +3 = 67 由此可得 n(M)= 13+67 = 80. 于是得到 n(P)=80?40 = 40, n(Q)= 80?31 = 49。 (18 分)

4.(满分18 分) 节日里某商场打折促销.宣布,顾客在全场每买 100 元商品,就返 给 100 元购物券.一顾客看中了一件上衣,标价是 350 元,她想买又犹豫,价格虽然较 高,但若返 300 元的购物券,相当于打了 350/650=54%折,还是挺合算的;转而又想, 我没有别的需求,得到的 300 元购物券做什么用呢?这时她的一位朋友说:“350 元打五 四折是 189 元,如果你打算买这件上衣,你出五五折的价钱 192 元,另 158 元钱由我补 上,300 元的购物券归我.”这位顾客欣然同意了.之后,这位朋友又帮另外两个人各买 了一条标价为 150 元的裤子.加上返券,裤子相当于打了六折(90 元) .他提出每人按 六二折付给他 93 元,由他帮忙把这两条裤子买下.两人高兴地同意了,这位朋友拿到 186 元,在收银台使用他手中已有的 300 元的购物券为裤子付了款.上述过程使他获得 28 元.而买衣裤的三位顾客每人都是只比应该的折扣价多花了 3 元钱.请你分析,这位 朋友收入的 28 元钱是怎样挣来的? 解 粗看起来“买一百,返一百”相当于打五折.实际上并非如此,因为商场的商 品很少被定价为整百元.如果商品的价格是 m = 100n + a(元),其中 n ≥ 1 为整数,0≤a <100,则加上返券,顾客实际所得到的折扣应该是

m 100 n ? a 100 n ? a ? ? ? 0.5 m ? 100 n 100 n ? a ? 100 n 200 n ? a

(6 分)

当商品的定价不是整百元的时候,a>0,这时顾客所得到的是少于五折的折扣. 这位朋友在为第一位顾客垫付 158 元买上衣时,他得到了 300 元的购物券,相当于 用 158 元以 158/300=52.67%折买到了 300 元的券. 从而挣到了两次折扣相差的部分 300× (62-52.67)%=28 元. (12 分) (18 分) 后来用购物券为顾客买裤子时, 又将这 300 元券以 186/300=62%的折扣换回了现金, 5.(满分18 分) 两条河 RO,SO 交汇于点 O, (为简单起见,两条河假设是两条共端 点射线) 某人每天从他的住处点 P 先去河 RO, SO 取水样, 再把水样带到点 Q 处化验. 如 右图. (1) 画出从点 P 到河 RO,再到河 SO,然后到点 Q 的最 短路,并给出具体作图步骤; (2) 画出从点 P 到河 SO,再到河 RO,然后到点 Q 的最 S 短路,并给出具体作图步骤;
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R P? ?Q O

(3) 上述两条最短路的长度恒等吗?如果不恒等,试给出它们相等的条件,并指出 何时(1)中画出的路其长度小于(2)中路的长度. 解 (1) 作图步骤是: ① 作点 P 关于直线 RO 的对称点 P’,点 Q 关于直线 SO 的对称点 Q’; ② 连接 P’与 Q’, 设线段 P’Q’和 RO、 SO 的交点分别为 A、 B; R P? P’ A

?Q O B ③ 连接 P 与 A,B 与 Q; S Q’ 折线 PABQ 是点 P 到河 RO 再到河 SO, 然后到点 Q 的最短路。 其长度就是线段 P’Q’ 事实上,利用对称性不难看出, 任何其它的从点 P 到河 RO 再到河 SO, 然后到点 Q

的长度. 的 路 , 都 相 当 于 从 点 P’ 到 点 Q’ 的 一 条 折 线 路 , 它 的 长 度 大 于 线 段 P’Q’ 的 长. (2) 同 1 的做法. ① 作点 P 关于直线 SO 的对称点 P”,点 Q 关于直线 RO 的对称点 Q”; ② 连接线段 P”与 Q” ,设线段 P”Q”和 SO、RO 的交点 分别为 A1、B1; ③ 则连接 P 与 A1,A1 与 B1,B1 与 Q; 折线 PA1B1Q 是点 P 到河 SO 再到河 RO,然后到点 Q 的 最短路. 其长度就是线段 P”Q”的长度. S P” (8 分) R P? A1 B1 Q” O (5 分)

