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三角恒等变换习题


三角恒等变换(一)
【知识归纳】
一、三角函数的定义: 角 ? 终边上一点 P 的坐标 ( x, y ) ,点到原点的距离是 r ?

x2 ? y 2 :

sin ? ?

y r

cos ? ?

x r

tan ? ?

y x

二、同角三角函数的基本关系: 1、平方关系: sin ? ? cos ? ?
2 2



2、商数关系: tan ? ?

.

三、诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) :

2 k? ? ?
sin

??
? sin ?

? ??
sin ?

? ??
? sin ?

2? ? ?

?
2

??

?
2

??

??

?
2

sin ?

? sin ?

cos?
sin ?
cot ?

cos?
? sin ?
? cot ?

? cos?
sin ?
? cot ?

cos

cos?
tan ?

cos?
? tan ?

? cos?
? tan ?

? cos?
tan ?

cos?
? tan ?

tan

四、两角和与差的三角函数:

S? ? ? : sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? S? ?? : sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? C? ? ? : cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? C? ? ? : cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

? ? ?) ? T? ?? : tan(

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

? ? ?) ? T? ?? : tan(

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

五、二倍角公式:

S 2? : sin 2? ? 2sin ? cos ?

T2? : tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

C2? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?
降幂公式:

sin ? cos ? ?

1 sin 2? 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

六、半角公式:

七、引入辅助角的化积公式:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) , 其中 tan ? ?
练习 1、 sin 71? cos 26? ? cos 71? sin 26? 的值为(
A、 ) C、 ?

b a

1 2

B、 1

2 2


D、

2 2

2、 sin(54? ? x) cos(36 ? x ? ) ? cos(54? ? x) sin(36? ? x) ? ( A、 ? 1 B、0 C、1 ) C、 2?

D 、2

3、函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是( A、

? 4

B、

? 2

D、 4?

4、 sin(25? ? x) ? sin(65? ? x) ? cos(25? ? x) ? cos(65? ? x) ? ________________ 5、 cos 10? ? cos 55? ? cos 80? ? cos 35? ? ________________ 6、计算 cos 7、化简: (1) sin 28 cos32 ? cos 28 sin 32 ;
0 0 0 0

?
5

cos

3? ? 3? ? sin sin ? ________________ 10 5 10
(2) cos50 cos5 ? cos 40 cos85 ;
0 0 0 0

(3)

1 ? tan 750 . 1 ? tan 750

8、已知 tan(? ?

?
4

)?

1 ,求 tan ? 的值. 2

题组一:
1、如果函数 y ? sin ?x ? cos?x(? ? 0) 的最小正周期为 4? ,那么常数 ? 为( )

1 B、 2 4 2、已知 tan x ? cos x ,则 sin x ? (
A、 A、

C、 )

1 2

D、 4

5 ?1 2

B、

?1 ? 5 2

C、 ?

5 ?1 2

D、

1? 5 2

1 , tan(? ? ? ) ? ?2 ,则 t an ? 等于( ) 3 A、 ? 7 B、 ? 1 C、 ? 5 ? 4 4、已知 x ? ( ? , 0) , cos x ? ,则 tan 2 x ? ( ) 2 5 7 7 24 A、 B、 ? C、 24 24 7 ? 3 5、若 sin( ? ? ) ? , 则 cos 2? ? ________________ 2 5 6、 sin15? ? cos15? ? ________________ 7、在△ ABC 中, cos A cos B ? sin Asin B ,则△ ABC 为(
3、设 tan ? ? A、锐角三角形 C、钝角三角形 8、已知 sin ? ? A、 ?

D、 ? 3

D、 ?

24 7

) B、直角三角形 D、无法判定

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? ( 3
B、 ?



5 3

1 9

C、

1 9

D、

5 3

9、已知 sin ? A、

?? ? 3 ? x ? ? ,则 sin 2 x 的值为( ?4 ? 5
B、



19 25

16 25

C、

14 25

D、

7 25

10、若 sin ? A、 ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? ? ( ?6 ? 3 ? 3 ?
7 9
B、 ?



