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高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题


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高二数学选修 4-4《极坐标与参数方程》测试题
(时间:120 分钟,总分:150 分) 姓名: 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标为( A. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 )。 D. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 )。 学号:

C. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

2.已知点 P 的极坐标是(1, ? ),则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A. ? ? 1 B. ? ? cos? C. ? ? ? )。

1 cos ?

D. ? ?

1 cos ?

3.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
2 ? A. ? x ? t 2 ? y ? 2t ? 1

? x ? 2t ? 1 B. ? ? y ? 4t ? 1

? x ? t ?1 C. ? ? y ? 2t ? 1
)。

x ? sin ? D. ? ? ? y ? 2 sin ? ? 1

1 ? 4.方程 ? x ? t ? 表示的曲线是( ? t ? y?2 ?

A.一条直线 5.参数方程 ?

B.两条射线

C.一条线段

D.抛物线的一部分 )。

? x ? 2 ? sin 2 ? ( ? 为参数)化为普通方程是( y ? ?1 ? cos 2? ?
B.

A. 2 x ? y ? 4 ? 0

2 x ? y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0

x ? [2,3] D. 2 x ? y ? 4 ? 0

x ? [2,3]
6.设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标 为( ) A.( 3 2 ,

3 ?) 4

B. ( ? 3 2 ,

5 ?) 4

C. (3,

5 ?) 4

D. (-3, )。

3 ?) 4

7.直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则 k 的取值范围是( A. k ? ?

3 4

B. k ? ?

3 4

C. k ? R

D. k ? R 但 k ? 0 )。

8.在极坐标系中,曲线 ? ? 4 sin(? ? A.直线 ? ?

?
3

) 关于(

?
3

对称

B.直线 ? ?

5? ? 对称 C.点(2, )中心对称 D.极点中心对称 6 3

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9.若圆的方程为 ? A.过圆心

? x ? ?1 ? 2 cos? ? x ? 2t ? 1 , 直线的方程为 ? ,则直线与圆的位置关系是 ( ? y ? 3 ? 2 sin ? ? y ? 6t ? 1
B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离

) 。

1 ? x? ? t 10.参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线是( 1 2 ?y ? t ?1 t ?
y y y

)。

y

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.在同一平面直角坐标系中,直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 的伸缩变换是 。

12.在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则 |AB|= 。

t ? ? x ? 2? 2 13.设直线参数方程为 ? ( t 为参数),则它的斜截式方程为 ? 3 ?y ? 3 ? t ? 2 ?
? x ? cos? ( ? 为参数) 14.曲线 C: 的普通方程为 ? ? y ? ?1 ? sin ?
有公共点,那么实数 a 的取值范围为 三.解答题(共 80 分) 15. 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:(12 分) ⑴? 。



; 如果曲线 C 与直线 x ? y ? a ? 0

? x ? 5 cos? ( ? 为参数); y ? 4 sin ? ?

⑵?

? x ? 1 ? 3t ( t 为参数) ? y ? 4t

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16. 已知三点 A(5,

? 11 7 ),B(-8, ? ),C(3, ? ),求证Δ ABC 为正三角形。(12 分) 2 6 6

2 2 17. 已知 x、y 满足 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,求 S ? 3x ? y 的最值。(14 分)

18. 如图,连结原点 O 和抛物线 y ? 2x 上的动点 M,延长 OM 到点 P,使|OM|=|MP|,求 P 点的
2

轨迹方程,并说明曲线类型。(14 分) y P M
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19. 如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p >0)的顶点作两条互相垂直的弦 OA、OB。 ⑴设 OA 的斜率为 k,试用 k 表示点 A、B 的坐标; ⑵求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。(14 分) A 0 M x y

B

20. 在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心,它以每小时 40 千米的速度向东北方向移动, 距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后,气象台 A 所在 地将遭受台风影响?持续多长时间?(14 分) (注: 7 ? 2.65, 2 ? 1.41)

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极坐标与参数方程测试题答案
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 B 9 B 10 D

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11 . ?

? x? ? x ; 12 . 2 3 ; ? y? ? 4 y

13 . y ? 3x ? 3 ? 2 3 ; 14 . x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ;

1? 2 ? a ? 1? 2 。
三.解答题(共 80 分)

? x ? 5 cos? 15.12 分) ⑴. ? ( 解: ∵ ? y ? 4 sin ?

