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等差数列及其前n项和1


差数列及其前 n 项和
一、等差数列的有关概念 1.定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列.符号表示为 an+1-an=d(n∈N*,d 为常数). 2.等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 A= 差中项. 二、等差数列的有关公式 1.通项公式:an=a1+(n-1)d.,an=am+(n-m

)d. 2.前 n 项和公式:Sn=na1+ 三、等差数列的性质 1.若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,{an}为等差数列,则 am+an=ap+aq. 2.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍为等差数列,公差为 kd. 3.若{an}为等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列,公差为 n2d. 4.等差数列{an}的首项是 a1,公差为 d.若其前 n 项之和可以写成 Sn=An2+Bn,则 A= , 2

a+ b
2

,其中 A 叫做 a,b 的等

n? n-1?
2

d=

?

a1+an? n
2

.

d

d B=a1- ,当 d≠0 时它表示二次函数,数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn 是{an}成等差
2 数列的充要条件. 5.若等差数列项数为 2n(n∈N*),则 S2n=n(an+an+1)(an,an+1 为中间两项)且 S =nd,
偶-S 奇

S偶 an+1 S奇


an

.

6.若项数为 2n-1,则 S2n-1=

S偶 an(an 为中间项)且 S 奇-S 偶=an, = S奇
值, 这时既可由二次函数

. 确

7.在等差数列中: 若 a1>0, d <0 , 则 Sn 必有最
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定 n, 也可用不等式组?

?an ?an+1

0

来确定 n.若 a1<0, d>0, 则 Sn 必有最 0

值,

这时既可由二次函数

确定 n,也可用不等式组?

?an ?an+1

0

来确定 n. 0

练习:
1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

?2a1+4d=10, ?a1=1, ? ? 解析:选 B 法一:由题意得? 解得? 故 d=2. ? ? ?a1+3d=7. ?d=2.

法二:∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10,又 a4=7,∴公差 d=7-5=2. 2.等差数列{an}中,a2+a6= A. 3 2 1 B. 2 π? 3π ,则 sin? ?2a4-3?=( 2 C.- 3 2 ) 1 D.- 2

π? 3π 3π π 1 ?3π π? 解析:选 D ∵a2+a6= ,∴2a4= . ∴sin? ?2a4-3?=sin? 2 -3?=-cos3=-2. 2 2 3.(2012· 辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 解析:选 B B.88 C.143 D.176 )

11?a1+a11? 11?a4+a8? S11= = =88. 2 2

4.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项 an=________. 解析:由 an+1=an+2 知{an}为等差数列其公差为 2. 故 an=1+(n-1)×2=2n-1. 答案:2n-1 1 5. (2012· 北京高考)已知{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和, 若 a1= , S =a , 则 a2=________, 2 2 3 Sn=________. 解析:设{an}的公差为 d,由 S2=a3 知,a1+a2=a3,即 2a1+d=a1+2d, 1 1 又 a1= ,所以 d= ,故 a2=a1+d=1, 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn=na1+ n(n-1)d= n+ (n2-n)× = n2+ n. 2 2 2 2 4 4 1.与前 n 项和有关的三类问题 (1)知三求二:已知 a1、d、n、an、Sn 中的任三个,即可求其余两个,这体现了方程思想. (2)Sn= n2+?a1- ?n=An2+Bn?d=2A. 2? 2 ?
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答案:1

1 2 1 n+ n 4 4

d

?

d?

(3)利用二次函数的图象确定 Sn 的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵 坐标不一定是最小值. 2.设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题, 要善于设元, 若奇数个数成等差数列且和 为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…; 若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…, 其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 题型一:等差数列的判断与证明 [例 1] 在数列{an}中,a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; an+3 (2)设 bn= n (n∈N*),证明:{bn}是等差数列. 2

[解] (1)∵a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*), ∴a2=2a1+22+3=1,a3=2a2+23+3=13. (2)证明:对于任意 n∈N*, an+1+3 an+3 1 1 + ∵bn+1-bn= n+1 - n = n+1[(an+1-2an)-3]= n+1[(2n 1+3)-3]=1, 2 2 2 2 a1+3 -3+3 ∴数列{bn}是首项为 = =0,公差为 1 的等差数列. 2 2 方法总结: 1.证明{an}为等差数列的方法: (1)用定义证明:an-an-1=d(d 为常数,n≥2)?{an}为等差数列; (2)用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列; (3)通项法:an 为 n 的一次函数?{an}为等差数列; (4)前 n 项和法:Sn=An2+Bn 或 Sn=

n? a1+an?
2

.

