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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷19--平面向量的概念及线性运算


第十九讲 平面向量的概念及线性运算 十九讲
一?选择题:8本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号 内.8

uuuur 2 1.88010?四川8设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC 816,
| AB + AC |=| AB ? AC |, 则| AM |888 A.8B.4 C.8D.1 解析:由 | AB + AC |=| AB ? AC | 可知, AB ⊥ AC , 则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线, 因此,| AM |= 答案:C 8.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD = 2 DB, CD = r AB + s AC , 则 r8s 的值是88

uuu uuur r

uuu uuur r

uuuu r

uuu uuur r

uuu uuur r

uuu r

uuur

uuuu r

r 1 uuu | BC |= 2, 选 C. 2 uuu r uuu uuu r r uuu r uuur

4 C.-3 3 uuu r uuu r 解析:∵ CD = 2 DB A. B.
∴ CD =

2 3

D.0

r r 2 uuu 2 uuu uuur CB = ( AB ? AC ) 3 3 uuu 2 uuu 2 uuur uuu r r r uuu r uuur ∴ CD = AB ? AC , 又 CD = r AB + s AC , 3 3 2 2 ∴r8 , s = ? ,∴r8s80.故选 D. 3 3
答案:D 3.平面向量 8,8 共线的充要条件是88 A.8,8 方向相同 B.8,8 两向量中至少有一个为 0 C.存在 λ∈R,使 88λ8 D.存在不全为零的实数 λ1,λ8,使 λ188λ8880 解析:8,8 共线时,8,8 方向相同或相反,故 A 错.8,8 共线时,8,8 不一定是零向量,故 B 错.当 88λ8 时,8,8 一定共线,若 8≠0,880.则 88λ8 不成立,故 C 错.排除 A、B、C,故选 D. 答案:D

uuu r

4.已知 O?A?B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC + CB = 0, 则 OC 等于 8 8

uuur uuu r

uuur

uuu uuu r r uuu r uuu r A.2OA ? OB B. ? OA + 2OB r r r r 2 uuu 1 uuu 1 uuu 2 uuu C. OA ? OB D. ? OA + OB 3 3 3 3 uuur uuu uuu uuu r r r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu uuu r r 解析: OC = OB + BC = OB + 2 AC = OB + 2(OC ? OA), ∴ OC = 2OA ? OB, 故选 A.
答案:A 5.设 D?E?F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且

r r uuur uuu uuu r r uuu uuur r uuu r uuur uuu uuu uuu r DC = 2 BD, CE = 2 EA, AF = 2 FB, 则 AD + BE + CF 与 BC ()
A.反向平行 C.不平行 B.同向平行 D.无法判断

uuur uuu uuu uuu 1 uuu uuu uuu uuu uuu 2 uuu r r r r r r r r r AD = AB + BD = AB + BC , BE = BC + CE = BC + CA, 3 3 解析: uuu uuu uuur uuu 2 uuu r r r r CF = CA + AF = CA + AB, 3 uuur uuu uuu 5 uuu 5 uuu 4 uuu r r r r r AD + BE + CF = AB + CA + BC 3 3 3 ∴ 故选 A. uuu uuu 4 uuu 5 uuu 4 uuu r r r r r r 5 1 uuu = ( AB + CA) + BC = CB + BC = ? BC. 3 3 3 3 3
答案:A

uuu r
共线的充要条件为88 A.λ8μ88 B.λ-μ81 C.λμ8-1 D.λμ81

uuur

6.已知 8,8 是不共线的向量, AB 8λ888, AC 888μ8,8λ,μ∈R8,那么 A、B、C 三点

解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由 A、B、C 三点共线8 AB ∥ ACλα AB = m AC 8λ8888m88mμ888λ-m8888mμ-188. 因为 8,8 不共线, 所以必有 ?

uuu r

uuur

uuu r

uuur

?λ = m , 故可得 λμ81. ? m? ? 1 = 0

反之,若 λμ81,则 μ8 A、B、C 三点共线. 故选 D. 答案:D

1

λ

uuur r r 1 1 1 uuu uuu uuur . 所以 AC = a + b = 8λ88888 AB, α AB ∥ AC , 所以

λ

λ

λ

二?填空题:8本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 84 分,把正确答案填在题后的横线上.8 7.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 | OB ? OC |=| OB + OC ? 2OA | ,则△ABC 的形状为________.