?Q

(3) 为了比较 1 和 2 中的路长, 只需比较线段 P’Q’和 P”Q”的长. 为此, 考虑△ OP’Q’ 和△ OP”Q”,线段 P’Q’和 P”Q”分别是它们的一个边,而这两个三角形的其他两个边相 等:即 OP’=OP”=OP,OQ’=OQ”=OQ.不难看出,为了比较线段 P’Q’和 P”Q”的长短, 只需比较∠P’OQ’ 和∠P”OQ”的大小. (利用函数的单调性和余弦定理不难严格地证明这一点. 事实上, 当角 x 取值在 (0, π)时,cosx 是 x 的减函数,从而–cosx 是 x 的增函数. 由余弦定理知,角 x 越大,对 应边越长. ) (13 分) 为了比较∠P’OQ’ 和∠P”OQ”的大小,我们设∠ROS = α,∠ROP = β,∠ROQ = δ.如图 2.现在 ∠P’OQ’=∠P’OR +∠ROS +∠SOQ’ 又由点 P 和点 P’及点 Q 和点 Q’的对称性知 ∠P’OR =∠ROP =β, ∠SOQ’=∠SOQ =∠ROS –∠ROQ = α – δ. 因此,∠P’OQ’= β + α + α – δ = 2α – δ + β. 同理,∠P”OQ”=∠P”OS+∠ROS+∠ROQ” 由点 P 和点 P”及点 Q 和点 Q”的对称性知, ∠ROQ”=∠ROQ = δ, ∠P”OS =∠POS =∠ROS –∠ROP = α – β.
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R P? S

P’ ? Q” ? ?Q ?Q’ ?P” O

因此,∠P”OQ”= α – β + α + δ = 2α – β + δ. 我们得到 1 中的路长不大于 2 中路长的充要条件是∠P’OQ’≤∠P”OQ” 即 2α – δ + β ≤ 2 α – β + δ , 即 Β ≤ δ 当点 P、Q、O 在一条直线上(β = δ)时,1 和 2 中的最短路长度相等. 当点 P 落在角∠ROQ 中(β<δ) ,先到 RO 后到 SO 的最短路要比先到 SO 再到 RO 的最短路要短. (18 分) 6.(满分18 分) 某大学每年推荐优秀的本科生保送到本校读研究生.要对申请的学 生排出名次,决定名次的因素有一次资格考试,有在大学期间的平时学习情况,还有能 反映个人状况及潜在能力的综合素质.以下是 10 位学生的 5 个方面的得分,请你设计 一个合理的排序方案,提出具体的分数计算方法,并为他们做出排序. 得分 项目 社会工作 竞赛获奖 科研活动 资格考试 平时学习 0.8 76 92 76 84 74 86 0.3 0.4 1 64 88 0.4 62 90 学生序号 1 2 3 4 5 0.3 0.2 0.2 57 84 0.6 55 87 55 81 6 7 0.75 8 9 0.1 0.2 0.2 49 90 0.6 0.8 47 87 10

解 1.将社会工作、竞赛获奖和科研活动合并相加作为综合素质成绩。 设 xi 为第 i 个学生的综合素质成绩,则有 i xi 1 0.8 2 0 3 0.3 4 1.4 5 0.7 6 0.4 7 1.35 8 0 9 0.5 10 1.4 ( 4 分) 2.为避免不同项目评分绝对数值大小不同的影响,分别将综合素质、资格考试和 平时成绩这三项得分标准化. 归一标准化方法:将各项目的最高成绩取为 1,最低成绩取为 0,其它的成绩根据 它与最低成绩只差的比例折算.即设 xi 为第 i 个学生的综合素 质 成 绩 , xi 为 这 个 学 生 的 综 合 素 质 归 一 标 准 化 成 绩 , 计 算 xi 的 方 式 为

xi =

xi ? min{xi } ,于是得到 max{xi } ? min{xi }
i 1 0.57 2 0 3 0.21 4 1 5 0.5 6 0.29 7 0.96 8 0 9 0.36 10 1 (10 分) 设 yi 为第 i 个学生的资格考试成绩, yi 为这个学生的资格考试归一标准化成绩,zi
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xi

为第 i 个学生的平时学习成绩, z i 为这个学生的平时学习归一标准化成绩, 则同理可 得 i 1 1 1 2 1 0.27 3 0.93 0.45 4 0.59 0.64 5 0.52 0.82 6 0.34 0.27 7 0.28 0.55 8 0.28 0 9 0.07 0.82 10 0 0.55

yi zi

(注:数据标准化方法很多,只要有道理,酌情给分) (14 分) 3.将综合素质、资格考试和平时学习这三项归一标准化成绩求和进行排名. 设 Mi 为第 i 个学生综合素质、 资格考试和平时学习这三项归一标准化成绩的和, 则 i Mi 名次 1 2.57 1 2 1.27 7 3 1.59 5 4 2.23 2 5 1.84 3 6 0.90 9 7 1.79 4 8 0.28 10 9 1.25 8 10 1.55 6 (18 分)

第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题

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