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江苏省连云港市2013届高三上学期期末考试数学试题(word版)(有答案)


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连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试

数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分, 考试时间为 120

分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定地方。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位 置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上. 1.集合 A={1,2,3},B={2,4,6},则 A ?
B

=

▲ ▲

. .

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足(1-i)z=2,则 z=

3.某单位有职工 52 人,现将所有职工按 l、2、3、?、52 随机编号,若采用系统抽样的方 法抽取一个容量为 4 的样本,已知 6 号、32 号、45 号职工在样本中,则样本中还有一 个职工的编号是 ▲ . 4.正项等比数列{an}中, a 3 a 11 =16,则 log 2 a 2 ? log 2 a 1 2 = ▲ . 5.在数字 1、2、3、4 四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的 概率是 ▲ . 6.右图是一个算法流程图,若输入 x 的值为-4,则输出 y 的值为 ▲ . 7.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别为 BC,DC 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个四面体,使 B,C,D 三点重合,则这个四 面体的体积为 ▲ . ? 8.如果函数 y=3sin(2x+?)(0<?<?)的图象关于点( ,0)中心对称, 3 则?= ▲ . 9.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2 = 4x 的准 (第 6 题图) 线交于 A、B 两点,AB = 3,则 C 的实轴长为 ▲ .
?2,x?[0,1] 10.已知函数 f(x)=? 则使 f[f(x)]=2 成立的实数 x 的集合为 ?x,x?[0,1].



.

11.二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2?r,二维测度(面积)S=?r2;三维空间中, 4 球的二维测度(表面积)S=4?r2,三维测度(体积)V= ?r3.应用合情推理,若四维空 3 间中,“超球”的三维测度 V=8?r3,则其四维测度 W=
2 2

▲ .

y B? B O D? D A A?
(第 13 题图)

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆(x?1) +(y?1) =4,C 为圆心, 点P
??? ??? ? ? 为圆上任意一点,则 O P ? C P

的最大值为 ▲ .

13.如图,点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB=2,

x

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若点 A 从( 3,0)移动到( 2,0),则 AB 中点 D 经过的路程 为 ▲ . ▲ . 14.关于 x 的不等式 x2?ax+2a<0 的解集为 A,若集合 A 中恰有两个整数,则实数 a 的取值 范围是 二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明, 计 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 ccosB+bcosC=3acosB. (1)求 cosB 的值; ? ? (2)若BA?BC=2,求 b 的最小值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1 上,且 AC1=4AF. (1)求证:平面 ADF⊥平面 BCC1B1; (2)求证:EF //平面 ABB1A1. A1 B1 C1

F C
(第 16 题图)

A B E

D

17.(本小题满分 14 分) 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在 2 万元至 10 万元(包括 2 万元和 10 万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的 医疗费用 y(万元)随医疗总费用 x(万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总 费用的 50%;③报销的医疗费用不得超过 8 万元. (1)请你分析该单位能否采用函数模型 y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型 y=x?2lnx+a(a 为常数)作为报销方案, 请你确定整数 a 的 值.(参考数据:ln2?0.69,ln10?2.3)
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18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左,右焦点分别为 F1, 2,且椭圆 C 过 F a b 4 b 点 P( , ),以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其 到直线 l 的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.
x
2

y

2

y A P F1 O
1

F2

x

(第 18 题图)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数
f (x) ? 1 3 x ? mx ? x ?
3 2

1 3

m

,其中 m ?R.

(1)求函数 y=f(x)的单调区间; (2)若对任意的 x1,x2?[?1,1],都有 | (3)求函数
f (x) f ?( x 1 ) ? f ?( x 2 ) |? 4

,求实数 m 的取值范围;

的零点个数.

