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8.2 抛物线


§8.2 抛



线

知识诠释

思维发散

一、抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(定点 F 不在定直线 l 上)的距离 做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的 . 的轨迹叫

在抛物线的定义中,定点 F 不能在定直线 l 上,若定点 F 在定直线 l 上,则可得动点的轨迹 为 . 二、抛物线的标准方程及简单几何性质
标准方 程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) p 的几何意义: x2=-2py (p>0)

图形

开口方 向 焦点 准线方 程 范围 对称性 顶点

向右

向左

向上

向下

关于

对称

关于

对称

说明 :(1) 抛物线的标准方程有四种类型 , 抛物线焦点所在直线为抛物线方程的 项,抛物线方程的 决定着抛物线的开口方向 ;抛物线的对称轴叫做抛物线的 . ,抛

物线和它的轴的交点叫做抛物线的

(2)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线. (3)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心. (4)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线. (5)抛物线的离心率是确定的,且为 1. 三、直线与抛物线的位置关系 设抛物线方程 x2=2py,直线 Ax+By+C=0, 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y 得到关于 x 的方程 mx2+nx+p=0, (1)若 m≠0,当Δ >0 时,直线与抛物线有 当Δ =0 时,直线与抛物线 当Δ <0 时,直线与抛物线 (2)若 m=0,则直线与抛物线 公共点; 公共点. ,此时直线与抛物线的对称轴 . 交点;

1.平面上到定点 A(1,1)和到定直线 l:x+y=2 的距离相等的点的轨迹为 (A)直线. (B)抛物线. (C)椭圆. (D)不存在.

(

)

2.抛物线 y=4x2 的焦点坐标是 (A)(0,1). (B)(1,0). (C)(0, ). (D)( ,0).

(

)

3.等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px(p>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB 的面 积是 .

核心突围

技能聚合

题型 1

抛物线的定义及应用 例1 (1)抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 到 x 轴的距离是( (B) . (C) . (D)1. )

(A) .

(2)已知 P 为抛物线 y= x2 上的任意一点,F 为抛物线的焦点,点 A 坐标为(1,1),则|PF|+|PA| ( (B) +1. (C)2. (D) )

的最小值为 (A) .

-1.

变式训练 1 (1)过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作抛物线的弦 AB,若 AB 中点的横坐标为 3,则 弦 AB 的长为 .

(2)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是( ,4),则 ( )

|PA|+|PM|的最小值是 (A) .(B)4. (C) . (D)5.

题型 2 求抛物线的标准方程 例 2 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4 且位于 x 轴 上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标.

变式训练 2 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴正半轴上,设 A、B 是抛物 线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过点 Q(6,0), 求此抛物线的方程.

题型 3 抛物线的几何性质及应用 例3 (1)求抛物线 y=-x2 上到直线 4x+3y-8=0 距离最小的点的坐标.

(2)如图所示,AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的一条弦(焦点弦).

求证:以 AB 为直径的圆与抛物线准线 l 相切.

变式训练 3 定长为 5 的线段 AB 的两个端点在抛物线 x2=4y 上移动,试求线段 AB 的中 点 M 到 x 轴的最短距离.

题型 4 直线与抛物线的位置关系 例 4 已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为 F(2,0),点 P 的坐标为(m,0)(m≠0),设 过点 P 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,点 P 关于原点的对称点为点 Q. (1)当直线 l 的斜率为 1 时,求△QAB 的面积关于 m 的函数表达式. (2)试问在 x 轴上是否存在一定点 T,使得 TA,TB 与 x 轴所成的锐角相等?若存在,求出定点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

变式训练 4 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(4,0). (1)若点 F 到直线 l 的距离为 ,求直线 l 的斜率;

(2)设 A,B 为抛物线上两点,且 AB 不与 x 轴垂直,若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M,求证: 线段 AB 中点的横坐标为定值.

1.抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握: (1)抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点 F 和一条直线 l(定点 F 不在定直线 l 上)的距离的比等于 1 的点的轨迹叫做抛物线”.