uuu uuur r

uuu uuur r

uuu r

uuu uuur uuu uuu uuu uuur uuu uuu uuur uuu uuur r r r r r r r OB + OC ? 2OA = OB ? OA + OC ? OA = AB + AC , OB ? OC 解析: uuu uuu uuur r r = CB = AB ? AC ,
∴ | AB + AC |=| AB ? AC |, 故 A?B?C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案:直角三角形

uuu uuur r

uuu uuur r

uuur
λ,u∈R,则 λ8u8________. 解析:设 BC = b, BA = a, 则 AF = λ8u8

uuu r

uuur

8.在平行四边形 ABCD 中,E?F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若 AC 8λ AE 8u AF , 其中

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r 1 1 uuur b ? a, AE = b ? a, AC 88-8,代入条件得 2 2

2 4 ,∴λ8u8 . 3 3 4 答案: 3

uuu uuu uuur r r uuu r uuu r uuur

uuu r uuur

uuu r uuu r uuu r

uuu r

uuur

9.如图,平面内有三个向量 OA ? OB ? OC , 其中 OA 与 OB 的夹角为 180°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |8| OB |81,| OC |8 2 3 ,若 OC 8λ OA + μ OB 8λ,μ∈R8,则 λ8μ 的值为________.

uuu r

uuu r
uuur

解析:过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由 ∠BOC890°,∠AOC830°,| OC |= 2 3 ,得平行四边形的边长为 8 和 4,故 λ8μ888486. 答案:6

10.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若 AB = m AM , AC = n AN , 则 m8n 的值为________.

uuu r

uuuu uuur r

uuur

解析:由于 MN 的任意性可用特殊位置法:当 MN 与 BC 重合时知 m81,n81,故 m8n88. 答案:8 三?解答题:8本大题共 3 小题,11?18 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.8 11.若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R,若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在一条直线上? 3 1 解:设 a-tb=m[a- (a+b)],m∈R, 3 2 m ? 化简得?3m-1?a=? 3 -t?b, ? ? ? ∵a 与 b 不共线, 2 3 m-1=0 m= , 2 3 ∴ ? m 1 t= . -t=0 3 2 1 1 ∴t= 时,a,tb, (a+b)的终点在一条直线上. 3 2

? ? ?

? ? ?

18.设 8、8 是不共线的两个非零向量, 818若 OA = 2a ? b, OB = 3a + b, OC 88-38,求证:A、B、C 三点共线; 888若 88888 与 88888 共线,求实数 8 的值. 解:818证明:∵ AB = 838888-888-8888888.

uuu r

uuu r

uuur

uuu r

uuu r
uuu r

uuu r

而 BC 888-388-8388888-88-488-8 AB,

uuu r

∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B, ∴A、B、C 三点共线. 888∵88888 与 88888 共线,

存在实数 λ 使得 888888λ8888888888-λ888888-8λ8880, ∵8 与 8 是不共线的两个非零向量,
?8-λk=0, ? ∴? ?8=2λ2?λ=±2, ? ?k-2λ=0, ∴k=2λ=±4.

13.如图所示,△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 边上,且 AN88NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP8PM 的值.

解:设 BM 8e1, CN = e8,则 AM = AC + CM 8-3e8-e1, BN = 8e18e8,

uuuu r

uuur

uuuu r

uuur uuuu r

uuur

uuu r

uuuu r

uuu r

∵A?P?M 和 B?P?N 分别共线,∴存在 λ?μ∈R,使 AP 8λ AM 8-λe1-3λe8, BP

uuur
8μ BN 88μe18μe8. 故 BA = BP ? AP 88λ88μ8e1883λ8μ8e8, 而 BA = BC + CA = 8e183e8,
?λ+2?=2 ? ∴由平面向量基本定理得? ,∴ ? ?3λ+?=3

uuu r

uuu uuu r r

uuu r

uuu uuu r r

?λ=5 ? 3 ??=5

4



∴ AP =

uuu r

r 4 uuuu AM , 即 AP:PM=4:1. 5



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