20.(本小题满分 16 分)
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n(an-a1) 已知数列{an}中,a2=a(a 为非零常数),其前 n 项和 Sn 满足:Sn= (n?N*). 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a=2,且
1 4 a m ? S n ? 1 1 ,求
2

m、n 的值;
?b? p

(3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 a n

的最大项恰为

第 3p-2 项?若存在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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连云港市高三调研试题参考答案
一、填空题(每题 5 分)
1.{2}; 1 7. ; 3 2.1+i; ? 8. ; 3 3.19; 9.1; 4.4; 1 5. ; 2 6.2;

10.{x|0?x?1,或 x=2}; 14. [ ? 1, ?
1 3 )?( 25 3 ,9]

11.2?r4; 12.4+2 2;

? 13. ; 12

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15.解:(1)因为 ccosB+bcosC=3acosB, 由正弦定理,得 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB. ????????????5 分

1 又 sin(B+C)=sinA?0,所以 cosB= . ???????????7 分 3 ? ? (2)由BA?BC=2,得 accosB=2,所以 ac=6. ?????????9 分 2 由余弦定理,得 b2=a2+c2?2accosB?2ac? ac=8,当且仅当 a=c 时取等号, 3 故 b 的最小值为 2 2. ????????????14 分

16.证明:(1) 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 CC1?平面 ABC, 而 AD?平面 ABC, 所以 CC1?AD. ??????2 分 又 AB=AC,D 为 BC 中点,所以 AD?BC, 因为 BC?CC1=C,BC?平面 BCC1B1,CC1?平面 BCC1B1, 所以 AD?平面 BCC1B1, 因为 AD?平面 ADF, 所以平面 ADF⊥平面 BCC1B1. ???????7 分 ??????5 分

A1 B1

C1

G A

F C B E D

(2) 连结 CF 延长交 AA1 于点 G,连结 GB. 因为 AC1=4AF,AA1//CC1,所以 CF=3FG, 又因为 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,所以 CE=3EB, 所以 EF//GB, ?????????11 分

而 EF?平面 ABBA1,GB ?平面 ABBA1, 所以 EF //平面 ABBA1. ????????14 分

17.【解】(1)函数 y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①, ?????2 分 当 x=10 时,y 有最大值 7.4 万元,小于 8 万元,满足条件③. ?????????4 分 29 3 x 但当 x=3 时,y= < ,即 y? 不恒成立,不满足条件②, 20 2 2 故该函数模型不符合该单位报销方案. ?????????6 分 2 x-2 (2)对于函数模型 y=x?2lnx+a,设 f(x)= x?2lnx+a,则 f ? (x)=1? = ?0. x x 所以 f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①, x x 由条件②,得 x?2lnx+a? ,即 a?2lnx? 在 x?[2,10]上恒成立, 2 2 x 2 1 4-x 令 g(x)=2lnx? ,则 g?(x)= - = ,由 g?(x)>0 得 x<4, 2 x 2 2x
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?g(x)在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数. ?a?g(4)=2ln4?2=4ln2?2. ??????10 分 由条件③,得 f(10)=10?2ln10+a?8,解得 a?2ln10?2. ????????12 分 另一方面,由 x?2lnx+a?x,得 a?2lnx 在 x?[2,10]上恒成立, ?a?2ln2, 综上所述,a 的取值范围为[4ln2?2,2ln2], 所以满足条件的整数 a 的值为 1. ?????14 分 4 b 16 1 18.解:(1)因为椭圆过点 P( , ),所以 2+ =1,解得 a2=2, ??????2 分 3 3 9a 9 b b 3 又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.所以 AF2?F2P,即? ? =?1, b2=c(4?3c).??6 分 c4 ?c 3 而 b2=a2?c2=2?c2,所以 c2?2c+1=0,解得 c2=1, x2 故椭圆 C 的方程是 +y2=1. ?????????8 分 2 (2)①当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有只有一个公共点,所以 △=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0, 即 1+2k2=p2. ?????????????10 分

设在 x 轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线 l 的距离之积为 1,则 |ks+p| |kt+p| |k2st+kp(s+t)+p2| ? 2 = =1, k2+1 k2+1 k +1 即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
?st+1=0, ?s=1 ?s=?1 由(*)恒成立,得? 解得? ,或? , t=?1 ?t=1 ? ?s+t=0.

