tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛辅导07-数列(二)由数列的递推公式求通项公式


竞赛辅导-数列(二) 由数列的递推公式求通项公式
引入

转化法

巧用换元法

其他方法

2014-8-28

高中数学竞赛辅导

1

竞赛辅导-数列(二)
由数列的递推公式求通项公式
递推数列有关概念: ①递推公式:一个数列 {an } 中的第 n 项 an 与它前面若干项 an?1 , an? 2 ,?, an? k ( k ? n )的关系式称为递推公式. ②递推数列:由递推公式和初始值确定的数列. ③线性递推数列:(见课本 P116 ) 2. 由数列的递推公式求通项公式的常用方法: ⑴ 转化法 ( 经常用的 ); ⑵ 归纳法 ( 先猜想 , 后证明 ( 用数学 归纳法 )); ⑶换元法 ( 针对特点考虑换元 ); ⑷ 迭代法 ( 累 加法);⑸待定系数法;⑹不动点法;⑺特征根法(见定理 1)
2014-8-28 高中数学竞赛辅导 2

转化法:这里需要恰当的变形?? an 3 思考 1.已知数列{an}中,a1= ,an+1= , 5 2an ? 1 求{an}的通项公式. 2an ? 1 1 1 解:(倒数变形) ? ? ?2 an?1 an an
?1? 5 ∴ ? ? 是以 为首项,公差为 2 的等差数列, 3 ? an ? 6n ? 1 3 1 5 即 ? +2(n-1)= ∴an= 3 6n ? 1 an 3
类似地 ,教程第120页例高中数学竞赛辅导 3(自学) 2014-8-28
练习1 思考2
3

练习 1.(教程 P127 12 )
1 数列 ? xn ? 定义如下: x1 ? , xn?1 ? xn 2 ? xn . 2 1 1 1 求S ? 的整数部分. ? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x2007

1

2014-8-28

高中数学竞赛辅导

4

思考 2.已知 a1 ? 10 , an?1 ? 4 10an ( n ? N * ),求通项公式 an . 2 1 n?1 1 …… lg an ? ( ) ? ……
3 4

3 ( x ? 1)4 ? ( x ? 1)4 思考 3. 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 0 ), 在数列 4 4 ( x ? 1) ? ( x ? 1)
(an ? 1) ? (an ? 1) an ?1 ? 1 (an ? 1) ? an ? 1 ? 解:∵ an?1 ? ? ? ?? ? , 4 4 4 an?1 ? 1 (an ? 1) ? an ? 1 ? (an ? 1) ? (an ? 1) an ? 1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? 4ln ? ln 3 ? 0 (取对数变形)∴ ln ,由此及 ln a1 ? 1 an ? 1 ? 1 an ? 1
4 4 4 4

{an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? f (an ) ( n ? N? ),求数列 {an } 的通项公式.

an ? 1 n ? 1 an ? 1 4n?1 34 ? 1 故有 ln ( n ? N? ). ? 4 ln 3 ? ? 3 ? an ? 4n?1 an ? 1 an ? 1 3 ?1 2014-8-28 5 高中数学竞赛辅导

? an ? 1 ? 知:数列 ? ln ? 是首项为 ln 3 ,公比为 4 的等比数列, ? an ? 1 ? n?1

练习 2.(教程 P115 13 )已知 a1 ? 10 , an?1 ? 10 an ( n ? N * ), 求通项公式 an .

法一:取对数变形 法二:作商用迭加法也很好!

10

2?

1 2 n ?1

练习 3.(教程 P127 9 )各项为正数的数列 ?an ? 中,

a1 ? 1, a2 ? 10 , an2an?1?3an?2 ? 1 ( n ≥ 3 , n ? N * ), 求通项公式 an . 1 n?1 ? ?

取对数变形,

10

2 ?1? ( ) 2 ?

? ?

中间的突破用“特征根法”非常好!
2014-8-28 高中数学竞赛辅导 6

1 ? an ?1 思考 4. 已知数列{an}中,a1=2,an= , 1 ? an ? 1 求{an}的通项公式.
解:(三角换元)令 an-1=tan ? ,

?? ? 则 an+1= =tan ? ? ? ? ? ?4 ? 1 ? tan ? tan ? 4 ? (n ? 1)? ? ? atc tan 2? . ∴an=tan ? ? 4 ?
4

tan

?

? tan ?

一般地, 可仿第122 页例5的处 理方法试 试看.

思考 5.设 a0 ? 1 , an ?
2014-8-28

1? a

2 n ?1

?1

an ?1
思考5

* n ? N ? ? ,求通项公式 an .
7

高中数学竞赛辅导

练习4

思考 5.设 a0 ? 1 , an ?
山重水尽疑无路……
1 ? tan ? n?1 ? 1 tan ? n?1

1? a

2 n ?1

?1

an ?1

* n ? N ? ? ,求通项公式 an .

