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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积


济南市长清中学 高一
编号:B2-6 课型:新授课 编制人: 李震

数学 导学案
审核人: 李震 年级主任: 班级: 姓名:

课题:1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 【学习目标】 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念,了解它们的侧面展开图. 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式,并会求它们的表面积. 3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积. 【学习内容】 1.直棱柱的表面积 直棱柱的侧面展开图是_________,由矩形的面积公式可得直棱柱的侧面积公式为 S 直棱柱侧= ch,其中棱柱的高为 h,底面多边形的周长为 c. (1)语言叙述:直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积. (2)直棱柱的表面积等于侧面积与上、下底面积的和. (3) 求 斜 棱 柱 的 侧 面 积 可 以 先 求 出 每 个 侧 面 的 面 积 , 然 后 求 和 , 也 可 以 用 直 截 面 周 长 与 __________的乘积表示,其中直截面是指______________的截面,即 S 斜棱柱侧=c′l(其中直 截面周长为 c′,侧棱长为 l). 2.正棱锥的表面积 正棱锥的侧面展开图是一些_________________,底面是正多边形,如果设它的底面边长为 a, 底面周长为 c,斜高为 h′,则正 n 棱锥的侧面积公式为 S 正棱锥侧=________________________. (1)语言叙述:正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半. (2)正棱锥的全面积(或表面积)等于_________________________________. (3)一般棱锥的每个侧面都是 _________,因此求出它们各自的面积,然后相加,即可求出它的 侧面积. (2)正棱台的表面积(或全面积)等于正棱台的侧面积与两底面积的和. (3)一般棱台的侧面积可分别求出每个侧面的面积然后相加. (4)棱台的上下底面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高度之比的平方.也等于截去的小 棱锥的侧棱长与原棱锥的侧棱长之比的平方. 4.球的表面积 公式:S=______________,其中 R 为球半径. 语言叙述:球面面积等于它的大圆面积的 4 倍. 5.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 (1)圆柱的侧面展开图为__________,因此侧面积公式为 S 圆柱侧=__________.(其中 R 为底面圆半 径,h 为圆柱的高) (2)圆锥的侧面展开图为________,因此侧面积 公式为 S 圆锥侧=_____________.(其中 c 为圆锥底面圆周长,l 为母线长,R 为底面圆半径) (3)圆台的侧面展开图为扇环,因此侧面积公式为 S 圆台侧=______________=____________.(其中 r1、r2 分别为上、下底面圆半径,c1、c2 分别为上、下底面圆周长,l 为圆台的母线) (4)表面积为侧面积与底面积的和. 【例题讲解】 考点一、直棱柱侧面积及各量之间的转化 例 1、直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1,Q2,求直平行六面体的侧面积 个性笔记

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跟踪训练 1、底面是菱形的直四棱柱中,它的对角线长为 9 和 15,高是 5,求直四棱柱的侧面积.

考点二、有关正棱锥中侧面积与各量的转化 例 2、正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍,高是 3,求它的表面积.

跟踪训练 2、正三棱锥底面边长为 a,高为

3 a,求此棱锥的侧面积. 3

考点三、正棱台的侧面积与各量间的转化 例 3、已知一正三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm,且其侧面积等于两底面积的和,求 棱台的高.

跟踪训练 3、 已知一个正四棱台,上、 下两底面边长分别为 m、n,其侧面积等于两个底面积的和, 求此正四棱台的高.

考点四、球及旋转体各量之间的转化 例 4、有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各棱相切,第三个球过这个正 方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.

【课内练习】 1.一正四棱锥各棱长均为 a,则其表面积为( ) A. 3a2 B.(1+ 3)a2 C.2 2a2 D.(1+ 2)a2
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2.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为 2,体对角线长为 6,则这个棱柱的侧面积是 ( )A.2 B.4 C.6 D.8 3.若球的大圆周长为 C,则这个球的表面积是( ) C2 C2 C2 2 A. B. C. D.2πC 4π 2π π 4.一个圆锥的底面半径为 2,高为 2 3,则圆锥的侧面积为________. 5.已知棱长为 1,各面都是正三角形的四面体,则它的表面积是________. 【课后练习】 1.正三棱锥的底面边长为 a,高为 6 a,则此棱锥的侧面积等于( 6 )

3 3 3 3 2 3 3 2 A. a2 B. a2 C. a D. a 4 2 4 2 2.正六棱柱的高为 6,底面边长为 4,则它的全面积是( ) A.48(3+ 3) B.48(3+2 3) C.24( 6+ 2) D.144 3.正四棱台两底面边长分别为 3 cm 和 5 cm,那么它的中截面面积为( ) A.2 cm2 B.16 cm2 C.25 cm2 D.4 cm2 4.正四棱锥底面外接圆半径为 10 cm,斜高为 12 cm,下面数据正确的是( ) A.高 h=2 11 cm B.侧棱长 l=12 cm C.侧面积 S=60 2 cm2 D.对角面面积 S=10 94 cm2 5.已知底面是菱形的直棱柱,底面的对角线的长分别是 6 和 8,棱柱的高是 15,则这个棱柱的 侧面积是( )A.75 B.250 C.150 D.300 6.已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240° 7.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为________. 8.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 2 cm,则球的表面积是________. 9.一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为 4∶9,则此棱锥的侧棱被 分成的上、下两部分之比为________. 10. 已知五棱台的上、 下底面均是正五边形, 边长分别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱长是 13 cm,求它的侧面积.

11.求棱长为 a 的正四面体外接球的半径.

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12. 如图,在底面半径为 2,母线长为 4 的圆锥中有一个高为 3的内接圆柱,求圆柱的表面积.

【课后小结】

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