??????????14 分

而(**)不恒成立. ②当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=? 2时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线 l 的距离之积 d1? d2=( 2-1)( 2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1. 19.解:(1) f ? (x)=x2-2mx-1, 由f? (x)?0,得 x?m- m2+1,或 x? m+ m2+1; 故函数
f (x)

???16 分

的单调增区间为(-∞,m- m2+1),(m+ m2+1,+∞), ???????????4分

减区间(m- m2+1, m+ m2+1).

(2) “对任意的 x1,x2?[?1,1],都有|f?(x1)?f?(x2)|?4”等价于“函数 y=f ? (x),x?[?1,1]的最大

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值与最小值的差小于等于 4”. 对于 f ? (x)=x2-2mx-1,对称轴 x=m. ①当 m<?1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (1),最小值为 f ? (?1),由 f ? (1)?f ? (?1)?4,即?4m?4,解得 m?1,舍去; ???????????6 分

?f ? (1)?f ? (m)?4 ②当?1?m?1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (1)或 f ? (?1),最小值为 f ? (m),由 ? ,即 f? (?1)?f ? (m)?4 ? ?m ?2m?3?0 ? 2 ,解得?1?m?1; ?m +2m?3?0
2

????????????8 分

③当 m>1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (?1),最小值为 f ? (1),由 f ? (?1)?f ? (1)?4,即 4m?4,解得 m?1, 舍去; 综上,实数 m 的取值范围是[?1,1]. (3)由 f ? (x)=0,得 x2-2mx-1=0, 因为△=4m2+4>0,所以 y=f(x)既有极大值也有极小值. 设 f ? 0)=0,即 x02-2mx0-1=0, (x 1 1 1 2 1 2 则 f (x0)= x03-mx02-x0+ m=- mx02- x0+ m=- x0(m2+1) ??????12 分 3 3 3 3 3 3 2 所以极大值 f(m- m2+1)=- (m- m2+1)(m2+1)>0, 3 2 极小值 f(m+ m2+1)=- (m+ m2+1)(m2+1)<0, 3 故函数 f(x)有三个零点. ??????????16 分 ??????????10 分

1?(a1-a1) nan 20. (1)证明:由已知,得 a1=S1= =0,?Sn= , 2 2 (n+1)an+1 则有 Sn+1= , 2

?????????2 分

?2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,即(n-1)an+1=nan n?N*, ?nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得,2an+1=an+2+an n?N*, ???????????4 分 即 an+1-an+1=an+1-an n?N*, 故数列{an}是等差数列.
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又 a1=0,a2=a,?an=(n-1)a. (2)若 a=2,则 an=2(n-1),?Sn=n(n?1). 由
1 4 a m ? S n ? 1 1 ,得
2

????????????6 分

n2?n+11=(m?1)2,即 4(m?1)2-(2n?1)2=43,

?(2m+2n?3)(2m-2n?1)=43. ????????????8 分 ∵43 是质数, 2m+2n?3>2m-2n?1, 2m+2n?3>0, ?2m-2n-1=1 ?? ,解得 m=12,n=11. ????????????10 分 ?2m+2n-3=43 (III)由 an+b?p,得 a(n-1)+b?p. p-b 若 a<0,则 n? +1,不合题意,舍去; a p-b 若 a>0,则 n? +1. a ∵不等式 an+b?p 成立的最大正整数解为 3p-2, p-b ?3p-2? +1<3p-1, ????????????13 分 a 即 2a-b<(3a-1)p?3a-b,对任意正整数 p 都成立. 1 ?3a-1=0,解得 a= , ????????????15 分 3 2 2 此时, -b<0?1-b,解得 <b?1. 3 3 1 2 故存在实数 a、b 满足条件, a 与 b 的取值范围是 a= , <b?1. ???16 分 3 3