1 3

C、

1 3

D、

7 9

题组二:
1、 ?ABC 中, B ? A、1

3? ,则 ?1 ? tan A? ? ?1 ? tanC ? 的值等于( 4
B、2 C、3

) D、4

2、函数 y ? 2 sin(2 x ? ? )cos[2( x ? ?)] 是(



? 的奇函数 4 ? C、周期为 的奇函数 2
A、周期为 3、已知 cos 2? ? A、

? 的偶函数 4 ? D、周期为 的偶函数 2
B、周期为 )

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3
B、

13 18

11 18

C、

7 9


D、 ?1

4、若 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ?

1 ,则 cos 2? ? ( 3
C、 ?

A、 5、

17 9

B、 ?

17 9

17 9

D、

17 3

sin 15? ? cos 15? ? ________________ sin 15? ? cos 15? ? ? 1 ? ,则 sin ? ? ________________ 6、若 sin ? cos 2 2 5
8、 tan10 ? tan50 ? 3 tan10 tan50 =________________
? ? ? ?

9、求值:

sin 70 ? cos150 sin 80 . cos 70 ? sin150 sin 80

10、已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ? ,求 cos 2? 的值. 4 13 5

12、已知 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R ) . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并指出此时 x 的值.

13、已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2 (1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合;
(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象。

三角恒等变换(二)
题组三:
1、 化简 f ( x) ? cos(

6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x) ? cos( ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x)( x ? R, k ? Z ) ,并 3 3 3

求函数 f ( x ) 的值域和最小正周期.

, 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1 ,其图象经过点 2 、已知函数 f ( x) ? A sin(x? ? )(A? 0

?? 1? M ? ,?. ? 3 2?
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?? ? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

3、已知函数 f ( x) ? sin( ? ? x)sin( (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [?

?
2

? x) ? cos 2 x .

? 3?

, ] 时,求函数 f ( x) 的单调区间. 8 8

? 1 ? 2 cos(2 x ? ) 4 . 4、已知函数 f ( x ) ? ? sin( x ? ) 2
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)若角 ? 是第四象限角,且 cos ? ?

3 ,求 f (? ) . 5

【巩固练习】
练习 1: 1、 cos 31? cos14? ? sin 31? sin14? 的值为( A、 ) C、

2 2

B、 1

1 2

D、 cos17?

2、下列各式中,值为
?

3 的是( 2
?

) B、 cos 15 ? sin 15
2 ? 2 2 ? 2

A、 2sin15 cos15 C、 2sin 15 ? 1
2 ?

?

D、 sin 15 ? cos 15 ) C、 3

?

3、函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为( A、1 B、 2

D、2

4、函数 y ? 3 cos(

2 ? x ? ) 的最小正周期是( 5 6

) C、 2? D、 5?

A、

2? 5

B、

5? 2

5、将函数 y ? sin( x ? 得的图象向左平移 A、 y ? sin

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所


? 个单位,得到的图象对应的解析式是( 3
1 2

1 x 2 1 ? C、 y ? sin( x ? ) 2 6
6、函数 y ? sin( x ? ? ) cos( x ? ? ) 是( )

B、 y ? sin( x ? D、 y ? sin(2 x ?

?
2

)

?

6

)

? 的奇函数 4 ? C、周期为 的奇函数 2
A、周期为 7、函数 y ? A、

? 的偶函数 4 ? D、周期为 的偶函数 2
B、周期为 ) D、 2?

2 2 sin x ? cos x ? 5 的最小正周期是( 2 2
B、

? 5

? 2

C、 ?

8、 (cos

?
12

? sin

?
12

)(cos

?
12

? sin

?
12

) ?(



A、 ?

3 2

B、 ?

1 2

C、

1 2


D、

3 2

9、已知 ? ? ( A、

?

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于( 2 5 4
B、 7 C、 ?

1 7

1 7

D、 ? 7

10、 sin 420? cos330? ? sin(?690? ) cos(?660? ) ? ________________ 11、若角 ? 的终边经过点 P(1, ? 2) ,则 tan 2? 的值为________________ 12 、 已 知 sin ? ? cos ? ?

cos 2? ? ________________
练习 2 1、 sin105? cos105? 的值为( A、

1 ? 3? ?? 2 ________________ ; ?? ? , 且 , 则 s i n 5 2 4

) B、 ?

