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数学选修2-1测试4


数学选修 2-1 期末试卷 4
一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,满分 60 分) ? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是 1. 已知命题 p: ( ? x ? R,使 tan x ? 1 ? x ? R,使 tan x ? 1 (A) ?p: (B) ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 ? x ? R,使 tan x ? 1 (C)

?p: (D) ?p:
2. 抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是 (A)( a , 0) (B)(- a , 0) 3. 设 a ? R ,则 a ? 1 是 ( (C)(0, a ) (D)(0, - a ) ( (B)必要但不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ) )



1 ?1 的 a

(A)充分但不必要条件 (C)充要条件

4. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则 BC 边上的 中线长为 (A)2 5.有以下命题: (B)3 (C)4 (D)5 ( )

①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系是不共线; ② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,则点 O, A, B, C 一定共面; ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c 也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③ ( )

6. 如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a , AD ? b , AA 1 ?c 则下列向量中与 BM 相等的向量是( )
D1 A1

1 1 (A) ? a ? b ? c 2 2 1 1 (C) ? a ? b ? c 2 2

1 1 (B) a ? b ? c 2 2 1 1 (D) a ? b ? c 2 2

M B1

C1

D A B

C

7. 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是





y x ? ? 1 (x≠0) 36 20 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) (C) 6 20
(A)

2

2

y x ? ? 1 (x≠0) 20 36 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) (D) 20 6
(B)

2

2

8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6, 那么 AB = (A)6 (B)8
2 2

( (C)9 (D)10



9. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是 ( (A)( ?



15 15 15 , )(B)( 0, ) 3 3 3

(C)( ?

15 ,0 ) 3

(D)( ?

15 ,?1 ) 3

1

10.试在抛物线 y 2 ? ?4x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之和最小,则该点 坐标为 (A) ? ?

? 1 ? ,1? ? 4 ? 2 6 3

(B) ? ,1?

?1 ? ?4 ? 3 6 2

(C) ? 2,?2 2

?

?

(D) ? 2,2 2

?



?



11. 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,如果 AB=BC=1,AA 1 =2,那么 A 到直线 A 1 C 的距离为 (A) (B) (C)





2 3 3

(D)

6 3

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点, a2 b2 若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为 ( ) 2 3 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3
12.已知点 F1、F2 分别是椭圆

二、填空题(每小题 4 分,共 4 小题,满分 16 分)
13.已知 A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(x,y,15)三点共线,则 x y =___________。 14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后,水面宽度 是________米。 15. 如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是___________。 36 9

16.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②在 ?ABC 中,“ ?B ? 60? ”是“ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要条件.

?x ? 1 ?x ? y ? 3 2 2 是? 的充要条件;④“am <bm ”是“a<b”的充分必要条件. ? y ? 2 ? xy ? 2 以上说法中,判断错误的有___________. 三、解答题(共 6 小题,满分 74 分) 2 2 17.设 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q :方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,
③? 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

18.已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6, ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度。.

?

?

?

?

19.如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直, 且 OA ? 1 , OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点。 (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值。

2

20.在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。 (1)求证:命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。

21.(本题满分 14 分) 如图, 棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=2,BD= 2 2 . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—CD—B 余弦值的大小; (3)求点 C 到平面 PBD 的距离.

P

A

D

B

C

22. (本题满分 12 分) 如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为两个顶点, a2 b2

已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2 (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

3

高二年级理科数学选修 2-1 期末试卷 参考答案
一、选择题:
题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 A 7 B 8 B 9 D 10 A 11 C 12 D

二、填空题: 13、 2 三、解答题:

14、 4 2

15、

x ? 2y ? 8 ? 0

16、③④

17、解:若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ?
2

? ? ? m2 ? 4 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?m ? 0



????2 分

所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 .

?????????????????????3 分 ????5 分

若方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 , 即1 ? m ? 3 ,

所以 p :1 ? m ? 3 . ???????????????????6 分

因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真”. 所以 ? ???????????8 分

?m ? 2 ? m?2 或? ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

???????????????????10 分

所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 . 故实数 m 的取值范围为 (1, 2] [3, ??) . 18、解:⑴由 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6 得: c ? 2 ????????????????12 分

?

?

?

?

2, a ? 3 所以 b ? 1
???????????????????5 分

2 2 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1 9 1

⑵设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由⑴可知椭圆方程为 ∵直线 AB 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ①, 9 1
???????????7 分

y ? x?2②

把②代入①得化简并整理得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0 ∴ x1 ? x2 ? ? 18 , x1 x2 ? 27
5 10
2 又 AB ? (1 ? 12 )(18 ? 4 ? 27 ) ? 6 3 52 10 5

???????????10 分 ???????????12 分

4

19、解:(1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,1) 、 B(2,0,0) 、 C (0, 2,0) 、 E (0,1,0). ???????????3 分

EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0), AC ? (0,2, ?1)
? 2 ?? , 5 5? 5 ?2

COS< EB, AC >

???????????5 分

所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为

2 5

???????????6 分

(2)设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则

n1 ? AB知 : n1 ? AB ? 2 x ? z ? 0; n1 ? AC知: n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0.取 n1 ? (1,1,2) ,
???8 分

则 cos ? EB, n1 ??