2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子 an+1-an=d 和 an-an-1=d,但它们的意 义不同,后者必须加上“n≥2”,否则 n=1 时,a0 无定义. :练习 1:1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且 a1=-2,a2=2,S3=6. (1)求 Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列.

解:(1)设 Sn=An2+Bn+C(A≠0),
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-2=A+B+C, ? ? 则?0=4A+2B+C, 解得 A=2,B=-4,C=0.故 Sn=2n2-4n. ? ?6=9A+3B+C, (2)证明:∵当 n=1 时,a1=S1=-2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6. ∴an=4n-6(n∈N*).an+1-an=4, 题型二:等差数列的基本运算 [例 2] (2012· 重庆高考)已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值. [解] (1)设数列{an}的公差为 d,由题意知
? ? ?2a1+2d=8, ?a1=2, ? 解得? 所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. ?2a1+4d=12, ? ? ?d=2.

∴数列{an}是等差数列.

n?a1+an? n?2+2n? (2)由(1)可得 Sn= = =n(n+1). 2 2
2 因为 a1,ak,Sk+2 成等比数列,所以 a2 k =a1Sk+2.从而(2k) =2(k+2)(k+3),

即 k2-5k-6=0,解得 k=6 或 k=-1(舍去),因此 k=6. 方法总结: 1.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 及前 n 项和公式 Sn=

n? a1+an?
2

=na1+

n? n-1?
2

d,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方

程的思想. 2. 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用, 而 a1 和 d 是等差数列的 两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 练习 2.(1)在等差数列中,已知 a6=10,S5=5,则 S8=________. S4 S3 (2)(2012· 江西联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 - =1,则公差为________. 12 9 解析:(1)∵a6=10,S5=5,
? ? ?a1+5d=10, ?a1=-5, ∴? 解方程组得? 则 S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44. ?5a1+10d=5. ?d=3. ? ?

4×3 3×2 4a1+6d 3a1+3d (2)依题意得 S4=4a1+ d=4a1+6d, S3=3a1+ d=3a1+3d, 于是有 - 2 2 12 9

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=1,由此解得 d=6,即公差为 6. 答案:(1)44 (2)6

题型三:等差数列的性质 [例 3] (1)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项和 S9 等于( A.66 B.99 C.144 D.297 )

(2)(2012· 天津模拟)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn,若 S4=8,S8=20,则 a11+a12+a13+ a14=( A.18 ) B.17 C.16 D.15

[解] (1)由等差数列的性质及 a1+a4+a7=39,可得 3a4=39,所以 a4=13.同理,由 a3 +a6+a9=27,可得 a6=9. 9?a1+a9? 9?a4+a6? 所以 S9= = =99. 2 2

(2)设{an}的公差为 d,则 a5+a6+a7+a8=S8-S4=12,(a5+a6+a7+a8)-S4=16d,解 1 得 d= ,a11+a12+a13+a14=S4+40d=18. 4 [答案] (1)B 方法总结: 1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与 变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. 2.应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系. 练习 3.(1)(2012· 江西高考)设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________. (2)(2012· 海淀期末)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 数值最大时,n 的值为( A.6 B.7 ) C.8 D.9 (2)A

解析:(1)设两等差数列组成的和数列为{cn},由题意知新数列仍为等差数列且 c1=7,c3 =21,则 c5=2c3-c1=2×21-7=35. (2)∵an+1-an=-3,∴数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差的等差数列,
? ?ak≥0, ∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前 k 项和最大,则有? ?ak+1≤0, ? ? ?22-3k≥0, 19 22 即? 解得 ≤k≤ .∵k∈N*,∴k=7.故满足条件的 n 的值为 7. 3 3 ?22-3?k+1?≤0, ?