???????????11 分

数学附加题部分
21.A.证明:设 F 为 AD 延长线上一点, ∵A、B、C、D 四点共圆, ∴?ABC=?CDF, ????3 分 ????????5 分 ???????7 分

又 AB=AC, ∴?ABC=?ACB, 且?ADB=?ACB, ∴?ADB=?CDF,

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对顶角?EDF=?ADB, 故?EDF=?CDF, 即 AD 的延长线平分?CDF. 21.B. 解:∵ ?
? a 1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ,∴a=1,b=2. ?b 0? ?0? ?2 ? ?1 ?2 1? ? 0?
? 2 ? ?. 1? ? 2? ? 1

????????? 10 分

???????5 分

?M= ?

? 0 ? ∴M?1= ? ?1 ? ?

?????????10 分

21.C. 解:曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0, 即(x-2)2+y2=4. ????????3分 ????????5分 ??????7分 ?????10分

直线l的普通方程方程为y=x-m, 则圆心到直线l的距离d= 4-(

14 2 2 )= , 2 2

|2-0-m| 2 所以 = ,即|m-2|=1,解得m=1,或m=3. 2 2 21.D.

x y z 解:∵(x+2y+2z)2?(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,当且仅当 = = 时取等号, ?????5 分 1 2 2 ?|a-1|?3,解得 a?4,或 a?-2. ???????10 分 22.一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1,1,1,2,2,3,现从袋中一次 随机抽取 3 个球. (1) (2) 若有放回的抽取 3 次,求恰有 2 次抽到编号为 3 的小球的概率; 记球的最大编号为 X,求随机变量 X 的分布列与数学期望.

22. 解:(1)一次从袋中随机抽取 3 个球,抽到编号为 3 的小球的概率 p ? 所以,3 次抽取中,恰有 2 次抽到 3 号球的概率为
1 2 1 3 2 2 C 3 p (1 ? p ) ? 3 ? ( ) ( ) ? . 2 2 8

C5

2 3

?

1 2

.

C6

?????4 分

(2)随机变量 X 所有可能的取值为 1,2,3.

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P ( X ? 1) ?

C3 C6

3 3

?

1 20
2



P ( X ? 2) ?

C 2C 3 ? C 2 C 3
1 2

1

C6 C5
2 3

3

?

9 20



P ( X ? 3) ?

?

10 20



???????????8 分

C6

所以,随机变量X的分布列为: X P 故随机变量X的数学期望E(X)= 1 ?
1 20

1
1 20
?2? 9 20

2
9 20
? 3? 1 2 ?

3
1 2
49 20

.

???????10 分

23.以 O 点为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OS 为 z 轴建立空间直角坐标系.由题意知 ∠SBO=45° ,SO=3. ∴O(0,0,0),C(0, 3 ,0),A(0,? 3 ,0),S(0,0,3),B(3,0,0). (1)设 B D =? B S (0???1),则 B D =(1??) O B +? O S =(3(1??),0,3?),
??? ? 所以 C D =(3(1??),? 3 ,3?). ??? ??? ? ? ??? ? 2 因为 A B =(3, 3 ,0),CD?AB,所以 C D ? A B =9(1??)?3=0,解得?= . 3
????

??? ?

????

??? ?

??? ?

z S

D O A B x C y



SD 1 = 时, CD?AB . ????5 分 DB 2

(2)平面 ACB 的法向量为 n1=(0,0,1),设平面 SBC 的法向量 n2=(x,y,z),
?3x?3z=0 ?x=z 则? ,解得? ,取 n2=(1, ?y= 3z ? 3y?3z=0
3

,1), ????????????8 分 ,

所以 cos<n1,n2>=

? 1 5 1 ? 1 ? ( 3) ? 1
2 2 2

3 ? 0 ? 1? 0 ? 1?1

又显然所求二面角的平面角为锐角, 故所求二面角的余弦值的大小为
5 5

.

????????????10 分

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