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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:平面向量的线性运算


平面向量的线性运算
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·沈阳模拟)如图中的小网格由等大 的小正方形拼成,则 向量 a-b=( (A)e1+3e2 (B)-e1-3e2 (C)e1-3e2 ( D)-e1+3e2 2.平面向量 a,b 共线的充要条件是( (A)a,b 方向相同 (B)a,b 两向量中至少有一个为零向量 (C) ? λ ∈R,b=λ a (D)存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 3.已知 O, A, B 是平面上的三个点, 直线 AB 上有一点 C, 满足 2 AC + CB =0, 则 OC 等于( (A)2 OA - OB ) )

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(B)- OA +2 OB

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? 2 ???? 1 ??? (C) OA - OB 3 3

? 1 ???? 2 ??? (D)- OA + OB 3 3 ??? ?
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4.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,| BC |=4,| AB + AC |=| AB - AC |, 则| AM |=(

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(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 5.平面上点 P 与不共线的三点 A、B、C 满足关系: PA + PB + PC = AB ,则 下列结论正确 的是( )

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(A)P 在 CA 上,且 CP =2 PA (B)P 在 AB 上,且 AP =2 PB (C)P 在 BC 上,且 BP =2 PC (D)P 点为△ABC 的重心 6.(2012·济南模拟)在 三角形中,对任意 λ 都有| AB -λ AC |≥| AB - AC |,则△ABC

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的形状是(

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(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012·东营模拟)在△ABC 中, 已知 D 是 BC 上的点, 且 CD=2BD.设 AB =a, 则 AD AC =b, = .(用 a、b 表示)

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8.(2012·滨州模拟)在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 且 AC =λ AE +μ AF ,其中 λ ,μ ∈R,则 λ +μ =

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9.(易 错题)如图所示, BC =3 CD ,O 在线段 CD 上,且 O 不与端点 C、D 重 合,若 AO =m AB +(1-m) AC ,则实数 m 的取值范围为

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三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.如图所示,O 为△ABC 内一点,若有 4 OA + OB + OC =0,试求△ABC 与 △OBC 的面积 之比. 11.(2012·威海模拟)已知平行四边形 ABCD 中, AD =a, AB =b,M 为 AB 中 点,N 为 BD 靠近 B 的三等分点.

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(1)用基底 a,b 表示向量 MC , NC ; (2)求证:M、N、C 三点共线. 【探究创新】 (16 分)如图,点 A1、A2 是线段 AB 的三等分点, (1)求证: OA1 + OA 2 = OA + OB ;

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(2)一般地,如果点 A1,A2,?,An-1 是 AB 的 n(n≥3)等分点,请写出一个结论,使(1)为所写 结论的一个特例.并证明你写的结论.

答案解析 1.【解析】选 C.由图知:a=3e1+2e2,b=2e1+5e2, ∴a-b=e1-3e2. 【变式备选】在以下各命题中,假命题的个数为( ①|a|=|b|是 a=b 的必要不充分条件 ②任一非零向量的方向都是唯一的 ③“a∥b”是“a=b”的充分不必要条件 ④若|a|-|b|=|a|+|b|,则 b=0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选 A.∵a、b 方向不同? a≠b; ∴仅有|a|=|b| a=b; )

但反过来,有 a=b? |a|=|b|. 故命题①是正确的. 命题②正确. ∵a∥b a=b,而 a=b? a∥b,故③不正确.

∵|a|-|b|=|a|+|b|, ∴-|b|=|b|, ∴2|b|=0,∴|b|=0,即 b=0,故命题④正确. 综上所述,4 个命题中,只有③是错误的,故选 A. 2.【解题指南】零向量的方向是任意的,且零向量和任意向量共线,可以通过举反例判断错 误选项来得出答案. 【解析】选 D.方法一(筛 选法):零向量的方向是任意的且零向量和任意向量共线,故 A 错误; 两共线的向量可以均为非零向量,故 B 错误;当 a 为零向量,b 不是零向量时,λ 不存在,C 错误,故 选 D. 方法二(直接法):若 a,b 均为零向量, 则显然符合题意,且存在不全为零的实数λ 1,λ 2,

使得λ 1a+λ 2b=0;若 a≠0,则由两向量共线知,存在λ ≠0,使得 b=λ a,即λ a-b=0, 符合题意,故选 D. 【误区警示】考虑一般情况而忽视了特殊情况而致误,在解决很多问题时考虑问题必须要全 面,除了考虑一般情况外,还要注意特殊情况是否成立. 3.【解析】选 A. OC = OB + BC = OB +2 AC = OB +2( OC - OA ). ∴ OC =2 OA - OB . 4.【解析】选 C.因为| BC |=4,所以 | AB + AC |=| AB - AC |=| CB |=4,而| AB +