1 4

1 4

C、

3 4

D、 ?

3 4

1 , 则 cos 2? 的值为( ) 2 1 3 4 A、 ? B、 ? C、 5 5 5 ? 4 3、已知 ? ? ( ?? , ? ) ,且 cos ? ? ? ,则 sin 2? 等于( 2 5 7 24 7 A、 B、 C、 ? 25 25 25 ? 4 ? 3 ? ? ,则角 ? 所在的象限是( 4、已知 sin ? , cos 2 5 2 5
2、已知 tan ? ? A、第一象限 C、第三象限 5、已知 ? 是第二象限角, sin ? ? B、第二象限 D、第四象限

D、 )

3 5

D、 ? )

24 25

? 3 , 则 cos 的值为( 2 5
5 5
C、



A、

5 5

B、 ?

10 10

D、 ?

10 10


6、若 sin ? ? sin ? ? 1 ?

1 3 , cos ? ? cos ? ? ? ,则 cos(? ? ? ) 的值为( 2 2
B、

A、

1 2

3 2

C、

3 4

D、 1

7、

3 ? sin 700 ?( 2 ? cos 2 100
A、



1 2

B、

2 2


C、2

D、

3 2

8、函数 f ( x) ?

sin x x sin x ? 2sin 2

是(

A、以 4? 为周期的偶函数 C、以 2? 为周期的偶函数 9、若

B、以 2? 为周期的奇函数 D、以 4? 为周期的奇函数 )

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? ?? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?
7 2
B、 ?

A、 ?

1 2

C、

1 2

D、

7 2

10、

1 3 sin 30? ? cos30? ? ________________ 2 2

11、 sin 75? ? cos 75? ? ________________ 12、 (1) f ( x) ?

1 3 sin x ? cos x 的值域是________________ 2 2

(2) f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的值域是________________ (3) f ( x) ? (4) 13、 f ( x) ? 3 sin x ? sin(

? 1 3 sin x ? cos x , x ? [0, ] 的值域是________________ 2 2 2

?
2

? x) 的最大值是________________

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? ________________ 2 2 2 2 1 3 15、若 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? ? tan ? ? ________________ 5 5
14、 ?ABC 中, B ? 60 ,且 tan
?

提高
2、已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为( A 、 ? x | k? ? C、{x | k? ? )

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
? x ? k? ? 5? , k ? Z} 6


B、 ? x | 2k? ? D、{x | 2k? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
6 ? x ? 2 k? ? 5? , k ? Z} 6

?

?

6 ? 1 ( +?) = ,则 sin 2? ? ( 3、设 sin 4 3 7 1 A、 ? B、 ? 9 9

C、

1 9

D、

7 9

5、若函数 f ( x) ? sin ? x ( ? ? 0 )在区间 ?0, 则? ? ( A、3 6、 若 0<?< ) B、2

? ?? ?? ? ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减, ? ? 3? ?3 2?
3 2 2 3

C、

D、

?
2



?

? 1 ? ? 3 <?<0 , cos( ? ? ) ? , o s ( , 则c cos( ? ) ? 2 4 3 4 2 3
B、 ?

?? )

?
2

?(



A、

3 3

3 3

C、

5 3 9

D、 ?

6 9

8 、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且

?

6

f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是( 2
A、 ?k? ?

?

) B 、 ? k? , k ? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

? (k ? Z ) 6?

? ?

??

? (k ? Z ) 2?

C、 ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ? (k ? Z ) 3 ?

D 、 ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

10、已知 tan( x ? 11、函数 y ? sin( 12、已知 ? ? (

?

?

4 2

) ? 2, 则 ? x) cos(

?

tan x 的值为________________ tan 2 x

6

? x) 的最大值为________________

?
2

, ? ) , sin ? ?

5 ,则 tan 2? ? ________________ 5

cos 2? 1 ? ?? ? ? 的值为________________ 13、已知 sin ? ? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 ? sin ? ? ? ? 2 ? 2? 4? ?
16、已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

?
6

) ?1 .

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? , 上的最大值和最小值. ? 6 4? ?

17、已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

5? ) 的值; 4

1 3

?
6

), x ? R.

(2)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? , f (3a ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?


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