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山东省滕州市第一中学2016届高三数学12月阶段检测试题 理


山东省滕州市第一中学 2016 届高三 12 月份阶段检测 数学试题(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 最符合题目要求.)
2 1、 已知全集 U ? R , 则正确表示集合 M ? ??1,0,1? 和 N ? x x ? x ? 0 关系的韦恩 ?Venn ? 图

?



?

是(

)

2、设 m, n 为空间两条不同的直线, ? , ? 为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? ; ②若 m / /? , m / / n ,则 n / /? ;

③若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? ; ④若 m ? ? , ? / / ? ,则 m ? ? . 其中的正确命题序号是( ) A.③④ B.②④
2

C.①② )

D.①③

3、 “ x ? 1 ”是“ log 1 ( x ? 2) ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 4、已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 像( )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?

??

?? ? ? ,为了得到 g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将 f ( x) 的图 3? 2? ?

? 个长度单位 3 ? C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

? 个长度单位 3 ? D.向右平移 个长度单位 6 r r r r r 5、已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1, k ? ,若 a // 2a ? b ,则 k 等于(
B.向右平移

?

?

)

A. ?12

B. 12
2 2

C. ?

1 2

D.

1 2


6、已知点 M ? a, b ? 在圆 O : x ? y ? 1 内, 则直线 ax ? by ? 1与圆 O 的位置关系是( A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

1

7、函数 f ? x ? ?

1 ? ln x 的图象大致为 x

8、已知数列 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8 ,则数列 {an } 的前 10 项和等于 ( ) B. A. 1024

1023

C.

512

D. 511

9、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的一个焦点在 a 2 b2


?

?

抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 21 28

x2 y 2 ? ?1 B. 28 21

x2 y 2 ? ?1 C. 3 4

x2 y 2 ? ?1 D. 4 3

10、已知 x , y 满足约束条件 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 在该约束条件 ?2 x ? y ? 3 ? 0,


2 2 下取到最小值 2 5 时, a ? b 的最小值为(

A. 2

B. 5

C. 4

D. 5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分).
2 n ?1 11、在用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? L ? a ?

1 ? a n? 2 (a ? 1, n ? N ? ) 时,在验证 n ? 1 时,等 1? a

式左边为

. .

2 12、曲线 y ? x 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为

13、一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 .

ur r ? 14、已知 a ? 2, b ? 6 , a 与 b 的夹角为 ,

3

则 a ? b 在 a 上的投影为


2

15、若函数 f ( x ) 对其定义域内的任意 x1 , x2 ,当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x ) 为紧 密函数,例如函数 f ( x) ? ln x( x ? 0) 是紧密函数,下列命题: ①紧密函数必是单调函数;②函数 f ( x) ? ③函数 f ( x) ? ?

x2 ? 2x ? a ( x ? 0) 在 a ? 0 时是紧密函数; x

?log3 x, x ? 2 是紧密函数; ? 2 ? x, x ? 2

④若函数 f ( x ) 为定义域内的紧密函数, x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ⑤若函数 f ( x ) 是紧密函数且在定义域内存在导数,则其导函数 f ' ( x) 在定义域内的值一定不为 零.其中的真命题是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin (1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

u r

2? ? x) 的值; 3

r u r r x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? m ? n . 4 4 4

(2)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 a cos C ? 取值范围. 17、 (本小题满分 12 分)

1 c ? b ,求 f (2 B) 的 2

在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? ?1 ,数列 {bn } 满足 bn ? ( ) n ,且b1b2b3 ?
a

1 2

1 . 64

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? (?1)
n

6n ? 5 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Tn . an an?1
1 CD ? 2, 点 M 是线段 EC 的中点. 2
E M D A B

18、 (本小题满分 12 分)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,
AD ? CD , AB // CD, AB ? AD ?

(1)求证: BM // 平面 ADEF ; (2)求证:平面 BDE ⊥平面 BEC ; F (3)求平面 BDM 与平面 ABF 所成的角(锐角)的余弦值.

C

19、 (本小题满分 12 分)某厂家拟举 行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为 x 万元时, 销售量 t 万件满足 t ? 5 ?

9 已知生产该 ?其中1 ? x ? a, a ? 1? . 假定生产量与销售量相等, 2 ? x ? 1?

3

产品 t 万件还需 ?10 ? 2t ? 万元(不含促销费用) ,生产的销售价格定为 ? 4 ? (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.

? ?

20 ? ? 万元/万件. t ?

20、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为 a 2 b2

2 .过点 G (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M , N . 2
(1)求 椭圆 C 的方程; (2)当 ?AMN 的面积为

4 2 时,求直线 l 的方程. 5
2

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 1n( x ? 1) ? ax ? x ( a ? R ).