? ?? 解:易知 an ? 0 ,构建新数列 ?? n ? ,使 an ? tan?n , ? n ? ? 0, ? 2? ? 2
an ? 1 ? cos ? n?1 ? n ?1 ? ? tan sin ? n?1 2

? n ?1 ? n ?1 ? ? ? tan ? n ? tan , ? n ? 又 a0 ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? tan ,从而 ?1 ? , 2 2 8 8 ? 1 ∴新数列 ?? n ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 8 2
?1? ∴ ?n ? ? ? ? 2?
2014-8-28

n ?1

?

?
8

?

?
2
n? 2

∴ an ? tan

?
2n ? 2

高中数学竞赛辅导

类似地,有 第110页例5的第 一种情况的处理 方法(自学) 8

练习 4.(教程 P126 4 )给定数列 ? xn ? , x1 ? 1 , 且 xn ? 1 ?
3 xn ? 1 3 ? xn

,求通项公式 xn .

解:令 xn ? tan?n ,∵ xn?1 ?

3 xn ? 1

? ? tan(? n ? ) 6 3 ? xn

? ? ∴可构建新数列 ?? n ? ,使 xn ? tan?n 且 ? n?1 ? ? n ? , ? 1 ? , 6 4

? ? ∴ xn ? tan[ ? ( n ? 1) ] 4 6

抓住式子特点,三角换元妙!
2014-8-28 高中数学竞赛辅导 9

待定系数法: (an+1=pan+r 类型数列) 练习 5.在数列{an}中,an+1=2an-3, a1=5,求{an}的通项公式.
解:∵an+1-3=2(an-3) ∴{an-3}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列. ∴an-3=2n∴an=2n+3.

(an+1=pan+f(n)类型) 练习 6.已知数列{an}中,a1=1,且 an ? an?1 ? 3n?1 ( n ≥ 2 ), 求{an}的通项公式.
解:设 an+p· 3n=an-1+p· 3n-1 则 an=an-1-2p· 3n-1, n ? ? 3 1 - n 1 与 an=an-1+3 比较可知 p=- .所以 ? a n ? ? 是常数列, 2? 2 ?
3n ? 1 3n 3 1 1 且 a1- =- .所以 an ? =- ,即 an= 2 2 2 2 2
2014-8-28 高中数学竞赛辅导 10

练习7、8

练 习 7.( 教 程 P126 5 ) 给 定 数 列
xn ? 1

? xn ?

,

x1 ? 0 , 且

n? 2 1 n( n ? 1) ? xn ? ,则 xn =____. n n

4

1 ? 2

练 习 8.( 教 程 P126 8 ) 给 定 数 列

?an ?

满 足 a1 ? 2 ,

an?1

1998 1 ? 1 ? ,则 ? ak =____. 999 an k ?1

2014-8-28

高中数学竞赛辅导

11

2014-8-28

高中数学竞赛辅导

12


推荐相关:

高考数学题型全归纳:由数列的递推公式求通项公式的常用...

高考数学题型全归纳:由数列的递推公式求通项公式的常用方法(含答案)_数学_高中教育_教育专区。由数列的递推公式求通项公式的常用方法一 准备知识 所谓数列,简单...


由数列的递推公式求数列的通项

文科数学补基学案 1 班级 主题:由数列的递推公式求数列通项 例 1:在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? ln( ,求 an 1? 1 n) 姓名 练习...


递推公式求通项公式(练习)

由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式高中数学的重点...2 1 1 1 1 例 4:(07 年唐山二摸)在数列{an}中,a1= ,an= an+ · ...


高中数学必修5同步练习题:数列的通项公式与递推公式练习2

高中数学必修5同步练习题:数列的通项公式递推公式练习2_数学_高中教育_教育...= 1×2×3×…×n,求数列{an}的通项公式. 解析: 由已知得: an=a1+2a2...


递推公式求通项公式的几种方

对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差 数列 由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式高中数学的重点问题, ...


由递推公式求数列的通项公式

递推公式求数列的通项公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。由递推公式求...log3 an ,求数列 ?bn ? 的通项公式 变式训练 2:已知正数列 ?an ? 的...


由数列的递推公式求通项公式

1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数 列的递推公式2. 递推数列:递推公式和初始值确定的数列。 二、 求递推数列通项公式...


...版·必修5(有详解答案):课时作业7:数列的递推公式

高中数学人教A版·必修5(有详解答案):课时作业7:数列的递推公式_数学_高中...是通项公式 D.a2=20 解析:a2=4a1= 4×5=20. 答案:D ) 2. 已知数列{...


由递推公式求通项公式典型例题素材

如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一,是一类考查思维能力的题型,要 求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式,重点是...


专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)_数学_高中教育_教育专区。专题由递...一般是将递推公式变形,推得原数列是一种特殊的数列或原 数列的项的某种组合是...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com