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2016高考数学理科二轮复习课件:专题7第三讲 统计、统计案例


随堂讲义
专题七 概率与统计、推理与证明、算法初步、 框图、复数 第三讲 统计、统计案例

从近三年高考试题的统计分析来看,抽样方法, 频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征等多以选择 题、填空题的形式考查,一般为容易题.回归分析与独 立性检验是高考的新趋势. 预测2016年高考中,本讲内容仍为考查的热点之一, 有关统计与概率、统计案例的解答题要引

起足够的重 视.

例 1

某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表所

示. 已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学 生人数为( ) 一年 级 女生 男生 A.24 B.18 373 377 二年 级 x 370 C.16 三年 级 y z D.12

思路点拨: 本题可以先根据概率求出二年级女生人数, 然后算出 三年级的总人数,最后算出在三年级抽取的人数. x 解析:由 =0.19,得 x=380, 2 000 ∴y+z=2 000-373-377-380-370= 500, ∴三年级抽取的人数为 答案:C 64 ×500=16. 2 000

(1)解决此类题目首先要深刻理解各种抽样方法的特点和适用范 围, 如分层抽样, 适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体. (2)系统抽样中编号的抽取和分层抽样中各层人数的确定是高考 重点考查的内容.

1.(2014· 天津卷 )某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践 活动的意向, 拟采用分层抽样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽 取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年 级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生 中抽取 60 名学生. 4 解析:应从一年级抽取 300× =60 名. 4+5+5+6

例 2 某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h), 随机选择了 50 位老人进行调查, 下表是这 50 位老人日睡眠时间的频 率分布表.

在上述统计数据的分析中, 一部分计算见算法流程图, 则输出的 S 的值是________.

解析:由算法流程图知: S=G1·F1+G2·F2+G3·F3+G4·F4+G5·F5 =4.5×0.12+5.5×0.2+6.5×0.4+7.5×0.2+8.5×0.08=6.42. 答案:6.42

(1)解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意义,从图表中 掌握信息是解决该类问题的关键. (2)本题中 S 实际上是样本的近似平均数.我们可以根据频率分 布表或频率分布直方图来大致求出样本的平均数, 具体做法是, 用频 率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和.

2.某企业 3 个分厂同时生产同一种电子产品,第一、二、三分 厂的产量之比为 1∶2∶1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层) 从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试, 由所得 的测试结果算得从第一、 二、 三分厂取出的产品的使用寿命的平均值 分别为 980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的 100 件产品的使用寿命的 平均值为 1_013h.

解析:根据分层抽样原理,第一、二、三分厂抽取的产品数量分 别 为 25 , 50 , 25 , 所 以 所 求 100 件 产 品 的 平 均 寿 命 为 980×25+1 020×50+1 032×25 =1 013(h). 100

例 3 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高 (单位:cm),获得身高数据的茎叶图如下图所示.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的 同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率.

解析:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160~179 cm 之间, 而乙班身高集中于 170~180 cm 之间.因此乙班平均身高高于甲班. (2)x = (158 + 162 + 163 + 168 + 168 + 170 + 171 + 179 + 179 + 182)÷ 10=170. 甲班的样本方差为: 1 × [(158 - 170)2 + (162 - 170)2 + (163 - 170)2 + (168 - 170)2 + 10 (168 - 170)2 + (170 - 170)2 + (171 - 170)2 + (179 - 170)2 + (179 - 170)2 +(182-170)2]=57.2.

(3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A. 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同学有: (181, 173)(181, 176)(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)(178,176)(176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本 4 2 事件,∴P(A)= = . 10 5

(1)本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算,其中从茎叶 图中读出数据是关键, 为此, 首先要弄清“茎”和“叶”分别代表什 么. (2)要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方 法.

3. 在发生某公共卫生事件期间, 有专业机构认为该事件在一段 时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似 病例不超过 7 人”.根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病 例数据,一定符合该标志的是 A.甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B.乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C.丙地:中位数为 2,众数为 3 D.丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 (D)

解析:根据信息可知,连续 10 天内,每天新增疑似病例不能有 超过 7 的数,选项 A 中,中位数为 4,可能存在大于 7 的数;同理, 在选项 C 中也有可能;选项 B 中的总体方差大于 0,叙述不明确, 如果数目太大,也有可能存在大于 7 的数;选项 D 中,根据方差公 式,如果有大于 7 的数存在,那么方差不会为 3.故选 D.