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; 4 (2)若对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ,求实数 a 的取值
(1)当 a ? 范围.

4

高三一轮复习 12 月阶段检测数学试题答案(理科) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个最 符合题目要求.) 1、B 2、A 3、A 4、D 5、C 6、C 7、B 8、B 9、D 10、C 二、填空 题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11、 1 ? a ? a
2

12、

1 6

13、 2? ?

2 3 3

14、5

15、②④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

x x x x ? 1 cos ? cos 2 ? sin( ? ) ? ????2 分 4 4 4 2 6 2 x ? 1 1 x ?2 ? (1)若 f ( x) ? 1, 可得 sin( ? ) ? ,则 cos ? ? ? x ? ? 2cos 2 ( ? ? ) ? 1 , 2 6 2 3 2 ?3 ? ?? 1 ?1 ??????6 分 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 1 ? ? 6? 2 ?2
16、解: f ( x) ? 3 sin

1 a2 ? b2 ? c2 1 c ? b 可得: a ? c ? b ,即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 2 2ab 2 2 2 2 ? 2 b ?c ?a 1 ? ,在锐角 ?ABC 中? A ? ? B ? C ? ? ???8 分 所以 cos A ? 3 3 2bc 2 ? ? ? 3 又 B, C 均为锐角? B ? ( , ) ? sin( B ? ) ? ( ??????10 分 ,1] 6 2 6 2 ? 1 3 ?1 3 ??????12 分 , ] ? f (2 B) ? sin( B ? ) ? 的取值范围是: ( 6 2 2 2 1 a 17 、解: (Ⅰ)设等差数 列 {an } 的公差为 d , ? a1 ? ?1, bn ? ( ) n , 2 1 1 1 1 1 1 ? 3? 3 d ? 得( ) ,解得 d ? 3 . ? b1 ? ( ) ?1 , b2 ? ( ) ?1? d , b3 ? ( ) ?1? 2 d . 由 b1b2 b3 ? 2 64 2 2 2 64 ??????6 分 ? an ? ?1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 4. 1 1 n 6n ? 5 (Ⅱ) Q cn ? (?1) ? (?1)n ( ? ) an an ?1 3n ? 4 3n ? 1
(2)由 a cos C ?

Tn ? ?(

1 1 ?1 1? ?1 1? 1 1 ? n? ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ?1? ? ? ? ?1 2 ? 2 5 ? ? 5 8 ? ? 3n ? 4 3n ? 1 ? 1 ? 1 ? (?1) n (分 n 为奇偶数讨论也可) ??????12 分 3n ? 1

18、证明: (1)取 DE 的中点 N ,连结 MN , AN .

1 在 ?EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点,则 MN // CD 且 MN ? CD . 2 1 由已知 AB // CD , AB ? CD ,得 MN // AB ,且 MN ? AB ,四边形 ABMN 为平行四边形. 2 BM // AN .因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF ? BM // 平面 ADEF .???4 分 (2)在正方形 ADEF 中, ED ? AD .又平面 ADEF ? 平面 ABCD , 平面 ADEF I 平面 ABCD ? AD ,?ED ? 平面 ABCD . ? ED ? BC .
在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,得 BC ? 2 2 .在 ?BCD 中, BD ? BC ? 2 2 ,
5

CD ? 4 ,可得 BC ? BD .又 ED I BD ? D ,故 BC ? 平面 BDE .

又 BC ? 平面 BEC ,所以平面 BDE ⊥平面 BEC .??????8 分 (3)如图,建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C (0, 4,0), D(0,0,0), z E (0,0, 2) . 因为点 M 是线段 EC 的中点,则 M ? 0, 2,1? , E F N D A x B M

uuuu r uuu r DM ? ? 0, 2,1? ,又 DB ? ? 2, 2, 0 ? .
r 设 n ? ? x1 , y1 , z1 ? 是平面 BDM 的法向量,
则 DB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 , DM ? n ? 2 y1 ? z1 ? 0 .