(2)抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点 M,一个定点 F(抛物线的焦点), 一条定直线 l(抛物线的准线),一个定值 1(点 M 与定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等 于 1). (3)抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性,故二者可相 互转化,这一转化在解题中有重要作用. 2.抛物线标准方程的求法: 一般常用定义法与待定系数法.抛物线的标准方程有四种类型,所以判断类型是解题的关 键.在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只需一个条件就可以确定 抛物线的方程. 除此之外 , 也可以利用统一方程法 , 焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可统一写成 y2=mx(m≠0),焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可统一写成 x2=ny(n≠0).

3.焦点弦问题 如图所示,AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的一条弦(焦点弦),设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),过 A、M、B 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 C、E、D,则根据抛物 线的定义有|AF|=|AC|、 |BF|=|BD|,故|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|,又|ME|是梯形 ABDC 的中位 线,|AB|=|AC|+|BD|=2|ME|,故有下列结论:

①以 AB 为直径的圆必与抛物线的准线相切;
以 CD 为直径的圆切 AB 于 F; ∠AEB=90°;∠CFD=90°等;

②|AB|=x1+x2+p;

③若直线 AB 的倾斜角为α ,则|AB|=

,S△AOB=

;

④A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1x2= ,y1y2=-p2;



+

= 为定值.



(12 分 ) 已知抛物线顶点在原点 , 焦点在坐标轴上 , 又知此抛物线上的一点

A(m,-3)到焦点 F 的距离为 5,求 m 的值,并写出此抛物线的方程. 【学生解答】设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0), 则准线 y= .∴ -(-3)=5,解得 p=4.

∴抛物线的方程为 x2=-8y.
A(m,-3)在抛物线上,∴m2=-8×(-3)=24,

∴m=±2

.

【正确解答】①若抛物线开口方向向下,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),这时准线方程为 y= ,由抛物线定义知 -(-3)=5,解得 p=4,∴抛物线方程为 x2=-8y, 这时将点 A(m,-3)代入方程,得 m=±2 . [4 分] [5 分]

②若抛物线开口方向向左或向右,可设抛物线方程为 y2=2ax(a≠0),从 p=|a|知准线方程可
统一成 x=- 的形式,于是从题设有 解此方程组可得四组解: [8 分]

∴y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ;y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .

[11 分]

综上所述,y2=2x,m= ;

y2=-2x,m=- ;y2=18x,m= ;

y2=-18x,m=- ;x2=-8y,m=±2

.

[12 分]

【点评】(1)本题考查的是抛物线的方程. 抛物线的标准方程有四种,在求解过程中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形 式,若只能判断对称轴,而不能判断开口方向,可设为 x2=ay(a≠0)或 y2=ax(a≠0),然后利用待定 系数法和已知条件求解. (2)有关抛物线标准方程的问题,在审题时一般是一看轴,二看开口方向.平时要注意审题 的规范性. (3)本题错误的原因就在于审题不规范,导致漏解.

基础·角度·思路

“课时训练”见《精练案》P291

§8.2 抛 物 线
知识梳理 一、相等的点 准线 过点 F 且垂直于 l 的直线 二、焦点 F 到准线 l 的距离 ( ,0) (- ,0) (0, ) (0,- ) x=原点 O (1)一次 系数符号 轴 顶点 三、(1)两个 只有一个 无 (2)只有一个公共点 平行 x= y=y= x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R x 轴 y 轴

基础自测 1.A 2.C 3.4p2 典例剖析 例 1 ( 1) B ( 2) C 变式训练 1 (1)10 (2)C

例 2 (1)y2=4x (2)N( , )

变式训练 2 y2=8x

例 3 (1)( ,- ) (2)略

变式训练 3

例 4 (1)S=4

·

,m>-2 且 m≠0 (2)存在,T 的坐标为(-m,0)

变式训练 4 (1)±

( 2) 略



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