例 4 (2014· 新课标Ⅱ卷)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家 庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 1 2.9 2 3.3 3 3.6 4 4.4 5 4.8 6 5.2 7 5.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居 民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭 人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

思路点拨:本题第(1)问,由给出的^ b与^ a 公式求出^ b 与^ a ,从而求 出回归直线方程;对第(2)问,由第(1)问求出的回归直线方程进行预 测,令 t=9,可得 y 的近似值. 解 析 : (1) 由 题 意 知 , - t =4,- y = 4.3 , 所 以 ^ b= 3×1.4+2+0.7+0+0.5+1.8+3×1.6 =0.5, 9+4+1+0+1+4+9 所以 ^ a =- y -^ b- t = 4.3- 0.5×4= 2.3,所以线性回归方程为^ y= 0.5t+2.3.

(2)由(1)中的线性回归方程可知,b>0,所以在 2007 至 2013 年 该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增中, 平均每年增加 0.5 千元. 令 t=9 得:^ y =0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区在 2015 年农村 居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.

(1)正确作出散点图,由散点图可知两个变量是否具有线性相关 关系, 若具有线性相关关系, 则可通过线性回归方程估计和预测变量 的值. (2)正确记忆求 b,a 的公式和准确地计算,是解题的保证.

4.两个相关变量满足下列关系: x y 10 1 003 15 1 005 20 1 010 25 1 011 30 1 014 (A)

两变量的回归直线方程为 ^=0.56x+997.4 A.y ^=0.63x-231.2 B.y ^=50.2x+501.4 C.y ^=60.4x+400.7 D.y

解析:解法一

∑i=1xiyi-n - x - y b= =0.56, n 2 2 - ∑i=1xi -n x

n

a=- y -b- x =997.4. ∴^ y =0.56x+997.4. 解法二 线性回归方程必过点(x,y),

10+15+20+25+30 x= =20, 5 1 003+1 005+1 010+1 011+1 014 y= =1 008.6. 5 经过验证选 A.

例 5 为考察是否喜欢饮酒与性别之间的关系,在某地区随机抽 取 290 人,得到如下 2×2 列联表: 喜欢饮酒 男 女 总计 101 124 225 不喜欢饮酒 45 20 65 总计 146 144 290

利用 2×2 列联表的独立性检验判断是否喜欢饮酒与性别有无关 系.

解析:由列联表中数据得:
2 290 × ( 101 × 20 - 124 × 45 ) K2(χ )= ≈11.95>6.635, 146×144×225×65 2

所以我们有 99%的把握认为“是否喜欢饮酒与性别有关”.

2 χ (1)独立性检验的关键是准确地计算 K ( ),在计算时,要充分 2

利用 2×2 列联表. (2)学习相关和无关的判定一定要结合实际问题,从现实中寻找 例子,从而增强学习数学的兴趣.

5.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中 女性 70 人,男性 54 人.女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视, 另外 27 人主要的休闲方式是运动; 男性中有 21 人主要的休闲方式是 看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)判断休闲方式与性别是否有关系.

解析:(1)2×2 列联表如下:

(2) 解 法 一

假 设 “ 休 闲 方 式 与 性 别 无 关 ” , 计 算 K2 =

124×(43×33-27×21)2 ≈6.201, 70×54×64×60 因为 k≥5.024, 所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是 不合理的,即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.
2 124 × ( 43 × 33 - 27 × 21 ) 解法二 由 χ2= ≈6.201. 70×54×64×60

因为 6.201 > 3.841 ,所以有 95% 的把握认为 “ 休闲方式与性别有 关”.

1.三种简单随机抽样方法要注意记清它们的区别,避免混淆; 2.频率分布直方图或频率分布表中信息要能正确理解,注意区 别直方图与条形图; 3.对样本总体的估计注意用好几个特殊数:方差、标准差、众 数、中位数、平均数等.


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