答案:(1)35 综合应用:

(2)B

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3 1 1 例 1. 已知数列{an}中, a1= , a =2- (n≥2, n∈N*), 数列{bn}满足 bn= (n∈N*). 5 n an-1 an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. 解:(1)证明:∵an=2- 1 (n≥2,n∈N*),bn= . an-1 an-1 an-1 1 1 1 - = - =1. 1 ? an-1-1 an-1-1 an-1-1 2- - 1 a
n-1

1

1 1 ∴n≥2 时,bn-bn-1= - = an-1 an-1-1 ?

?

?

1 5 5 又 b1= =- .∴数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2 2 a1-1 7 1 2 (2)由(1)知,bn=n- ,则 an=1+ =1+ , 2 bn 2n-7 设函数 f(x)=1+ 7? ?7 2 ? ,易知 f(x)在区间? ?-∞,2?和?2,+∞?内为减函数. 2x-7

故当 n=3 时,an 取得最小值-1;当 n=4 时,an 取得最大值 3. 例 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a2+a4=14,S7=70. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+48 (2)设 bn= ,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值. n
? ?2a1+4d=14, 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则有? ?7a1+21d=70, ? ?a1+2d=7, ?a1=1, ? ? 即? 解得? 所以 an=3n-2. ?a1+3d=10, ?d=3. ? ?

3n2-n n (2)因为 Sn= [1+(3n-2)]= , 2 2 3n2-n+48 48 所以 bn= =3n+ -1≥2 n n 48 3n· -1=23, n

48 当且仅当 3n= ,即 n=4 时取等号,故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. n

综合练习
1. (2011· 江西高考){an}为等差数列, 公差 d=-2, Sn 为其前 n 项和. 若 S10=S11, 则 a1=( A.18 B.20 C.22 D.24 )

解析:选 B 由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20. 2. (2012· 广州调研)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a5=8, S3=6, 则 S10-S7 的值是( A.24 解析:选 B 3.(2013· 东北三校联考)等差数列{an}中,a5+a6=4,则 log2(2a1· 2a2· …· 2a10)=(
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)

B.48

C.60

D.72

)

A.10 解析: 选 B

B.20

C.40

D.2+log25 10?a1+a10? = 5(a5 + a6) = 20 ,因此有 2

依题意得, a1 + a2 + a3 +…+ a10 =

log2(2a1· 2a2· …· 2a10)=a1+a2+a3+…+a10=20.
2 * 4.(2012· 海淀期末)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,a2 n+1-an=1(n∈N ),那么使 an<5 成

立的 n 的最大值为( A.4

) B.5 C.24 D.25

2 2 2 2 解析:选 C ∵an 1 为公差的等差数列.∴a2 +1-an=1,∴数列{an}是以 a1=1 为首项, n=

1+(n-1)=n.又 an>0,∴an= n.∵an<5,∴ n<5.即 n<25.故 n 的最大值为 24. 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立,则正 整数 k 的值为( A.5 ) B.6 C.4 D.7

解析:选 A 由 S10>0,S11<0 知 a1>0,d<0,并且 a1+a11<0,即 a6<0,又 a5+a6>0,所以 a5>0,即数列的前 5 项都为正数,第 5 项之后的都为负数,所以 S5 最大,则 k=5. 6.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 ) B.3 C.8 D.11

解析:选 B 因为{bn}是等差数列,且 b3=-2,b10=12, 12-?-2? 故公差 d= =2.于是 b1=-6, 10-3 且 bn=2n-8(n∈N*),即 an+1-an=2n-8. 所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3. 7.(2012· 广东高考)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 2-4,则 an=________.
2 2 解析:设等差数列公差为 d,∵由 a3=a2 2-4,得 1+2d=(1+d) -4,解得 d =4,即 d=

± 2.由于该数列为递增数列,故 d=2.∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 答案:2n-1 8. 已知数列{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和, a7-a5=4, a11=21, Sk=9, 则 k=________. 解析:a7-a5=2d=4,则 d=2.a1=a11-10d=21-20=1, k?k-1? Sk=k+ ×2=k2=9.又 k∈N*,故 k=3.答案:3 2 Sn 2n-3 a9 9. 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7 + a3 的值为________. b8+b4

a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 解析:∵{an},{bn}为等差数列,∴ + = + = = . 2b6 b6 b5+b7 b8+b4 2b6 2b6
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S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 a6 19 = = = = ,∴ = . T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41 b6 41

19 答案: 41

10.(2011· 福建高考)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2.从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. n[1+?3-2n?] (2)由(1)可知 an=3-2n,所以 Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35,即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7. 11.设数列{an}的前 n 项积为 Tn,Tn=1-an,
?1? ? an ? (1)证明?T ?是等差数列; (2)求数列?T ?的前 n 项和 Sn. ?
n?