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??? ? ???? ? ???? ? AC |=2| AM |,故| AM |=2.
5.【解析】选 A. PA + PB + PC = AB ? PA + PC = AB - PB ? PA + PC = AP ? CP = 2 PA ? CP ∥ PA ? P 在 CA 上. 6.【解析】选 C.∵| AB - AC |=| CB |, ∴| AB -λ AC |≥| AB - AC |=| CB |, ∴BC⊥AC, 故△ABC 为直角三角形. 7.【解析】∵ BC = AC - AB =b-a. 又∵CD=2BD,

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? 1 ??? ? 1 ??? ∴ BD = BC = (b-a), 3 3
???? ??? ? ??? ? 1 2 1 ∴ AD = AB + BD =a+ (b-a)= a + b. 3 3 3
2 1 答案: a+ b 3 3

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 8.【解析】设 BC =b, BA =a,则 AF = b-a, AE =b- a, 2 2 ??? ? 2 4 AC =b-a,代入条件得λ =μ = ,∴λ +μ = .
3 3 4 答案: 3 【变式备选】如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同 的两点 M,N,若 AB = m AM , AC =n AN ,则 m+n 的值为

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.

【解题指南】可以由 M、N 的特殊位置求 m、n 的值. 【解析】由 MN 的任意性可用特殊位置法:当 MN 与 BC 重合时知 m=1,n=1,故 m+n=2. 答案:2

??? ? ??? ? 1 9.【解析】设 CO =k BC ,则 k∈(0, ), 3
∴ AO = AC + CO = AC +k BC = AC +k( AC - AB ) =(1+k) AC -k AB . 又 AO =m AB +(1-m) AC , ∴m=-k. 1 1 ∵k∈(0, ),∴m∈(- ,0). 3 3 1 答案:(- ,0) 3 10.【解析】设 BC 的中点为点 D,则 OB + OC =2 OD , ∴4 OA +2 OD =0,

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???? 1 ???? ∴ OA =- OD , 2
∴A、O、D 三点共线,且| AD |=3| AO |,

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? ???? ??? ? 3 ???? 3 ??? ∴| AD |= | OD |.作 AE⊥BC,OF⊥BC,垂足分别为 E、F,则| AE |= | OF |, 2 2
? ??? ? 1 ??? | BC || AE | S△ABC 2 3 ∴ = = . ??? ? ??? ? S△OBC 1 2 | BC || OF | 2
【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧

平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛:利用平行向量基本定理,可以证 明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度 关系, 并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、 向量是如何相互转化的.

???? ???? ??? ? 1 11.【解析】(1) MC = MB + BC = b+a, 2 ???? ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ? ??? 2 1 NC = NB + BC = DB + BC = (b-a)+a= a+ b.
3 3 3 3

???? 2 ???? ???? ???? (2)∵ NC = MC ,又 NC 与 MC 有公共点 C, 3
∴M,N,C 三点共线. 【探究创新】 【解题指南】(1)把向量 OA1 , OA 2 都用向量 OA , OB 表示;(2)解题思路同(1),答案不 唯一.

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????? 1 ??? ? 【解析】(1)∵ AA1 = AB , 3 ????? ???? ????? ???? 1 ??? ? ∴ OA1 = OA + AA1 = OA + AB 3
??? ? ???? ???? 1 ??? ? ???? OB ? 2OA = OA + ( OB - OA )= , 3 3
??? ? ???? ????? 2OB ? OA 同理 OA 2 = , 3 ??? ? ???? ??? ? ???? ????? ????? OB ? 2OA 2OB ? OA ???? ??? ? 则 OA1 + OA 2 = = OA + OB . 3 3
(2)一般结论为

????? ??????? ????? ??????? ? ???? ??? ? OA1 + OA n-1 = OA 2 + OA n-2 =?= OA + OB . ????? k ??? ? 证明:∵ AA k = AB , n ????? ???? ????? ???? k ??? ? ∴ OA k = OA + AA k = OA + AB , n
而 OA n-k = OA + AA n-k = OA +

??????? ?

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? n-k ??? AB n

???? ??? ? k ??? ? k ??? ? ??? ? = OA + AB - AB = OB - AB , n n

????? ??????? ? ???? k ??? ? k ??? ? ??? ? ∴ OA k + OA n-k = OA + AB + OB - AB n n
= OA + OB . 注:也可以将结论推广为

????

??? ?

????? ????? ??????? n-1 ???? ??? ? OA1 + OA 2 +?+ OA n-1 = ( OA + OB ),证明类似,证明略.
2


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