2 ?1? 0 5 6

?

30 ,???????10 分 30
30 ????12 分 30
2

故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为

20、证明:(1)解法一:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y =2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6 )、B(3,- 6 ),∴ OA ? OB ? 3 。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0. ???????????3 分

? y 2 ? 2x 1 2 1 2 2 得 ky -2y-6k=0,则 y1y2=-6. 又∵x1= y1 , x2= y2 , ? 2 2 ? y ? k ( x ? 3)
∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=

1 ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 =3. 4

???????????7 分

综上所述, 命题“......”是真命题.
2
2

???????????8 分

解法二:设直线 l 的方程为 my =x-3 与 y =2x 联立得到 y -2my-6=0
2 2

OA ? OB =x1x2+y1y2
???8 分

=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m +1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m +1)× (-6)+3m×2m+9=3
2

(2)逆命题是:“设直线 l 交抛物线 y =2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB ? 3 ,那么该直线过点 T(3,0).” ???????????????????10 分

5

该命题是假命题.

例如:取抛物线上的点 A(2,2),B(

1 ,1),此时 OA ? OB ? 3 =3, 2
????????????12 分

直线 AB 的方程为 y =
2

2 (x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 3

点评:由抛物线 y =2x 上的点 A(x1,y1)、B(x2,y2)满足 OA ? OB ? 3 ,可得 y1y2=-6。或 y1y2=2,如果

y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(-1,0),而不过点(3,0)。
21、解:方法一:证:⑴在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2,ABCD 为正方形,因此 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC.

解:(2)由 PA⊥面 ABCD,知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影,又 CD⊥AD, ∴CD⊥PD, 知∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角. 又∵PA=AD,∴∠PDA=450 . (3)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= 2 2 ,设 C 到面 PBD 的距离为 d, z P

1 1 ? S ?BCD ? PA ? ? S ?PBD ? d , 3 3 2 1 1 1 1 2 0 3 即 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? (2 2 ) ? sin 60 ? d ,得 d ? 3 3 2 3 2
由 VP? BCD ? VC ? PBD ,有 方法二:证:(1)建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).??????2 分 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0), ∴ AP ? (0,0,2), AC ? (2,2,0), BD ? (?2,2,0) x

A D y

C

B

∵ BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 ,即 BD⊥AP,BD⊥AC,又 AP∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. ????4 分 解:(2)由(1)得 PD ? (0,2,?2),CD ? (?2,0,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 ? PD ? 0, n1 ? CD ? 0 , 即?

?0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ?x ? 0 ,∴ ? ?? 2 x ? 0 ? 0 ? 0 ?y ? z

故平面 PCD 的法向量可取为 n1 ? (0,1,1)

∵PA⊥平面 ABCD,∴ AP ? (0,01 ) 为平面 ABCD 的法向量.

???????????7 分

设二面角 P—CD—B 的大小为?,依题意可得 cos? ?

n1 ? AP n1 ? AP

?

2 . ???????????9 分 2

(3)由(Ⅰ)得 PB ? (2,0,?2), PD ? (0,2,?2) ,设平面 PBD 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,

6

则 n2 ? PB ? 0, n2 ? PD ? 0 ,即 ?

?2 x ? 0 ? 2 z ? 0 ,∴x=y=z,故可取为 n2 ? (1,1,1) . ?????11 分 ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0
n2 ? PC n2 ? 2 3 3

∵ PC ? (2,2,?2) ,∴C 到面 PBD 的距离为 d ?

???????14 分

2 1 (3 3 2) 22、解:(1)由题设知:2a = 4,即 a = 2, 将点 (1, ) 代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 ,解得 b2 = 3 2 2 b
2 2 ∴c2 = a2-b2 = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为 x ? y ? 1 , 4 3

???????????5 分 ???????????6 分

焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) (2)由(Ⅰ)知 A(?2,0), B(0, 3) ,? k PQ ? k AB ?
? 3 y? ( x ? 1) ? 2 由? 得 8y 2 ? 4 3y ? 9 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

3 , ∴PQ 所在直线方程为 y ? 3 ( x ? 1) , 2 2

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则 y1 ? y 2 ? ?
? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? , ???????????9 分 2 8

3 9 21 ? 4? ? 4 8 2

? S ?F1PQ ?

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

???????????12 分

7


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