C Y

uuu r r

uuu u r r

r 取 x1 ? 1 ,得 y1 ? ?1, z1 ? 2 ,即得平面 BDM 的一个法向量为 n ? ?1, ?1, 2? .
由题可知, DA ? ? 2, 0, 0 ? 是平面 ABF 的一个法向量. 设平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角为 ? , uu u r r DA ? n 2 6 因此, cos? ? uu .??????12 分 ? u r r ? 6 2 ? 1?1? 4 DA ? n

uuu r

20 ? ? ? (10 ? 2t ) ? x t ? 9 9 ? x), (0 ? x ? a ) ??5 分 由销售量 t 万件满足 t ? 5 ? 代入得: y ? 20 ? ( x ?1 2 ? x ? 1? 9 9 ? x ? 1 ,即 x ? 2 时,取等号 (2) y ? 21 ? ( ? x ? 1) ? 21 ? 6 ? 15 ,当且仅当 x ?1 x ?1 当 a ? 2 时,促销费用投入 2 万元,厂家的利润最大; ??????8 分 ?( x ? 2)( x ? 4) ? 0, 当 1 ? a ? 2 时, y? ? ( x ? 1)2 1 ? x) 在 0 ? x ? a 上单调递增; 故 y ? 20 ? ( x ?1 所以在 0 ? x ? a 时,函数有最大值,促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大; 综上所述,当 a ? 2 时,促销费用投入 2 万元,厂家的利润最大; 当 1 ? a ? 2 时,促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大. ??????12 分 c 2 20、解: (1) a ? 2, ? ,? c ? 2 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a 2 x2 y 2 ? ?1 所以所求的椭圆方程是 ??????3 分 4 2 (2)①直线 l 的斜率不存在时,直线方程为 x ? 1 ,弦长 MN ? 6 ,
19、解: (1)由题意知,利润 y ? t ? 4 ?

? ?

S?AMN ?

②直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,代入 C 的方程得:

6 ,不满足条件; 2

??????4 分

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 ? ? 16k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(2k 2 ? 4) ? 8(3k 2 ? 2) ? 0
6

4k 2 2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 2 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1

??????6 分

y1 ? k ( x1 ?1), y2 ? k ( x2 ?1),? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 )
? MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )[


16k 4 8(k 2 ? 2) 2 ? ]? 2 2(k 2 ? 1)(3k 2 ? 2) 2 2 2 (2k ? 1) 2k ? 1 2k ? 1
k k 2 ?1

??????9

点 A 到直线 l 的距离为 d ?

?????? 10 分

所以 S ?MNA

k 2(k 2 ? 1)(3k 2 ? 2) 1 4 2 ? MN d ? ? ? , 2 2 2 2k ? 1 5 k ?1
??12 分

化简得 11k 4 ?14k 2 ?16 ? 0,(k 2 ? 2)(11k 2 ? 8) ? 0 ?k 2 ? 2,?k ? ? 2 所以所求的直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ?1) 或解 S ?MNA ?

??????13 分

1 1 1 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? k ( x1 ? x2 ) 2 (下同) 2 2 2 1 1 2 21、解: (Ⅰ)当 a ? 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x , 4 4 1 1 x( x ? 1) ? x ?1 ? ( x ? ?1) , 则 f ?( x) ? x ?1 2 2( x ? 1) 令 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (?1, 0) 和 (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) ; 3 极大值 0,极小值 ln 2 ? ??????5 分 4 x[2ax ? (1 ? 2a)] ( x ? ?1) , (Ⅱ)由题意 f ?( x) ? ( x ? 1) (1)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减, 此时,不存在实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ??7 分 1 ? 1, (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,有 x1 ? 0 , x2 ? 2a 1 ①当 a ? 时,函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上单调递增 ,显然符合题意 . ??????8 分 2 1 1 1 ? 1 ? 0 即 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, 0) 和 ( ? 1, ??) 上单调递增, ②当 2a 2 2a 1 ? 1) 上单调递减, f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,且 f (0) ? 0 , 在 (0, 2a 要使对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ,

7

只需 f (1) ? 0 ,解得 a ? 1 ? ln 2 ,又 0 ? a ? 所以此时实数 a 的取值范围是 1 ? ln 2 ? a ?

1 , 2

1 ??????11 分 2 1 1 1 ? 1 ? 0 即 a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ? 1) 和 (0, ??) 上 单调递增, ③当 2a 2 2a 1 ? 1, 0) 上单调递减,要存在实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时, 在( 2a 1 ? 1) ? f (1) , 函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ,需 f ( 2a 1 ? ln 2 ? 1 ? 0 , 代入化简得 ln 2a ? 4a 1 1 1 1 ? ln 2 ? 1 ( a ? ) ,因为 g ?(a ) ? (1 ? ) ? 0 恒成立, 令 g (a ) ? ln 2a ? 4a 2 a 4a 1 1 1 1 ? ln 2 ? 1 ? 0 式恒成立; 故恒有 g (a ) ? g ( ) ? ln 2 ? ? 0 ,所以 a ? 时, ln 2a ? 2 2 2 4a ? 实数 a 的取值范围是 [1 ? ln 2, ??) . ??????14 分.

8


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