?

n?

Tn 解:(1)证明:由 Tn=1-an 得,当 n≥2 时,Tn=1- , Tn-1 1 1 1 1 1 两边同除以 Tn 得 - =1.∵T1=1-a1=a1,故 a1= , = =2. Tn Tn-1 2 T 1 a1
?1? ∴?T ?是首项为 2,公差为 1 的等差数列. ?
n?

1 1 n an (2)由(1)知 =n+1,则 Tn= ,从而 an=1-Tn= .故 =n. Tn n+1 n+1 Tn n?n+1? ?an? ∴数列?T ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列.∴Sn= . 2 ? n? 12.已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn 是它的前 n 项和,S10=S22. (1)求 Sn; (2)这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值. 解:(1)∵S10=a1+a2+…+a10,S22=a1+a2+…+a22, 又 S10=S22,∴a11+a12+…+a22=0, 即 12?a11+a22? =0,故 a11+a22=2a1+31d=0. 2

n?n-1? 又∵a1=31,∴d=-2,∴Sn=na1+ d=31n-n(n-1)=32n-n2. 2 (2)法一:由(1)知 Sn=32n-n2,故当 n=16 时,Sn 有最大值,Sn 的最大值是 256. 法二:由 Sn=32n-n2=n(32-n),欲使 Sn 有最大值, 应有 1<n<32,从而 Sn≤?

?

n+32-n?2 2 ? =256,

当且仅当 n=32-n,即 n=16 时,Sn 有最大值 256.
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选做题: 1.等差数列中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前 13 项的和是( A.156 B.52 C.26 D.13 )

解析:选 C ∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, 13?a1+a13? 13?a4+a10? ∴6(a4+a10)=24,故 a4+a10=4.∴S13= = =26. 2 2 2.在等差数列{an}中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18= 12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是( A.24 B.48 C.60 ) D.84

解析:选 C 由 a1>0,a10· a11<0 可知 d<0,a10>0,a11<0,故 T18=a1+…+a10-a11-… -a18=S10-(S18-S10)=60. 3.数列{an}满足 an+1+an=4n-3(n∈N*). (1)若{an}是等差数列,求其通项公式; (2)若{an}满足 a1=2,Sn 为{an}的前 n 项和,求 S2n+1. 解:(1)由题意得 an+1+an=4n-3,①an+2+an+1=4n+1,② ②-①得 an+2-an=4,∵{an}是等差数列,设公差为 d,∴d=2. 1 5 ∵a1+a2=1,∴a1+a1+d=1,∴a1=- ,∴an=2n- . 2 2 (2)∵a1=2,a1+a2=1,∴a2=-1. 又∵an+2-an=4,∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为 4, ∴a2n-1=4n-2,a2n=4n-5,S2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(a2+a4+…+a2n) ?n+1?n n?n-1? =(n+1)×2+ ×4+n×(-1)+ ×4=4n2+n+2. 2 2

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6 D. 6 或 7 5.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差 d; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (...


题目bee41429bd64783e09122b43

填空题 数学 等差数列的前n项和 设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为正整数d.若S32+a32=1,则d的值为___. 正确答案及相关解析 正确答案 1 解析 ...


高中数学《等差数列的前n项和(一)》教案

高中数学《等差数列的前n项和(一)》教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学《等差数列的前n项和(一)》教案课题:3.3 等差数列的前 n 项和(一) 教学目的: ...


高一数学公开课等差数列的前N项和教案

公开课:2.2 等差数列的前 n 项和(1)授课班级:高一(1)班 教师 ZNB 教学目的: 1.掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程. 2.会用等差数列的前 n 项和...


题目6f66e52d2af90242a895e56c

设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*,λ≠-1),且a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ...


题目f562b2c30c22590102029d67

单选题 数学 等差数列的前n项和 已知{an}是公差为1的等差数列;Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=( ) A B C10 D12正确答案及相关解析 正确答案 ...

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