2 2 ?x ? 5 ? cos? 两边平方相加, x ? y ? cos2 ? ? sin 2 ? ∴ 得 ?y 25 16 ? ? sin ? ?4



x2 y2 ? ? 1 ∴曲线是长轴在 x 轴,中心在原点的椭圆。 25 16
y y ? x ? 1 ? 3t ∴由 t ? 代入 x ? 1? 3t ,得 x ? 1 ? 3 ? ∴ 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ∴它表示一条 4 4 ? y ? 4t

⑵.∵ ? 直线。

16. (12 分)证法一:如图,由题意,得 |OA|=5 |OB|=8 |OC|=3 A B

5 ? ? ?BOA ? ?xOB ? ?xOA ? ? ? ? 6 2 3

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C

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0

x

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7 ? 2 ?COA ? ? ? ? ? 6 2 3 7 5 1 ?BOC ? ? ? ? ? ? 6 6 3
∴ 在 Δ AOB 中 , 由 余 弦
1 ?7 2









| AB |? | OB | 2 ? | OA | 2 ?2 | OB | ? | OA | cos

?
3

? 82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ?

同理,得 | BC |? | OB | 2 ? | OC | 2 ?2 | OC | ? | OB | cos

?
3

? 8 2 ? 32 ? 2 ? 8 ? 3 ?

1 ?7 2

| AC |? | OA | 2 ? | OC | 2 ?2 | OC | ? | OA | cos
即 |AB|=|BC|=|AC|

2? 1 ? 5 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? 7 3 2

∴Δ ABC 为正三角形。

证法二:把 A、B、C 的极坐标转化成直角坐标,利用两点间的距离公式也可。 17.(14 分)解:由 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 可知曲线表示以(1,-2)为圆心,半径等于 2 的圆。
2 2

令 x ? 1 ? 2 cos ?

y ? ?2 ? 2 s i n ,则 ?

S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2 cos? ) ? (?2 ? 2 sin ? ) ? 5 ? 6 cos? ? 2 sin ? ? 5 ? 2 10 sin(? ? ? )
其中 tan ? ?

6 ? ?3 ∴当 sin(? ? ? ) ? 1 时,S 有最大值,为 S max ? 5 ? 2 10 ?2

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,S 有最小值,为 S min ? 5 ? 2 10 ∴S 最大值为 S max ? 5 ? 2 10 ;S 最小值为 S min ? 5 ? 2 10 。 18.(14 分)解法一:∵抛物线标准方程为 x ?
2

1 y 2

y P M 0

1 ? ? x ? 2t ∴它的参数方程为 ? 1 ?y ? t 2 2 ?

得 M(

1 1 t , t2 ) 2 2
0? x

x

设P (x, , M 是 OP 的中点∴ ? 2 t ? 2 y) 则 ?

?1



1 0? y ? t2 ? 2 ?2

? x?t 2 (t 为参数) 消去参数 t, y ? x 得 ? y ? t2 ?

1 )的抛物线。 4 x y y0 ? 解法二:设 P(x,y),M(x0,y0),则由中点坐标公式,得 x 0 ? 2 2
∴所求 P 点的轨迹方程为 y ? x ;它是以 y 轴为对称轴,焦点为(0,
2

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∵M 点在抛物线上∴M(

x y , )适合方程 y ? 2x 2 2 2



y x ? 2 ? ( )2 2 2
y



y ? x2 。

19.(14 分)解:⑴.∵OA 的方程为 y ? kx

∴联立方程 ?

? y ? kx 2p 解得 x A ? 2 2 k ? y ? 2 px

yA ?

2p k
0

A M x

1 ? 1 ?y ? ? x 以 ? 代上式中的 k ,解方程组 ? k k ? y 2 ? 2 px ?
解得 x B ? 2 pk 2

B

y B ? ?2 pk ∴A(

2p 2p , ),B( 2 pk 2 , ? 2 pk )。 k k2
1 1 ? y ? p( ? k ) k ?

? 2 ⑵.设 AB 中点 M(x,y),则由中点坐标公式,得 ? x ? p( k 2 ? k ) ?

消去参数 k,得 y ? px ? 2 p
2

2

;即为 M 点轨迹的普通方程。

20.(14 分)解:如图,以气象台为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向, 建立直角坐标系, 则现在台风中心 B1 的坐标为 (-300, 0)根据题意, 。 可知, 小时后, 的坐标为 ? 300 ? 40t cos 45? , t B (

y B2 B1 0 A x

40t sin 45 ? ),即( ? 300? 20 2t , 20 2t ),因为以台风
中心为圆心,以 250 千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风 影响,所以 B 在圆上或圆内时,气象台将受台风影响。 所以令 | AB |? 250,即 (?300? 20 2t ) 2 ? (20 2t ) 2 ? 2502 整理得 16t ? 120 2t ? 275 ? 0 解得
2

15 2 ? 5 7 15 2 ? 5 7 , 1.99 ? t ? 8.61 ?t ? 4 4

故大约 2 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响,大约持续 6 个半小时。

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